Equazione irrazionale
Ad uno studente delle Superiori era stato richiesto di risolvere la seguente equazione:
$sqrt(3x-2)-sqrt(2x-3)=1$
La sua risposta è stata:
Elevo al quadrato entrambi i membri, ottengo $3x-2-2x-3=1$, quindi $x=6$
La soluzione, in effetti, è corretta.
Dimostrare che esistono infinite quaterne di numeri reali $a, b, c, d$ per le quali il metodo appena visto conduce alla corretta soluzione dell'equazione irrazionale $sqrt(ax-b)-sqrt(cx-d)=1$
Cordialmente, Alex
$sqrt(3x-2)-sqrt(2x-3)=1$
La sua risposta è stata:
Elevo al quadrato entrambi i membri, ottengo $3x-2-2x-3=1$, quindi $x=6$
La soluzione, in effetti, è corretta.
Dimostrare che esistono infinite quaterne di numeri reali $a, b, c, d$ per le quali il metodo appena visto conduce alla corretta soluzione dell'equazione irrazionale $sqrt(ax-b)-sqrt(cx-d)=1$
Cordialmente, Alex
Risposte
Anche la conclusione di quello studente non è del tutto corretta, perché trascura la soluzione $x=2$; ammetto che anche nell'equazione generica si possa trascurare una delle due soluzioni.
Dimostro una tesi più ristrettiva: esistono infinite cinquine di numeri interi e positivi $a,b,c,d,x$ che vanno bene. E non le troverò neanche tutte (per fortuna non è richiesto), ma solo una parte di esse.
Dimostro una tesi più ristrettiva: esistono infinite cinquine di numeri interi e positivi $a,b,c,d,x$ che vanno bene. E non le troverò neanche tutte (per fortuna non è richiesto), ma solo una parte di esse.
Bravo!
E con un parametro solo?
Cordialmente, Alex

E con un parametro solo?

Cordialmente, Alex
Cosa intendi parlando di un parametro solo? Alla fine del mio ragionamento, puoi eliminarne uno dei miei due assegnandogli un qualsiasi valore opportuno.
Rilancio il problema: dimostrare che ci sono infiniti valori reali per cui il metodo dello studente dà una soluzione corretta di $sqrt(ax-b)-sqrt(bx-a)=1$
Rilancio il problema: dimostrare che ci sono infiniti valori reali per cui il metodo dello studente dà una soluzione corretta di $sqrt(ax-b)-sqrt(bx-a)=1$
Chiaramente è corretto quanto dici, intendevo un procedimento che portasse ad un solo parametro ma lascia perdere, non è importante 
Cordialmente, Alex

Cordialmente, Alex
Nessuno ha colto il mio rilancio e lo faccio di nuovo, una settimana dopo: chiedevo di dimostrare che ci sono infiniti valori reali per cui il metodo dello studente dà una soluzione corretta di $sqrt(ax-b)-sqrt(bx-a)=1$
A dir la verità io avevo raccolto ma non ho trovato niente di semplice 
Cordialmente, Alex

Cordialmente, Alex
Do un hint; è sulla falsariga della mia precedente soluzione.
E' passato quasi un mese dal mio rilancio e penso che sia ora di dare la mia soluzione, mostrando che c'è una risposta facile.