Triangoli equilateri

[axpgn]

$ABCD$ è un parallelogramma che NON ha angoli di $60°$.
Esternamente ai lati $AD$ e $DC$ disegnate i triangoli equilateri $ADE$ e $DCF$.
Dimostrare che il triangolo $BEF$ è equilatero.

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Bellissimo!
[Ma dove vai a prenderle, Alex, queste "perle" ? ]

NB. La tesi è vera anche se un angolo di ABCD è ampio π/3 d rad.

NB. Le misure degli angoli siano in radianti.
Sia α l'ampiezza degli angoli in A e in C. Allora l'ampiezza degli angoli in B e in D è π - α.
I lati AB e CD siano lunghi a e i lati BC e DA siano lunghi b.
Con tutto ciò:
• Nel triangolo EAB i lati AB ed EA sono lunghi rispettivamente a e b e l'angolo da essi compreso è ampio α+π/3;
• Nel triangolo BCF i lati CF e BC sono lunghi rispettivamente a e b e l'angolo da essi compreso è ampio α+π/3;
• Nel triangolo EDF i lati DF ed ED sono lunghi rispettivamente a e b e l'angolo da essi compreso è ampio
2π – (π - α + 2π/3) = α + π/3.
Pertanto i triangoli EAB, BCF ed EDF sono uguali (per il 1° criterio di uguaglianza dei triangoli ).
In particolare EB =BF = FE (perché rispettivamente opposti ad angoli uguali).
(I. e.: il triangolo EBF è equilatero C. D. D. )

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[axpgn]

Benone,

Per il NB: Presumo che l'autore abbia messo quella "eccezione" per rendere il problema "apparentemente" più difficile …

Da dove li prendo? Da libri che hanno più anni di te

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn": libri che hanno più anni di te

E' poco probabile!
Guarda che io ho fatto in tempo a cantare «Vincere! Vincere! Vincere! E vinceremo in cielo, in teraa e in mar!»
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Supposto che sia così (quindi: non tanto "libri del secolo scorso" ma piuttosto "libri che hanno molto probabilmente più di un secolo"), sono libri della tua libreria o vai a pescarli in qualche biblioteca pubblica?
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[axpgn]

Biblioteche reali e virtuali, tutte e due
Sono un bravo [strike]ri[/strike]cercatore

[orsoulx]

Al solo scopo di rendere palesi le analogie con 'Luogo di punti' posto un'atra soluzione.

Supposto i vertici del parallelogramma etichettati con verso antiorario; la rotazione di $60°$ gradi attorno a $ F $ porta $ C $ in $ D $ ed, essendo $CB$ congruente a $DE$ e ruotato di $ 60° $ ( $DA$ è parallelo e congruente a $CB$ ), la medesima rotazione porta $ B $ in $ E $. Il triangolo $ BFE $ risulta equilatero avendo $ FB $ congruente a $ FE $ e l'angolo compreso di $ 60° $

Ciao

[axpgn]

Adesso le vedo anch'io …

in un certo senso è l'inverso di quello cioè siccome un lato è uguale all'altro e il primo estremo è frutto di una rotazione di $60°$ allora lo sarà anche l'altro ecc. ecc.

Cordialmente, Alex