Problema da “Problem Solving Strategies” di Engel
Ho una successione di punti del piano così definita
Adesso, ho provato a dimostrare che le due successioni che generano ciascun punto convergono ad un certo valore ma per il momento sono solo riuscito a dimostrare che convergono:
(So di per certo che convergono ad $ sqrt(ab) $, è un po’ come barare, ma lo dice la soluzione
)
Avevo avuto qualche idea, tipo dimostrare che si ricadrebbe in un assurdo se le due successioni non convergessero allo stesso valore, allora sarebbe necessario che entrambe convergano ad $ sqrt(ab) $.
Ecco magari senza dimostrare prima la convergenza e poi il valore a cui convergono riuscirei ad arrivare più facilmente alla soluzione, stavo pensando in qualche modo di sfruttare la distanza dall’origine, ma non saprei come...
GRAZIE IN ANTICIPO a chi mi darà una mano
Adesso, ho provato a dimostrare che le due successioni che generano ciascun punto convergono ad un certo valore ma per il momento sono solo riuscito a dimostrare che convergono:
(So di per certo che convergono ad $ sqrt(ab) $, è un po’ come barare, ma lo dice la soluzione
)Avevo avuto qualche idea, tipo dimostrare che si ricadrebbe in un assurdo se le due successioni non convergessero allo stesso valore, allora sarebbe necessario che entrambe convergano ad $ sqrt(ab) $.
Ecco magari senza dimostrare prima la convergenza e poi il valore a cui convergono riuscirei ad arrivare più facilmente alla soluzione, stavo pensando in qualche modo di sfruttare la distanza dall’origine, ma non saprei come...
GRAZIE IN ANTICIPO a chi mi darà una mano
Risposte
Penso che hai sbagliato sezione 
"axpgn":
Penso che hai sbagliato sezione
Oh, scusami, sono nuovo del forum, ma scervelliamoci mi sembrava la sezione giusta
Sapresti indicarmi la sezione dove inserirlo? Così cancello da qui e lo riporto altrove
"Scervelliamoci un po' " è una sezione delle Superiori (vedi intestazione della sezione), dove si postano discussioni su "problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza" e simili (come da sottotitolo dell'intestazione).
Esiste una sezione analoga per l'Università che si chiama "Pensare un po' di più" ma siccome mi pare che tu non stai proponendo un quesito da risolvere (dagli altri) ma un tuo esercizio in cui vuoi un aiuto, la sezione naturale mi sembra quella di "Analisi matematica di base"
Cordialmente, Alex
Esiste una sezione analoga per l'Università che si chiama "Pensare un po' di più" ma siccome mi pare che tu non stai proponendo un quesito da risolvere (dagli altri) ma un tuo esercizio in cui vuoi un aiuto, la sezione naturale mi sembra quella di "Analisi matematica di base"
Cordialmente, Alex
@axpgn: L'autore della discussione è uno studente delle superiori, come ha scritto in un'altra discussione, e si sta preparando per la normale. Il libro in questione è inoltre un libro usato per prepararsi a questo tipo di test. Sinceramente mi sembra la sezione giusta. Se facesse la domanda in analisi potrebbe non capire la risposta.
Riguardo al tuo problema, quello che ti manca è dimostrare che le due successioni convergono alla stesso valore.
Poniamo \(k = \sqrt{ab}\), \(x_n = \alpha k\) e \(y_n = \alpha^{-1}k\). Che valori hanno \(x_{n+1}\) e \(y_{n+1}\)?
\[x_{n+1} = \frac{\alpha k + \alpha^{-1}k}{2} = k\frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha}\]
\[y_{n+1} = \frac{2\alpha k\alpha^{-1}k}{\alpha k + \alpha^{-1}k} = \frac{k^2}{k}\frac{2\alpha}{\alpha^2 + 1} = k\frac{2\alpha}{\alpha^2 + 1}\]
Quindi, hai che \(x_n\) e \(y_n\) possono essere espresse usando \(k\) e una terza successione \(s_n\) definita come:
\[\begin{cases} s_0 = ak^{-1} \\
s_{n+1} = \frac{s_n^2 + 1}{2s_n} \end{cases}\]
Ora non ti rimane che dimostrare che \(s_n\rightarrow 1\). Ma non sono sicuro sia il modo migliore per dimostrarlo.
Riguardo al tuo problema, quello che ti manca è dimostrare che le due successioni convergono alla stesso valore.
Poniamo \(k = \sqrt{ab}\), \(x_n = \alpha k\) e \(y_n = \alpha^{-1}k\). Che valori hanno \(x_{n+1}\) e \(y_{n+1}\)?
\[x_{n+1} = \frac{\alpha k + \alpha^{-1}k}{2} = k\frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha}\]
\[y_{n+1} = \frac{2\alpha k\alpha^{-1}k}{\alpha k + \alpha^{-1}k} = \frac{k^2}{k}\frac{2\alpha}{\alpha^2 + 1} = k\frac{2\alpha}{\alpha^2 + 1}\]
Quindi, hai che \(x_n\) e \(y_n\) possono essere espresse usando \(k\) e una terza successione \(s_n\) definita come:
\[\begin{cases} s_0 = ak^{-1} \\
s_{n+1} = \frac{s_n^2 + 1}{2s_n} \end{cases}\]
Ora non ti rimane che dimostrare che \(s_n\rightarrow 1\). Ma non sono sicuro sia il modo migliore per dimostrarlo.
"vict85":
@axpgn: L'autore della discussione è ... Sinceramente mi sembra la sezione giusta. Se facesse la domanda in analisi potrebbe non capire la risposta.
I didn't know, sorry
"axpgn":
[quote="vict85"]@axpgn: L'autore della discussione è ... Sinceramente mi sembra la sezione giusta. Se facesse la domanda in analisi potrebbe non capire la risposta.
I didn't know, sorry
[/quote]Figurati, avevo semplicemente visto la discussione. Anzi, dato che sei pratico di problemi di olimpiadi, magari hai qualche consiglio da dargli https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 3&t=202571
Ah, avevo visto quella discussione ma non mi ero accorto che fosse la stessa persona … 
Peraltro penso che j18eos sia un "attimino" più affidabile e performante di me
Peraltro penso che j18eos sia un "attimino" più affidabile e performante di me
I limiti $x$ ed $y$ delle successioni $(x_n)$ ed $(y_n)$ sono tali che $0< y<= sqrt(ab) <= x < +oo$ e soddisfano:
$\{( x = (x + y)/2), (y = (2xy)/(x+y)):} \ =>\ x - y = (x - y)^2/(2(x + y))$.
Se, per assurdo, fosse $x - y != 0$, da ciò seguirebbe $x - y = 2 x + 2 y$, ossia $x = - 3y < 0$; ma ciò è assurdo, perché $x > 0$.
Dunque $x - y = 0$, i.e. $x = y$, e ciò unito alle disuguaglianze $y <= sqrt(ab) <= x$ implica $y =sqrt(ab) = x$.
Ti pare?
Molto carino l’esercizio, devo dire… Grazie per averlo proposto (avevo sfogliato il libro di Engel, ma solo i primi paragrafi e cercando qualcosa di specifico per i miei studenti delle prime/seconde; quindi questo non l’avevo visto).
@ axpgn: Non ti buttare così giù…
$\{( x = (x + y)/2), (y = (2xy)/(x+y)):} \ =>\ x - y = (x - y)^2/(2(x + y))$.
Se, per assurdo, fosse $x - y != 0$, da ciò seguirebbe $x - y = 2 x + 2 y$, ossia $x = - 3y < 0$; ma ciò è assurdo, perché $x > 0$.
Dunque $x - y = 0$, i.e. $x = y$, e ciò unito alle disuguaglianze $y <= sqrt(ab) <= x$ implica $y =sqrt(ab) = x$.
Ti pare?
Molto carino l’esercizio, devo dire… Grazie per averlo proposto (avevo sfogliato il libro di Engel, ma solo i primi paragrafi e cercando qualcosa di specifico per i miei studenti delle prime/seconde; quindi questo non l’avevo visto).
@ axpgn: Non ti buttare così giù…
Grazie a tutti per le risposte 
.
In realtà stamattina mi era venuta in mente un’altra soluzione
A me sembra corretta, il mio obbiettivo come detto era quello di dimostrare semplicemente che le due successioni $ chi (n) $ e $ y(n) $ dovessero convergere al medesimo valore, parto dal fatto che $ chi (n) $ ed $ chi (n+1) $ sono due notazioni differenti per la stessa successione e che quindi al limite devono convergere allo stesso valore. È corretta?
.In realtà stamattina mi era venuta in mente un’altra soluzione
A me sembra corretta, il mio obbiettivo come detto era quello di dimostrare semplicemente che le due successioni $ chi (n) $ e $ y(n) $ dovessero convergere al medesimo valore, parto dal fatto che $ chi (n) $ ed $ chi (n+1) $ sono due notazioni differenti per la stessa successione e che quindi al limite devono convergere allo stesso valore. È corretta?
@axpgn Ma i tuoi (attuali) 14164 messaggi li vuoi confrontare coi miei "soli" (al momento) 6464 messaggi... 
@MassariGian Ammesso che tu abbia dimostrato la convergenza di quelle successioni, questa tua soluzione è corretta.
@MassariGian Ammesso che tu abbia dimostrato la convergenza di quelle successioni, questa tua soluzione è corretta.
"j18eos":
@axpgn Mai tuoi (attuali) 14164 messaggi li vuoi confrontare coi miei "soli" (al momento) 6464 messaggi...
Ma si sa che la gente parla spesso a vanvera
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