Ancora ideali

[Gil-Galad]

Salve. Devo stabilire se $5\in I=(x^3+2,3x^2-1)$, con $I$ ideale di $ZZ[x]$.
Ho provato cosi:
riduco $I$ a tale forma, dopo una serie di "divisioni": $I=(x+6,107)$. Definisco la funzione: $\Phi : {ZZ[x]}/I \rightarrow ZZ_107$, definita da:
$\Phi (f+I)=[f(107)]_107$ (cioè valuto il polinomio f in 107 e calcolo la sua classe di resto modulo 107).
Si dimostra facilmente che $\Phi$ è un omomorfismo di anelli, dunque deve essere anche $$\Phi (\bar 0)=[0]_{107}$$,
dove $\bar 0$ indica la classe nulla del quoziente, cioè gli elementi del quoziente della forma $i+I$,con $i\in I$.
Se $5\in I \Rightarrow \bar 0 = 5+I$ (ad esempio).
Dunque:
$\Phi (5+I)=\Phi (0\bar)=[0]_107$.
Ma $\Phi (5+I) = [5]_107 \ne [0]_107$.
Dunque concludo che $5\notin I$.
Cosa ne pensate?

[Studente Anonimo]

Mi sembra più semplice osservare che $5 in I$ se e solo se $(x+6)A(x)+107B(x) = 5$ per opportuni $A(x),B(x) in ZZ[X]$. Riducendo modulo 107 (che è primo) (se non fosse primo si riduce modulo un divisore primo diverso da 5) otteniamo $(x+6)A(x) = 5$ modulo 107. Questo non può essere perché in $ZZ_{107}[X]$ l'elemento $x+6$ non è invertibile.

[Gil-Galad]

Ok dunque tu dici:
se $5\in I \Rightarrow \exists A(x), B(x) \in ZZ[x]$ tali che:
$5=(x+6)A(x)+107B(X)$.
"Guardo tale relazione modulo $107$ che diventa:
$5=(x+6)A(x)$
Dunque affinché sia vera deve esistere $C(x)\in ZZ[x]$ tale che:
$(x+6)C(x)=1$ $(*)$da cui si ricaverebbe:
$5*(x+6)C(x)=5$
e perciò:
$A(x)=5C(x)$.
Dunque affinché tutto funzioni deve essere soddisfatta la relazione $(*)$, cioè deve esistere l'inverso del polinomio $x+6$ che come è noto non esiste

[Studente Anonimo]

Esatto, solo che $C(x) in ZZ_{107}[X]$.