Equazione irrazionale

axpgn
Ad uno studente delle Superiori era stato richiesto di risolvere la seguente equazione:

$sqrt(3x-2)-sqrt(2x-3)=1$

La sua risposta è stata:
Elevo al quadrato entrambi i membri, ottengo $3x-2-2x-3=1$, quindi $x=6$

La soluzione, in effetti, è corretta.


Dimostrare che esistono infinite quaterne di numeri reali $a, b, c, d$ per le quali il metodo appena visto conduce alla corretta soluzione dell'equazione irrazionale $sqrt(ax-b)-sqrt(cx-d)=1$


Cordialmente, Alex

Risposte
giammaria2
Anche la conclusione di quello studente non è del tutto corretta, perché trascura la soluzione $x=2$; ammetto che anche nell'equazione generica si possa trascurare una delle due soluzioni.
Dimostro una tesi più ristrettiva: esistono infinite cinquine di numeri interi e positivi $a,b,c,d,x$ che vanno bene. E non le troverò neanche tutte (per fortuna non è richiesto), ma solo una parte di esse.


axpgn
Bravo! :smt023

E con un parametro solo? :D



Cordialmente, Alex

giammaria2
Cosa intendi parlando di un parametro solo? Alla fine del mio ragionamento, puoi eliminarne uno dei miei due assegnandogli un qualsiasi valore opportuno.

Rilancio il problema: dimostrare che ci sono infiniti valori reali per cui il metodo dello studente dà una soluzione corretta di $sqrt(ax-b)-sqrt(bx-a)=1$

axpgn
Chiaramente è corretto quanto dici, intendevo un procedimento che portasse ad un solo parametro ma lascia perdere, non è importante :D

Cordialmente, Alex

giammaria2
Nessuno ha colto il mio rilancio e lo faccio di nuovo, una settimana dopo: chiedevo di dimostrare che ci sono infiniti valori reali per cui il metodo dello studente dà una soluzione corretta di $sqrt(ax-b)-sqrt(bx-a)=1$

axpgn
A dir la verità io avevo raccolto ma non ho trovato niente di semplice :-D




Cordialmente, Alex

giammaria2
Do un hint; è sulla falsariga della mia precedente soluzione.


giammaria2
E' passato quasi un mese dal mio rilancio e penso che sia ora di dare la mia soluzione, mostrando che c'è una risposta facile.


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