Equazione

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni intere della seguente equazione:

$y^2=1+x+x^2+x^3+x^4$



Cordialmente, Alex

[hydro1]

Ma esiste una soluzione alla portata di uno studente delle superiori?

[axpgn]

In realtà sì, nel senso che non occorrono conoscenze extra.
Il fatto è che però occorre un sacco di immaginazione (ma proprio tanta a mio parere)

[hydro1]

Ma pensa, non si finisce mai di imparare.

[Studente Anonimo]

La cosa che a me sorprende è che l'equazione di Pell \( z^2- 5x^2 = 4y^2 \) possiede infinite soluzioni per qualunque valore di \(y\), mentre appena si pone \( z = 2x^2+x+2 \) in modo tale che \( \operatorname{Nr}(x - \zeta_5) = \frac{z^2-5x^2}{4} = 1+x+x^2+x^3+x^4 = y^2 \) ne possiede solo (eheh non lo dico)! E qui forse hydro può spiegarmi il perché, ma sinceramente non vedo come da infinite si possano ridurre così tanto.

[hydro1]

"3m0o":La cosa che a me sorprende è che l'equazione di Pell \( z^2- 5x^2 = 4y^2 \) possiede infinite soluzioni per qualunque valore di \(y\), mentre appena si pone \( z = 2x^2+x+2 \) in modo tale che \( \operatorname{Nr}(x - \zeta_5) = \frac{z^2-5x^2}{4} = 1+x+x^2+x^3+x^4 = y^2 \) ne possiede solo (eheh non lo dico)! E qui forse hydro può spiegarmi il perché, ma sinceramente non vedo come da infinite si possano ridurre così tanto.

Dipende semplicemente dal fatto che la prima curva è una conica, e le coniche possono avere finiti o infiniti punti interi, mentre la seconda è una curva ellittica, che può avere infiniti punti razionali (e peraltro questa in particolare li ha) ma non infiniti punti interi, per via del teorema di Siegel https://en.wikipedia.org/wiki/Siegel%27s_theorem_on_integral_points.

[Zero87]

Premetto che non ho mai fatto equazioni diofantee né alle superiori né all'università. Lo osservo a modo mio: vista l'ora tarda mi fermo alle banalità e ci dormo sopra.

Prendiamo
$y^2 = 1+x+x^2+x^3+x^4$
vedo che $y=1$ e $x=0$ è soluzione, la tengo da parte e vado avanti, quindi pongo $y\ne 1$ e $x \ne 0$

Possiamo verificare in modo semplice - lo ometto - che $y$ non può essere un numero pari, poiché al secondo membro si avrebbe sempre una quantità dispari.

@Alex: forse hai notato che di recente mi butto e capita che do risposte incomplete. Sto cercando di provare a svolgere fino a dove arrivo per provare a "riaccendere" la testa a quasi 10 anni dalla laurea.

EDIT. Ho tagliato una metà delle cose in base al suggerimento di giammaria. Non avevo considerato la $x$ fuori. Grazie giammaria!

[axpgn]

@Zero87

Per ogni $x$, le $y$ sono sempre due, per forza

Hai fatto delle osservazioni interessanti però non saprei dirti se portino a qualcosa ...

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

@Zero87

Perché dici che $x$ deve essere dispari? C'è anche il fattore $x$ e potrebbe essere divisibile per 8; dico 8 perché il primo membro è $4k(k+1)$ e uno fra $k, k+1$ è pari.
Non ho la soluzione completa, ma ho trovato che oltre alla tua $(0, +-1)$ ci sono anche $(-1,+-1)$ e $(3,+-11)$; nelle ultime due, la $x$ è effettivamente dispari.

[Studente Anonimo]

Penso di aver trovato la soluzione adatta per le superiori, diciamo che il termine di destra in \(x\) è molto (troppo) vicino a due quadrati successivi per poter essere un quadrato

Comunque sia (hydro help? ) non riesco proprio a farlo con \( \mathbb{Z}[\zeta_5] \) e mi sto un po' innervosendo!
Voglio dire che deve esistere un unità e un elemento \( a + b \zeta_5 + c \zeta_5^2 + d \zeta_5^3 \in y^2 \mathbb{Z}[\zeta_5] \) tale che
\[ x- \zeta_5 = u ( a + b \zeta_5 + c \zeta_5^2 + d \zeta_5^3)^2 \]
\[ x- \zeta_5 = u ( (a^2+2cd) + \zeta_5(d^2+2ab) + \zeta_5^2 ( b^2 + 2ac) + \zeta_5^3(2ad+2bc) + \zeta_5^4 (c^2 +2bd) \]
usando poi \(\zeta_5^4 = -1-\zeta_5 - \zeta_5^2 - \zeta_5^3 \) e ponendo i "giusti" coefficienti uguale a \(0 \) o \(-1\) vorrei poi essere in grado di determinare \(x\). Ma non riesco a determinare l'unità.

[hydro1]

"3m0o":

Penso di aver trovato la soluzione adatta per le superiori, diciamo che il termine di destra in \(x\) è molto (troppo) vicino a due quadrati successivi per poter essere un quadrato

Comunque sia (hydro help? ) non riesco proprio a farlo con \( \mathbb{Z}[\zeta_5] \) e mi sto un po' innervosendo!
Voglio dire che deve esistere un unità e un elemento \( a + b \zeta_5 + c \zeta_5^2 + d \zeta_5^3 \in y^2 \mathbb{Z}[\zeta_5] \) tale che
\[ x- \zeta_5 = u ( a + b \zeta_5 + c \zeta_5^2 + d \zeta_5^3)^2 \]
\[ x- \zeta_5 = u ( (a^2+2cd) + \zeta_5(d^2+2ab) + \zeta_5^2 ( b^2 + 2ac) + \zeta_5^3(2ad+2bc) + \zeta_5^4 (c^2 +2bd) \]
usando poi \(\zeta_5^4 = -1-\zeta_5 - \zeta_5^2 - \zeta_5^3 \) e ponendo i "giusti" coefficienti uguale a \(0 \) o \(-1\) vorrei poi essere in grado di determinare \(x\). Ma non riesco a determinare l'unità.

E' vero il fatto seguente: le unità di $\mathbb Z[\zeta_p]$ si scrivono come $\zeta_p^ru$ per qualche $r\in \mathbb Z$ e \(u\in \mathbb Q[\zeta_p+\zeta_p^{-1}]\). Questo dovrebbe bastarti per concludere.

[axpgn]

Una soluzione

L'equazione $y^2=1+x+x^2+x^3+x^4$ può essere riscritta come

a) $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x^2+x/2+1)^2=y^2+5/4*x^2$

ma anche come

b) $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x^2+x/2+(sqrt(5)-1)/4)^2=y^2-(5-2sqrt(5))/4*(x+(3+sqrt(5))/2)^2$

perciò

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2+x/2+(sqrt(5)-1)/4<=|y|<=x^2+x/2+1$

da cui

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |y|=x^2+(x+k)/2$ con $0

Affinché $x$ e $y$ siano interi, $k$ può valere $1$ o $2$ e in particolare sarà $1$ se $x$ è dispari e sarà $2$ se $x$ è pari.

Se $k=1$ allora $y^2=(x^2+(x+1)/2)^2-((x-3)(x+1))/4$ da cui $x=3$ e $x= -1$

Se $k=2$ dalla a) abbiamo che $x=0$.

Cordialmente, Alex

[dan952]

Per $x$ dispari e $x<-1$ e $x>3$ vale

$(x^2+\frac{x-1}{2})^2 < x^4+x^3+x^2+x+1 < (x^2+\frac{x+1}{2})^2$

Ovvero $x^4+x^3+x^2+x+1$ è compreso fra due quadrati di due numeri interi successivi, quindi per $x<-1$ e $x>3$ non ammette soluzione. Tuttavia per $x=3,-1$ troviamo le due coppie di soluzioni $(3,11)$ e $(-1,1)$.

Per $x$ pari e $x \ne 0$ vale

$(x^2+\frac{x}{2})^2 < x^4+x^3+x^2+x+1 < (x^2+\frac{x}{2}+1)^2$

Stesso discorso di prima per $x \ne 0$ e pari non ammette soluzioni ma per $x=0$ ammette la soluzione $(0,1)$.

[axpgn]

Bella