Allineamento di quattro punti

[Luca P.2]

Di recente mi è venuto in mente questo teorema e mi è venuta voglia di proporvelo come quesito dimostrativo. Spero sia più o meno all'altezza degli altri, ho voluto proporlo anche perché di Geometria ne ho visti pochi.

Siano $AB$ e $CD$ due segmenti paralleli e non congruenti. Dimostrare che i loro punti medi, il punto d'intersezione delle rette $AC$ e $BD$ e quello delle rette $AD$ e $BC$ sono allineati.

[Luca P.2]

Siccome, dopo aver avuto l'idea di questo strano teorema, ne sono venuto a capo tempo dopo (solo di recente), lascio un suggerimento in spoiler a chiunque ne possa aver bisogno, per metterlo sulla strada della mia dimostrazione.

Conviene considerare i punti medi e dimostrare prima che sono allineati con il punto d'intersezione delle rette $AC$ e $BD$ e poi dimostrare che lo sono con l'intersezione di $AD$ e $BC$. Può tornare utile dimostrare che, se $AB$ e $CD$ sono due segmenti paralleli, $P$ l'intersezione delle rette $AC$ e $BD$ e $Q$ il punto in cui $AD$ interseca $BC$, per ogni generica retta che intersechi $AB$ in $R$ e $CD$ in $S$, si ha che se passa per $P$, allora ${AR} /{CS} ={BR} /{DS} $ e, se la retta passa per $Q$, allora ${AR} /{SD} ={BR} /{CS} $. Questo lemma implica direttamente la tesi.

[Zero87]

Non ho (ancora?) in mente una dimostrazione e non so dirti della tua, ma penso che - di riflesso - hai dimostrato che, in un trapezio qualsiasi (ABCD o ABDC a seconda del disegno) il segmento che unisce i punti medi delle basi passa per l'intersezione delle diagonali. Beh, è una cosa interessante o, per lo meno, non la conoscevo.

[Luca P.2]

Diciamo che a tempo perso mi piace inventare problemi e vedere se hanno senso, io sono stato un mese su quest'idea strana cercando di dimostrarla, per questo l'ho messa qui. Anche per avere una conferma della mia stupidità, scoprendo eventualmente una dimostrazione molto più semplice e immediata