Forma matriciale dei complessi
Buonasera.
Prendiamo la rappresentazione dei complessi in forma matriciale e andiamo a considerare una matrice $ T=( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) \in\M_2(\mathbb{R})$ che ha la proprietà che $T^2=-I$ e svolge il ruolo dell'unità immaginaria $i$.
Consideriamo l'omomorfismo di anelli \( \phi\colon\mathbb{C}\longrightarrow M_2(\mathbb{R}) \) tale che $\phi(a+ib)=aI+bT$ dove $I$ è la matrice identica. Si dimostra facilmente che $\phi$ è iniettivo.
L'immagine di questo omomorfismo è: $Im(\phi)={( ( a , b ), ( -b , a ) )\in M_2(\mathbb{R})}$. Inoltre risulta che $det(T(z))=|z|^2$ e $T(\bar{z})=T(z)^{T}$ dove con l'esponente T intendo la trasposta della matrice.
Quello che mi chiedo è:
- Se io cambio la matrice T con una qualunque matrice di $M_2(\mathbb{R})$ con sempre la proprietà che $T^2=-I$ è vero che quello che ho detto prima rimane invariato?
Direi che ssere un omomorfismo non dipende dalla scelta di T. Ma rimane iniettivo? e soprattutto è sempre vero che $det(T(z))=|z|^2$ e $T(\bar{z})=T(z)^{T}$?
Inoltre, e questa potrebbe essere una domanda stupida, è vero che tutte le matrici $A\in M_2(\mathbb{R})$ tali che $A^2=-I$ sono della forma $( ( a , b ), ( -b , a ) )$? Questa seconda domanda mi sembra una sciocchezza ma mi hanno messo il dubbio.
Grazie
EDIT: Ho modificato il testo perché non mi aveva preso la barra di coniugato.
Prendiamo la rappresentazione dei complessi in forma matriciale e andiamo a considerare una matrice $ T=( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) \in\M_2(\mathbb{R})$ che ha la proprietà che $T^2=-I$ e svolge il ruolo dell'unità immaginaria $i$.
Consideriamo l'omomorfismo di anelli \( \phi\colon\mathbb{C}\longrightarrow M_2(\mathbb{R}) \) tale che $\phi(a+ib)=aI+bT$ dove $I$ è la matrice identica. Si dimostra facilmente che $\phi$ è iniettivo.
L'immagine di questo omomorfismo è: $Im(\phi)={( ( a , b ), ( -b , a ) )\in M_2(\mathbb{R})}$. Inoltre risulta che $det(T(z))=|z|^2$ e $T(\bar{z})=T(z)^{T}$ dove con l'esponente T intendo la trasposta della matrice.
Quello che mi chiedo è:
- Se io cambio la matrice T con una qualunque matrice di $M_2(\mathbb{R})$ con sempre la proprietà che $T^2=-I$ è vero che quello che ho detto prima rimane invariato?
Direi che ssere un omomorfismo non dipende dalla scelta di T. Ma rimane iniettivo? e soprattutto è sempre vero che $det(T(z))=|z|^2$ e $T(\bar{z})=T(z)^{T}$?
Inoltre, e questa potrebbe essere una domanda stupida, è vero che tutte le matrici $A\in M_2(\mathbb{R})$ tali che $A^2=-I$ sono della forma $( ( a , b ), ( -b , a ) )$? Questa seconda domanda mi sembra una sciocchezza ma mi hanno messo il dubbio.
Grazie
EDIT: Ho modificato il testo perché non mi aveva preso la barra di coniugato.
Risposte
Per l'ultima domanda mi sono risposto e ovviamente era falsa perché bastava fare il conto un po' più correttamente.
Data \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) allora la condizione $A^2=-I$ mi permette di capire che sono tutte le matrici del tipo \( \begin{pmatrix} -d & b \\ c & d \end{pmatrix} \) con la condizione che $d^2+bc=-1$.
Se provo a sostituire la matrice $T$ con una matrice avente la forma appena trovata pare che rimanga tutto invariato. Ma non mi sta venendo in mente come dimostrarlo!
Data \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) allora la condizione $A^2=-I$ mi permette di capire che sono tutte le matrici del tipo \( \begin{pmatrix} -d & b \\ c & d \end{pmatrix} \) con la condizione che $d^2+bc=-1$.
Se provo a sostituire la matrice $T$ con una matrice avente la forma appena trovata pare che rimanga tutto invariato. Ma non mi sta venendo in mente come dimostrarlo!
La condizione $phi(z)=phi(z)^T$ mi sembra semplicemente falsa (il simmetrico di $b$ è $-b$).
Quanto all'altra invece, $det(phi(z)) = |z|^2$, è vera per qualsiasi $T$ tale che $T^2 = -I$, basta fare il conto. Tra l'altro questo implica che $phi$ è iniettivo (se $phi(z)=0$ allora $|z|^2 = det(0) = 0$ da cui $z=0$).
Quanto all'altra invece, $det(phi(z)) = |z|^2$, è vera per qualsiasi $T$ tale che $T^2 = -I$, basta fare il conto. Tra l'altro questo implica che $phi$ è iniettivo (se $phi(z)=0$ allora $|z|^2 = det(0) = 0$ da cui $z=0$).
"Martino":
La condizione $phi(z)=phi(z)^T$ mi sembra semplicemente falsa (il simmetrico di $b$ è $-b$).
Hai ragione....non mi aveva preso la barra di coniugato. Ora dovrebbe essere scritto bene. Comunque ieri ci sono riuscito. Bastava prendere $F(\bar{i})=F(-i)$ e vedere che è diverso da $F(i)^T$ se si prende ad esempio la matrice \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \), che è una di quelle matrici con la proprietà $A^2=-I$.
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