Sempre più grande

[axpgn]

Supponiamo di avere quattro interi $a, b, c, d$ non tutti e quattro uguali.
Partendo dalla quaterna $(a, b, c, d)$ rimpiazziamola ripetutamente con la quaterna $(a-b. b-c, c-d, d-a)$.
Allora almeno uno dei quattro numeri della quaterna diventerà arbitrariamente grande.


Cordialmente, Alex

[dan952]

Sia $\zeta_4$ una radice primitiva 4-esima dell'unità e sia $z_0 \in \mathbb{Z}[\zeta_4]$ tale che

$z_0=a_0\zeta_4^3+b_0\zeta_4^2+c_0\zeta_4+d_0$

con $a_0,b_0,c_0$ e $d_0$ non tutti uguali.

Osserviamo che

$z_1=z_0-\zeta_4 z_0=(a_0-b_0)\zeta_4^3+(b_0-c_0)\zeta_4^2+(c_0-d_0)\zeta_4+d_0-a_0$

Poniamo $a_1=a_0-b_0, b_1=b_0-c_0, c_1=c_0-d_0, d_1=d_0-a_0$

Definiamo quindi la successione per ricorrenza

$z_{n+1}=z_n-\zeta_4 z_n=(1-\zeta_4)z_n=(1-\zeta_4)^{n+1}z_0$

facendo il modulo abbiamo che


$|z_{n+1}|= |(1-\zeta_4)|^{n+1} |z_0| =(\sqrt{2})^{n+1}|z_0|$

Il modulo di $z_{n+1}$ cresce con $n$ e dunque anche almeno uno dei coefficienti di $z_{n+1}$ deve crescere con $n$ poiché

$|z_{n+1}| \leq |a_{n+1}|+|b_{n+1}|+|c_{n+1}|+|d_{n+1}|$


Così abbiamo dimostrato che almeno uno dei coefficienti tende ad infinito in modulo, tuttavia si ha che

$a_n+b_n+c_n+d_n=0$

per ogni $n>0$, infatti

$a_{n+1}=a_n-b_n, b_{n+1}=b_n-c_n, c_{n+1}=c_n-d_n, d_{n+1}=d_n-a_n$

da cui

$a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}+d_{n+1}=0$

quindi se almeno un coefficiente tende a $+\infty$ esiste almeno un altro coefficiente che tende a $-\infty$.

[axpgn]

@dan95
Mi sembra che tu stia usando concetti/strumenti non alla portata di questa sezione ... IMHO


Cordialmente, Alex

[dan952]

@axpgn

I numeri complessi si studiano alle superiori, in particolare io ho usato la soluzione primitiva dell'equazione $x^4-1=0$ che gode appunto di questa proprietà $\zeta_4^4=1$.

[axpgn]

@dan95

I numeri complessi sì (forse ) ma già sulle radici primitive dell'unità e loro proprietà avrei dei dubbi; e poi quanti sanno il significato di $ z_0 \in \mathbb{Z}[\zeta_4] $ ?
Rimango perplesso ... IMHO

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@dan95
Hai modificato il tuo messaggio iniziale?
Comunque ci ho capito poco


Cordialmente, Alex

[dan952]

@axpgn

Ora cerco una soluzione più elementare

[hydro1]

Siccome tutte le quaterne sono a somma zero, basta mostrare che il massimo dei moduli tra le componenti delle quaterne in una stessa orbita tende a $+\infty$. Supponiamo il contrario, ovvero che esista $(a,b,c,d)$ tale che il massimo dei moduli delle componenti delle quaterne nella sua orbita sia limitato. A meno di rimpiazzare $(a,b,c,d)$ con $(-a,-b,-c,-d)$, possiamo supporre che tale massimo venga realizzato da una componente positiva. Sia $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ la quaterna che realizza il massimo; a meno di permutare $(a,b,c,d)$ possiamo supporre che $n_1\ge |n_i|$ per ogni $i$. Adesso $n_2$ non può essere negativo, perchè altrimenti allo step dopo $n_1-n_2>n_1$. D'altronde da qualche parte ci deve essere una componente negativa, visto che la somma è $0$. Se $n_4<0$, allo step dopo $n_4-n_1n_1$. Allora però sia $n_2$ che $n_4$ devono essere positivi o nulli, il che implica che $n_3$ è negativo. Ovviamente se $n_2$ o $n_4$ sono $>0$, $|n_3|=|n_1+n_2+n_4|>n_1$, il che è ancora una contraddizione. L'unica chance quindi è che la quaterna sia $(n_1,0,-n_1,0)$, che però in altri due step si becca $2n_1$ come seconda componente, contraddicendo ancora una volta l'assunzione.

[axpgn]

@hydro
Che cos'è un'orbita?

Sia $(a_n, b_n, c_n, d_n)$ una quadrupla dopo $n$ iterazioni; allora $a_n+b_n+c_n+d_n=0$ con $n>=1$.

Abbiamo $a_(n+1)^2+b_(n+1)^2+c_(n+1)^2+d_(n+1)^2=(a_n-b_n)^2+(b_n-c_n)^2+(c_n-d_n)^2+(d_n-a_n)^2=$

$=2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)-2a_nb_n-2b_nc_n-2c_nd_n-2d_na_n$

Abbiamo anche $0=(a_n+b_n+c_n+d_n)^2=(a_n+c_n)^2+(b_n+d_n)^2+2a_nb_n+2b_nc_n+2c_nd_n+2d_na_n$

Ne consegue $2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)+(a_n+c_n)^2+(b_n+d_n)^2>2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)$ e generalizzando $a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2>2^(n-1)(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)$

Cordialmente, Alex

[hydro1]

"axpgn":@hydro
Che cos'è un'orbita?

L’orbita di una quaterna $q$, in questo caso, è l’insieme di tutte le quaterne che si ottengono a partire da $q$ iterando la tua operazione.

[axpgn]

Thanks