Gruppi Simmetrici
Aiuto ragazzi....Non riesco proprio a capire i gruppi simmetrici 
Ho capito che si tratta di un gruppo composto dall'insieme di tutte le applicazioni biiettive in se con l'operazione di composizione, però appena cerco di capire l'esempio presente nelle dispense mi perdo
Ve lo espongo, sicuramente per voi sarà di una facilità sconcertante
Consideriamo il gruppo simmetrico su 3 elementi, ossia $S_3$ e $O(S_3)=(3!)=6$. Posto $I={1,2,3}$ gli elementi di $S_3$ saranno
$s_1=((1,2,3),(1,2,3)); s_2=((1,2,3),(1,3,2)); s_3=((1,2,3),(3,2,1));$
$s_4=((1,2,3),(2,1,3)); s_5=((1,2,3),(2,3,1)); s_6=((1,2,3),(3,1,2));$
ed $S_3={s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6}$.
E fin quì ci sono... Mi confondo nel momento in cui cerca di fare $s_2 * s_4$ che sarebbe, per definizione, la composizione di $s_4$ rispetto $s_2$ ($f * g = g \circ f$)
$s_2 * s_4 =((1,2,3),(1,3,2))*((1,2,3),(2,1,3)) = ((1,2,3),(2,3,1)) = s_5$
ho capito che la moltiplicazione va fatta da destra a sinistra, ho anche considerato che siamo in un insieme ristretto ma proprio non ne vengo a capo... Sicuramente quì mi perdo con la composizione di matrici...
Grazie in anticipo
Ho capito che si tratta di un gruppo composto dall'insieme di tutte le applicazioni biiettive in se con l'operazione di composizione, però appena cerco di capire l'esempio presente nelle dispense mi perdo
Ve lo espongo, sicuramente per voi sarà di una facilità sconcertante
Consideriamo il gruppo simmetrico su 3 elementi, ossia $S_3$ e $O(S_3)=(3!)=6$. Posto $I={1,2,3}$ gli elementi di $S_3$ saranno
$s_1=((1,2,3),(1,2,3)); s_2=((1,2,3),(1,3,2)); s_3=((1,2,3),(3,2,1));$
$s_4=((1,2,3),(2,1,3)); s_5=((1,2,3),(2,3,1)); s_6=((1,2,3),(3,1,2));$
ed $S_3={s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6}$.
E fin quì ci sono... Mi confondo nel momento in cui cerca di fare $s_2 * s_4$ che sarebbe, per definizione, la composizione di $s_4$ rispetto $s_2$ ($f * g = g \circ f$)
$s_2 * s_4 =((1,2,3),(1,3,2))*((1,2,3),(2,1,3)) = ((1,2,3),(2,3,1)) = s_5$
ho capito che la moltiplicazione va fatta da destra a sinistra, ho anche considerato che siamo in un insieme ristretto ma proprio non ne vengo a capo... Sicuramente quì mi perdo con la composizione di matrici...
Grazie in anticipo
Risposte
"Samy21":Se ti può aiutare vedila così:
$s_1=((1,2,3),(1,2,3)); s_2=((1,2,3),(1,3,2)); s_3=((1,2,3),(3,2,1));$
$s_4=((1,2,3),(2,1,3)); s_5=((1,2,3),(2,3,1)); s_6=((1,2,3),(3,1,2));$
...
$s_2 * s_4 =((1,2,3),(1,3,2))*((1,2,3),(2,1,3)) = ((1,2,3),(2,3,1)) = s_5$
$s_2(1)=1$, $s_2(2)=3$, $s_2(3)=2$.
$s_4(1)=2$, $s_4(2)=1$, $s_4(3)=3$.
Quindi
$s_2 * s_4 (1) = s_4(s_2(1)) = s_4(1) = 2$.
$s_2 * s_4 (2) = s_4(s_2(2)) = s_4(3) = 3$.
$s_2 * s_4 (3) = s_4(s_2(3)) = s_4(2) = 1$.
"Martino":
Se ti può aiutare vedila così:
$s_2(1)=1$, $s_2(2)=3$, $s_2(3)=2$.
$s_4(1)=2$, $s_4(2)=1$, $s_4(3)=3$.
Ecco, proprio quello che non ho capito
La scrittura $s=((a,b,c),(d,e,f))$ significa che $s$ manda $a$ in $d$, $b$ in $e$ e $c$ in $f$. In altre parole $s(a)=d$, $s(b)=e$ e $s(c)=f$.
Ahn ecco, adesso ho capito....Grazie mille Martino! In 2 parole hai risolto dubbi che mi portavo dietro da un pezzo
Adesso rivedo tutto il resto pensando come mi hai spiegato.Se dovessi avere altri dubbi ti posso disturbare di nuovo?
Grazie!
Adesso rivedo tutto il resto pensando come mi hai spiegato.Se dovessi avere altri dubbi ti posso disturbare di nuovo?
Grazie!
Sì, certo, se hai qualche dubbio chiedi sul forum!
E rieccomi quì
Non riesco a capire le orbite di un gruppo simmetrico... La definizione è
$O_s(x)={y in X I y = s^i(x)}$ per qualche i $i$ in $ZZ$
però non riesco a capire la sua utilità...
Non riesco a capire le orbite di un gruppo simmetrico... La definizione è
$O_s(x)={y in X I y = s^i(x)}$ per qualche i $i$ in $ZZ$
però non riesco a capire la sua utilità...
"Samy21":Beh, l'utilità è una cosa che si capisce con la pratica
però non riesco a capire la sua utilità...
Si, perfettamente d'accordo con te..Per questo sto analizzando l'esercizio presente nel testo. Io ho trovato una "spiegazione" al risultato, però non vorrei aver capito male 
L'esercizio è il seguente:
Sia $\sigma in S_6$ la permutazione
$\sigma = ((1,2,3,4,5,6),(3,1,2,5,6,4))$.
Partendo da $1 in X$, l'orbita di $1$ mediante $\sigma$ è il sottoinsieme di $X$ $O_\sigma(1)= {1,3,2}$.
Io presumo sia quella perchè da $\sigma$ si nota che $\sigma(1)$ manda $1$ in $3$, questo manda $3$ in $2$ che viene poi mandato in $1$, e otteniamo così il valore iniziale. (come se si chiudesse un cerchio..)
Lo stesso discorso "pare" valere pure per l'orbita di $5$ che quindi risulta essere $O_\sigma(5)={4,5,6}$.
E' corretto?
L'esercizio è il seguente:
Sia $\sigma in S_6$ la permutazione
$\sigma = ((1,2,3,4,5,6),(3,1,2,5,6,4))$.
Partendo da $1 in X$, l'orbita di $1$ mediante $\sigma$ è il sottoinsieme di $X$ $O_\sigma(1)= {1,3,2}$.
Io presumo sia quella perchè da $\sigma$ si nota che $\sigma(1)$ manda $1$ in $3$, questo manda $3$ in $2$ che viene poi mandato in $1$, e otteniamo così il valore iniziale. (come se si chiudesse un cerchio..)
Lo stesso discorso "pare" valere pure per l'orbita di $5$ che quindi risulta essere $O_\sigma(5)={4,5,6}$.
E' corretto?
Sì è corretto.
Grazie!
Prego
Era troppo bello se avessi capito tutto subito
Dopo quanto visto prima e i cicli, non capisco poi praticamente quando dice "Ogni permutazione è prodotto di $2$-cicli" ossia
$(1,2,3,...,m)=(1-m)(1,m-1)(1,m-2)....(1,2)$
queste due scritture rappresentano la stessa permutazione.
La teoria tutto chiaro, con $m$ si intende la lunghezza del ciclo etc...Però nell'esempio del libro non capisco una cosa. L'esempio è questo
$\sigma=(2,3,4)(1-6-5)=(2,4)(2,3)(1,5)(1,6)$
$(3,4,2)(6,5,1)=(3,2)(3,4)(5,6)(5,1)$
Per il primo ciclo ci sono, non capisco poi perchè non scrive $(1,6)(1,5)$ ma al limite penso che non importa l'ordine, però non mi spiego perchè $(5,6)$ e non $(6,1)$
Facile che non abbia capito nulla
Grazie a chi ha ancora la pazienza di leggermi e soprattutto di rispondermi
Dopo quanto visto prima e i cicli, non capisco poi praticamente quando dice "Ogni permutazione è prodotto di $2$-cicli" ossia
$(1,2,3,...,m)=(1-m)(1,m-1)(1,m-2)....(1,2)$
queste due scritture rappresentano la stessa permutazione.
La teoria tutto chiaro, con $m$ si intende la lunghezza del ciclo etc...Però nell'esempio del libro non capisco una cosa. L'esempio è questo
$\sigma=(2,3,4)(1-6-5)=(2,4)(2,3)(1,5)(1,6)$
$(3,4,2)(6,5,1)=(3,2)(3,4)(5,6)(5,1)$
Per il primo ciclo ci sono, non capisco poi perchè non scrive $(1,6)(1,5)$ ma al limite penso che non importa l'ordine, però non mi spiego perchè $(5,6)$ e non $(6,1)$
Facile che non abbia capito nulla
Grazie a chi ha ancora la pazienza di leggermi e soprattutto di rispondermi
La "regola" è questa: $(a_1,a_2, ..., a_d) = (a_1,a_d)(a_1,a_{d-1}) ... (a_1,a_2)$.
Quindi il ciclo $(651)$ è uguale a $(61)(65)$.
Ricorda comunque che $(651)=(165)=(516)$.
Ho l'impressione che tu capisca bene le cose ma ti perda in alcuni dettagli. Con queste cose non bisogna avere fretta, prenditi tempo
Quindi il ciclo $(651)$ è uguale a $(61)(65)$.
Ricorda comunque che $(651)=(165)=(516)$.
Ho l'impressione che tu capisca bene le cose ma ti perda in alcuni dettagli. Con queste cose non bisogna avere fretta, prenditi tempo
"Martino":
Ho l'impressione che tu capisca bene le cose ma ti perda in alcuni dettagli.
SI, di solito mi dicono che mi creo un gomitolo dal nulla
In ogni caso se non avessi l'esame la prossima settimana me la prenderei con molta più calma... Quindi, il ciclo $(1,6,5)$ potrei scriverlo anche $(1,6)(1,5)$, no?
Grazie per la pazienza
"Samy21":No perché $(1,6)(1,5) = (1,5,6) ne (1,6,5)$ (prova a fare il conto).
Quindi, il ciclo $(1,6,5)$ potrei scriverlo anche $(1,6)(1,5)$, no?
"Martino":
No perché $(1,6)(1,5) = (1,5,6) ne (1,6,5)$ .
Si, in effetti non coincide con i cicli che hai citato...Però se avessi scritto $(1,6,5)=(1,5)(1,6)$ perchè per la "formula" di pocanzi abbiamo che $d=6$ e $d-1=5$ sarebbe stato corretto?
"Samy21":Certo. Comunque quella "formula" di pocanzi è facilmente dimostrabile.
Però se avessi scritto $(1,6,5)=(1,5)(1,6)$ perchè per la "formula" di pocanzi abbiamo che $d=6$ e $d-1=5$ sarebbe stato corretto?
Dal fatto che ogni permutazione si può scrivere come prodotto dei suoi cicli immagino...
P.S: Le dimostrazioni non sono il mio forte
Oddio, mi chiedo ancora cosa sia il mio forte
Grazie Martino, senza di te non avrei mai capito
P.S: Le dimostrazioni non sono il mio forte
Oddio, mi chiedo ancora cosa sia il mio forte Grazie Martino, senza di te non avrei mai capito
Prego, comunque non avere timore di dimostrare le cose. Per esempio guarda l'uguaglianza
$(263154) = (24)(25)(21)(23)(26)$
Considera $sigma=(24)(25)(21)(23)(26)$. (E ricorda che si parte da destra a comporre!)
Dove manda 2? (26) manda 2 in 6, e gli altri non muovono 6. Quindi $sigma$ manda 2 in 6.
Dove manda 6? (26) manda 6 in 2, (23) manda 2 in 3 e gli altri non muovono 3, quindi $sigma$ manda 6 in 3.
Dove manda 3? (26) non lo muove, (23) manda 3 in 2, (21) manda 2 in 1 e gli altri non muovono 1, quindi $sigma$ manda 3 in 1.
Dove manda 1? (26) e (23) non lo muovono, (21) manda 1 in 2, (25) manda 2 in 5 e l'altro non muove 5, quindi $sigma$ manda 1 in 5.
Dove manda 5? (26), (23) e (21) non lo muovono, (25) manda 5 in 2, (24) manda 2 in 4 e non ce ne sono altri, quindi $sigma$ manda 5 in 4.
Dove manda 4? Tutti fissano 4 tranne (24) che lo manda in 2, quindi $sigma$ manda 4 in 2.
In altre parole $2 to 6 to 3 to 1 to 5 to 4 to 2$, cioè $sigma = (263154)$.
Analogamente si dimostra la "formula di pocanzi".
$(263154) = (24)(25)(21)(23)(26)$
Considera $sigma=(24)(25)(21)(23)(26)$. (E ricorda che si parte da destra a comporre!)
Dove manda 2? (26) manda 2 in 6, e gli altri non muovono 6. Quindi $sigma$ manda 2 in 6.
Dove manda 6? (26) manda 6 in 2, (23) manda 2 in 3 e gli altri non muovono 3, quindi $sigma$ manda 6 in 3.
Dove manda 3? (26) non lo muove, (23) manda 3 in 2, (21) manda 2 in 1 e gli altri non muovono 1, quindi $sigma$ manda 3 in 1.
Dove manda 1? (26) e (23) non lo muovono, (21) manda 1 in 2, (25) manda 2 in 5 e l'altro non muove 5, quindi $sigma$ manda 1 in 5.
Dove manda 5? (26), (23) e (21) non lo muovono, (25) manda 5 in 2, (24) manda 2 in 4 e non ce ne sono altri, quindi $sigma$ manda 5 in 4.
Dove manda 4? Tutti fissano 4 tranne (24) che lo manda in 2, quindi $sigma$ manda 4 in 2.
In altre parole $2 to 6 to 3 to 1 to 5 to 4 to 2$, cioè $sigma = (263154)$.
Analogamente si dimostra la "formula di pocanzi".
Si, adesso ho capito
Detto così è piuttosto semplice, beati coloro che hanno il dono della chiarezza e della sintesi
Comunque davvero grazie!! Per me prima era mission impossible
Detto così è piuttosto semplice, beati coloro che hanno il dono della chiarezza e della sintesi
Comunque davvero grazie!! Per me prima era mission impossible
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo