3 cerchi

[gio73]

Recentemente ho trovato questo problema per le superiori






il raggio dei cerchi è 4(cm)

si vuole conoscere l'area delle parti evidenziate in verde

[Luca P.2]

Gio, ti propongo la mia soluzione al problema.

L'area è data dalla differenza dell'area del cerchio centrale, pari a $16\pi$, e delle aree dei quattro segmenti circolari a una base (equivalenti tra loro), aventi per basi $DF$ e $GE$. Sia $A$ l'area incognita e sia $A_s$ l'area di ciascuno dei segmenti.

$A=16\pi-4A_s$.

$A_s=A_S-A_t$, ovvero la differenza dell'area del settore circolare e di quella del triangolo "in più". Siccome l'angolo al centro del settore misura $120$ gradi (il che si giustifica anche solo per mezzo della tradizionale costruzione geometrica del triangolo equilatero), l'area del settore sarà un terzo dell'area del cerchio, cioè $16/3\pi$. L'area del triangolo, invece, sarà data dal doppio dell'area di $CHE$, detto $H$ il piede dell'altezza relativa al lato $GE$ di $GCE$. Essendo il triangolo isoscele, $CHE$ avrà un angolo interno di trenta gradi e $\overline{CH} = 4/2=2$. Per il teorema di Pitagora, $\overline{EH} = \sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$ e l'area di $CHE$ sarà pari a $2\sqrt{3}$.

$A_s=16/3\pi-4\sqrt{3}$.

$A=16\pi-64/3\pi+16\sqrt{3}=16\sqrt{3}-16/3\pi$.

[gio73]

Esattamente il procedimento che ho usato io

Come ti sembra questo problema per un/a ragazzo/a di 16 anni?

[Bokonon]

Io ricordo che li risolvevo in terza liceo.

Mi concentro prima nel trovare l'area verde in alto.
Per costruzione si deduce che $AB=BC=AD=BD=BE=CE=DE=r$
Da cui l'area dei triangoli equilateri è $T=sqrt(3)/4r^2$
L'area di una porzione della circonferenza è un sesto dell'area totale, pertanto $P=pi/6r^2$
L'area di una lunetta $L=P-T$
Quindi l'area verde in alto è $V/2(r)=P-2L=P-2(P-T)=2T-P$
Da cui l'area verde totale è $V(r)=4T-2P=r^2(sqrt(3)-pi/3)$
Quindi $V(4)=16(sqrt(3)-pi/3)$

[gio73]

È pensato per ragazzi di 16 anni infatti
Il fatto è che è stato considerato particolarmente difficile