Corde

[axpgn]

If a curve has the property that every chord joining every two points on it meets the curve at the same angle at the two points, is the curve always a circle, or are there other curves with this same property?


[size=85]Nota: Ho preferito lasciarlo in originale.[/size]


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

2 linee parallele.

Non so se vale come curva...

[axpgn]

Non penso che l'estensore del problema la riterrebbe una curva ma, al di là di questo, non ha le caratteristiche richieste

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":

Non penso che l'estensore del problema la riterrebbe una curva ma, al di là di questo, non ha le caratteristiche richieste

Cordialmente, Alex

Perche' non ha le caratteristiche richieste ? Si possono pensare le due rette come se si congiungessero all'infinito formando cosi' una sola curva.
Voglio dire: la corda sarebbe quella del teorema di Talete.

[axpgn]

"Ogni corda" non "Una corda"

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Vedo che l'esempio delle parallele non riscuote successo.
Ogni corda che collega le parallele crea angoli uguali, ogni corda.
La corda $AB$ crea in $A$ gli angoli $\alpha$ e $\beta$ e in $B$ crea gli angoli $\beta$ e $\alpha$.
Magari si puo' dire che gli angoli sono scambiati rispetto all'esempio del cerchio, ma non vedo altri problemi di sorta.

Comunque, scartate le parallele, allora direi che le uniche due curve sono il cerchio e la retta.
Sulla retta gli angoli sono tutti zero (e 180 gradi). Del resto la retta altro non e' che un cerchio di raggio infinito.

[axpgn]

"Quinzio":Magari si puo' dire che gli angoli sono scambiati rispetto all'esempio del cerchio, ma non vedo altri problemi

Premesso che la retta è un esempio un po' al limite ma comunque, sempre al limite, sarebbe sempre un cerchio, il problema rimane ancora aperto: o si trova un'altra curva o si dimostra che il cerchio è l'unica.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Io riesco a dimostrare che ogni quadrilatero avente per lati corde con quella proprietà è inscrivibile in una circonferenza, ma non so se basta: resta il dubbio che sia inscrivibile anche in un'altra curva. Mi sembra però impossibile che questo succeda per ogni quadrilatero.

Siano $A, B, C, D$ quattro punti della curva; indico con $hatA$ l'angolo interno del quadrilatero e con $alpha$ i due angoli uguali formati dalla curva con la corda $AB$; proseguo analogamente, ruotando nello stesso verso. Ho quindi
${(hatA+delta+alpha=pi),(hatB+alpha+beta=pi),(hatC+beta+gamma=pi),(hatD+gamma+delta=pi):}$

Sommandole tutte ottengo

$(hatA+hatB+hatC+hatD)+2(alpha+beta+gamma+delta)=4pi$

e poiché la prima parentesi vale $2pi$

$2pi+2(alpha+beta+gamma+delta)=4pi->alpha+beta+gamma+delta=pi$

Sommando ora la prima e la terza delle precedenti formule ho

$hatA+hatC+(alpha+beta+gamma+delta)=2pi->hatA+hatC+pi=2pi->hatA+hatC=pi$

che dimostra che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

[axpgn]

Prova con i triangoli

[giammaria2]

Mi spiace, ma proprio non vedo come utilizzare i triangoli. In compenso, ho trovato come superare il mio dubbio iniziale; se ne è però aperto un altro.

Presi tre punti sulla curva, la mia dimostrazione dice che ogni altro punto si trova sulla circonferenza da essi individuata; la circonferenza è quindi l'unica soluzione (a parte le due rette di Quinzio, in cui gli angoli sono da parte opposta della corda).
Se i tre punti sono allineati, sembra che la circonferenza degeneri in una retta, ma non è così. Ad esempio, la curva può essere una sinusoide, di cui abbiamo casualmente preso tre punti con la stessa $y$ (ricordiamo che in geometria gli angoli non hanno segno).

[axpgn]

Sinceramente non ho capito cosa vuoi dire ...

Dici che non utilizzi i triangoli ma poi usi li usi e usi anche tre punti ...
Prendi la sinusoide come esempio ma la sinusoide non ha le caratteristiche richieste (ricordo: OGNI corda)
A me pare che ci sei ma non te ne rendi conto

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Evidentemente c'è stata abbastanza chiarezza.

Uso tre punti per individuare una circonferenza, ma poi uso i quadrilateri per dire che ogni altro punto vi appartiene: secondo me, questo non è usare i triangoli.
Quanto alla sinusoide, era un controesempio: su essa si possono scegliere tre punti allineati ma non va bene perché la sinusoide non gode della proprietà voluta.

[axpgn]

Continuo a non avere chiaro cosa intendi dire (la sinusoide sarebbe un controesempio di cosa? non ho capito); peraltro, non è importante quel che ho capito io , però ribadisco che, a mio parere, hai già gli elementi per concludere

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Ogni tanto continuo a pensare a questo problema, a tempo perso (quello che posso dedicarci).

Mi e' venuta una possibile dimostrazione che vi propongo.
L'idea centrale e' di usare l'inversione circolare (https://it.wikipedia.org/wiki/Inversione_circolare) per trasformare la curva in qualcosa che sia piu' facilmente trattabile. E in particolare si sfrutta la caratteristica notevole dell'inversione circolare che gli angoli vengono preservati dalla trasformazione.
Innanzitutto in questa dimostrazione mi concentro sulle curve chiuse e convesse, ma credo che il ragionamento si estenda senza troppe difficolta' a tutte le curve.

Ora abbiamo questa curva chiusa e convessa C e in un punto della curva si pone il centro di un cerchio (che deve contenere C).
Questo cerchio viene usato per l'inversione circolare.
Il risultato dell'inversione e' una seconda curva C', non chiusa, che si estende all'infinito e contenuta in una striscia di piano.
Piu' formalmente, questa curva C' ha lunghezza infinita e la striscia di piano e' delimitata da due rette. Ogni retta perpendicolare alla striscia interseca C' e lo fa in un solo punto.
Ora si tratta di dimostrare che una curva come C' rispetta i requisiti del problema (ogni corda forma angoli uguali ecc.. ) solo se C' e' una retta.
Questa parte e' forse la piu' cavillosa da dimostrare, ma credo che si possa fare cosi': se la curva C' non e' una retta, allora ha almeno un tratto a curvatura maggiore di zero. E ancora, la curvatura deve essere su entrambi i lati di C' altrimenti C' non e' piu' contenuta in una striscia di piano. In altre parole, su C' devono esistere almeno due tratti in cui il cerchio osculatore e' su due lati diversi di C'.
Su uno di questi due tratti si traccia la retta tangente scegliendo un punto che incroci la curva nell'altro tratto. Una retta fatta cosi' forma un angolo zero nel punto di tangenza, e un angolo diverso da zero nell'altro punto in cui interseca C'.
Quindi, riassumendo, abbiamo due casi per C':
- se C' e' una retta, allora ogni corda di C' forma un angolo zero con C' (banalmente la corda e' sovrapposta a C') e soddisfa i requisiti del problema.
- se C' non e' una retta, allora esiste almeno una corda che NON rispetta i requisiti del problema.

Finita la parte piu' cavillosa che, spero, sia dimostrata, torno al problema originale.

La curva C' era stata ottenuta da C attraverso una inversione circolare.
L'inversione circolare preserva gli angoli e trasforma rette in cerchi e cerchi in rette.
Quindi, C', che e' una retta, (per soddisfare i requisiti del problema), viene trasformata in un cerchio.
Ogni corda K' di C' diventa un arco di circonferenza K completamente sovrapposto a C.
Le estremita' di K formano due angoli zero con la circonferenza C (K e' banalmente sovrapposto a C).
Dalle estremita' dell'arco di circonferenza K si traccia la corda corrispondente (un segmento di retta).
La corda forma angoli uguali con K, che a sua volta forma due angoli zero con C.
Quindi la corda forma angoli uguali con C.
Quindi il cerchio (e la retta) sono le uniche due curve che soddisfano i requisiti del problema.

Riassumo tutta la dimostrazione tenendo solo i punti fondamentali.
Abbiamo una striscia di piano e una curva infinita contenuta nella striscia.
L'unica di queste curve che soddisfa il problema e' la retta.
Usiamo un'inversione circolare per trasformare la curva (nella striscia di piano), in una curva chiusa a lunghezza finita.
Siccome l'inversione circolare preservagli angoli e manda rette in cerchi e cerchi in rette *** , la seconda curva e' un cerchio.
Quindi cerchi e rette sono le uniche curve che soddisfano il problema.

***: se il cerchio passa per il centro del cerchio usato per l'inversione.

[Quinzio]

"axpgn":If a curve has the property that every chord joining every two points on it meets the curve at the same angle at the two points, is the curve always a circle, or are there other curves with this same property?


[size=85]Nota: Ho preferito lasciarlo in originale.[/size]


Cordialmente, Alex

Metto questo commento in chiaro siccome e' di carattere generale.
Attenzione perche' secondo me il problema si presta a due interpretazioni piuttosto ambigue.
Purtroppo me ne sono accorto solo ora e vorrei fare chiarezza.

Mi spiego: si prendono 2 corde qualsiasi $K$ e $K'$, queste due corde individuano due angoli ciascuna: $\alpha, \beta$ e $\alpha ', \beta '$
La prima interpretazione del problema e' quella che chiede che "solamente" $\alpha = \beta$ e $\alpha ' = \beta '$.
Questa e' l'interpretazione che ho intuito io, che e' piu' debole o generica, ma richiede una soluzione piu' complessa.
Infatti questa interpretazione ammette come possibilita' che $\alpha = \beta \ne \alpha ' = \beta '$

La seconda interpretazione, che credo sia stata quella intuita da Alex e Gianmaria, che e' la piu' "forte", richiede non solo che $\alpha = \beta$ e $\alpha ' = \beta '$, ma che tutti gli angoli siano uguali, ovvero $\alpha = \beta = \alpha ' = \beta '$. E per proprieta' transitiva, ogni corda forma sempre lo stesso angolo.

Il dubbio mi e' venuto perche' continuavo a pensare come mai Alex mi avesse rifiutato la proposta delle due rette parallele.
Infatti l'esempio delle due rette parallele soddisfa la prima interpretazione ma non la seconda. Metto qui un "reminder" delle retta parallele:

"axpgn":

"Ogni corda" non "Una corda"

Cordialmente, Alex

L'ambiguita' delle due interpretazioni diventa ancora piu' ambigua perche' entrambe le interpretazioni portano alla stessa soluzione, ovvero il cerchio. Ovvero non esistono soluzioni alla prima interpretazione che non soddisfino anche la seconda.
A dire il vero ci sarebbe proprio l'esempio delle due parallele, ma formalmente non e' una curva, quindi la scartiamo definitivamente.
Quindi in pratica il rischio e' quello di non accorgersi mai di questa ambiguita', siccome la soluzione e' la stessa.
Secondo me il problema va inteso nel primo modo, ma ripeto, e' molto facile capirlo nel secondo modo.

[axpgn]

Non mi è chiaro cosa intendi dire di preciso (p.es. ogni corda genera 4 angoli, uguali o diversi che siano); comunque, a mio parere, non c'è nessuna ambiguità nel testo in quanto l'autore cita espressamente il cerchio come esempio di cosa intende, il riferimento è quello.


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ecco una soluzione ...

Supponiamo di avere una curva, diversa dal cerchio, che abbia le caratteristiche richieste.
Su di essa prendiamo tre punti $A, B, C$, tracciamo le tre corde ed otteniamo un triangolo che forma con la curva sopraddetta gli angoli in figura.

Si può dimostrare, come per esempio fatto da giammaria, che $c=gamma$.
Se ora prendiamo un altro punto sulla curva, diciamo $D$, mantenendo fissa la corda, possiamo ripetere lo stesso ragionamento ottenendo $d=gamma$ e quindi $c=d$.
E questo vale per ogni punto della curva sopraddetta.
Ma il luogo dei punti in cui una corda sottende lo stesso angolo è il cerchio, ne consegue che la nostra curva ipotizzata diversa dal cerchio, in realtà è realmente un cerchio.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Il testo del problema e' ambiguo (anche) perche' non esistono solo curve a forma di uovo, ma esistono anche curve aperte e non solo chiuse, esistono curve a lunghezza finita o infinita, esistono curve concave e convesse, ci sono curve differenziabili e altre no, e se vogliamo esistono anche le curve frattali.
Evidentemente l'autore aveva in mente una curva a forma ovoidale, quella che si fa quando uno con una biro traccia un circolo su un foglio di carta, senza porsi troppi problemi su quali siano tutti i tipi di curva.

Inoltre riportare il testo originale in inglese va benissimo, ma poi bisogna stare attenti alla traduzione, perche' in inglese il "circle" e' la nostra circonferenza, mentre quello che noi chiamiamo cerchio andrebbe tradotto con "disc" (e viceversa).
Invece in questo thread il testo in inglese parla di circle, ma poi nei commenti in italiano tutti tranquillamente parlano di cerchio, traducendo "circle" con cerchio, ignorando la differenza tra cerchio e circonferenza.
Per chiarirci la circonferenza e' la curva che racchiude la parte di piano detta cerchio.

E poi, il fatto che l'autore indichi il cerchio come soluzione dl problema non e' per nulla un indicazione di cosa intendesse.
Il problema inizia parlando di curve che hanno una certa caratteristica, ma senza specificare nulla di piu'.
Anzi, non si capisce perche' l'autore stesso indichi la soluzione, quando poi questa soluzione e' l'unica.
Se ci fosse piu' di una soluzione, allora puo' essere corretto indicare un suggerimento, ma non se la soluzione e' unica.

[Quinzio]

"axpgn":Ecco una soluzione ...

Supponiamo di avere una curva, diversa dal cerchio, che abbia le caratteristiche richieste.
Su di essa prendiamo tre punti $A, B, C$, tracciamo le tre corde ed otteniamo un triangolo che forma con la curva sopraddetta gli angoli in figura.

Si può dimostrare, come per esempio fatto da giammaria, che $c=gamma$.
Se ora prendiamo un altro punto sulla curva, diciamo $D$, mantenendo fissa la corda, possiamo ripetere lo stesso ragionamento ottenendo $d=gamma$ e quindi $c=d$.
E questo vale per ogni punto della curva sopraddetta.
Ma il luogo dei punti in cui una corda sottende lo stesso angolo è il cerchio, ne consegue che la nostra curva ipotizzata diversa dal cerchio, in realtà è realmente un cerchio.

Cordialmente, Alex

La dimostrazione fatta da gianmaria e' apprezzabile perche' dimostra delle buone capacita' di analisi, pero' c'e' qualcosa che non va: c'e' un passaggio che non e' giustificato e va dimostrato.
Purtroppo la dimostrazione omessa di questo passaggio implica che la curva sotto esame sia un cerchio, e questo e' un grosso problema siccome e' proprio la tesi da dimostrare. Ovvero bisogna usare la tesi per dimostrare la tesi. E' un ragionamento circolare e ricorsivo che inficia la dimostrazione.
Detto questo, ripeto, bisogna riconoscere a gianmaria lo sforzo fatto, ma che ha condotto ad un vicolo cieco.
La domanda che faccio e': qual e' il passaggio che manca e che va dimostrato ? E qual e' la dimostrazione ?

Inoltre, la figura nel disegno sembra presa da un libro (che deve avere parecchi anni, vista la grafica usata).
Nel disegno ci sono 2 triangoli, quindi penso che l'autore abbia usato dei triangoli per dimostrare il tutto, mentre gianmaria ha usato un quadrilatero. In un tuo commento inoltre, inviti gianmaria ad usare i triangoli, e gli dici che e' vicino alla soluzione, ma poi e' gianmaria stesso che scrive che non vede come usare i triangoli. A me sembra un po' sospetto tutto cio'.
Si puo' vedere questa dimostrazione ?

[giammaria2]

"Quinzio":La seconda interpretazione ... richiede ... $\alpha = \beta = \alpha ' = \beta '$.

Mi sembra decisamente troppo restrittiva: se A, B, C non sono allineati, le corde AB ed AC formano angoli diversi con la tangente in A. L'unico caso in cui questa interpretazione può verificarsi è che tutti i punti della curva siano allineati, cioè che la curva sia una retta. E questa è una soluzione, dato che la retta forma angoli nulli con ogni sua corda.

@ Quinzio

Non mi pare di aver usato la tesi: fissati tre punti, essi individuano una circonferenza ed io ho dimostrato che ogni quarto punto vi appartiene. Al massimo, si può dire che sapevo dove volevo arrivare, ma questo vale per ogni dimostrazione.

[axpgn]

"Quinzio":Il testo del problema e' ambiguo (anche) perche' non esistono solo curve a forma di uovo, ... Evidentemente l'autore aveva in mente una curva a forma ovoidale, quella che si fa quando uno con una biro traccia un circolo su un foglio di carta, senza porsi troppi problemi su quali siano tutti i tipi di curva.

Non sono affatto d'accordo.
Non so cosa intendesse esattamente l'autore per curva, sicuramente si riferiva a qualcosa che avesse tre punti in cui si potesse tracciare la tangente in modo da potere avere un angolo, non credo serva altro; l'immagine che ho riportato non rappresenta la totalità delle curve interessate e non è neppure esemplificativa, mi serviva solo per evitare di definire tutti gli angoli coinvolti nel problema, prendi un'altra curva se vuoi e tracciali pure.

Il distinguo, corretto, tra cerchio e circonferenza non influisce su quanto dibattuto, ne converrai.

"Quinzio":E poi, il fatto che l'autore indichi il cerchio come soluzione dl problema non e' per nulla un indicazione di cosa intendesse. ...

Anzi è il contrario, il senso del problema è: La circonferenza è o non è l'unica curva con tale caratteristica?
Ovvero l'autore parte proprio dal cerchio perché quello è il suo centro di interesse.
Non è un problema a sé stante ma è all'interno di un capitolo teso ad evidenziare altro, in particolare la relazione tra una proposizione e la sua conversa.
In questo caso viene sottolineata la validità del "se e solo se" tant'è che l'autore si spinge ad affermare che questa caratteristica può essere utilizzata alternativamente come definizione di "circonferenza".

"Quinzio":Si puo' vedere questa dimostrazione ?

Facendo riferimento all'immagine si ha $a+beta+gamma=2pi, alpha+b+gamma=2pi, alpha+beta+c=2pi$.
Sommando membro a membro otteniamo $(a+b+c)+2(alpha+beta+gamma)=6pi$.
Ora, siccome $a+b+c=2pi$, quindi $2(alpha+beta+gamma)=4pi$ cioè $alpha+beta+gamma=2pi$, comparando quest'ultima con $a+beta+gamma=2pi$, giungiamo a $a=alpha$. Lo stesso per gli altri cioè $b=beta, c=gamma$.
Ripeti il tutto per qualsiasi altro punto $D$ sulla curva.

Mi riferivo al procedimento di giammaria perché ha usato un ragionamento simile.

Cordialmente, Alex