Cerchio e semicerchio

[axpgn]

Disegniamo una semicirconferenza nel primo quadrante "appoggiata" sull'asse delle $x$ e con un estremo nell'origine.
Disegniamo poi una circonferenza di raggio $r$, centrata nell'origine, che intersechi la semicirconferenza.
Chiamiamo $A$ il punto di intersezione della circonferenza con l'asse positivo delle ordinate e chiamiamo $B$ l'intersezione tra circonferenza e semicirconferenza.
Tracciamo la semiretta uscente da $A$ e passante per $B$, la quale intersecherà l'asse delle ascisse in $X$.

Se riduciamo $r$ sempre più, dove va a finire $X$ ?

Cordialmente, Alex

[MrDark82]

se non sbagliato i conti, per r-->0 anche x-->0

Saluti

[axpgn]

Eh, no ...

[giammaria2]

Scrivo solo alcuni punti della mia soluzione ed invito i lettori a ricostruirne il resto.

Indicando con $a$ il raggio della semicirconferenza e scrivendo il risultato in forma razionalizzata, con l'analitica trovo che l'ascissa di $X$ è $x=2a+sqrt(4a^2-r^2)$ e concludo facilmente.
Ho poi interpretato geometricamente questa soluzione e, sapendo dove volevo arrivare, ho trovato una soluzione per via sintetica.

[marmi1]

Ciao,
Io l'ho affrontato cosi':

Siano:
$O$ l’origine degli assi
$D$ la seconda intersezione, oltre ad $O$, della semicirconferenza con l’asse delle ascisse.
Sia $1$ il raggio della semicirconferenza.
Infine sia $\alpha$ la misura deglia angoli congruenti $BDO$ e $AOB$

L’angolo $OAB$ misura $\pi / 2 - \alpha /2$ quindi $OXB$ misura $\alpha /2$.
$BDX$ misura $\pi - \alpha $ quindi DBX misura $\pi /2 - \alpha /2$ ed e’ $DBX \cong OXB$
Da cui $BD \cong DX$.
Per $r \rightarrow 0$ $\overline{BD} \rightarrow 2$ e $\overline{OX} = \overline{OD}+ \overline{DX} rightarrow 4$.

Ciao,
Marmi

[axpgn]

@marmi

"marmi":Siano: $D$ la seconda intersezione, oltre ad $O$, della semicirconferenza con l’asse delle ordinate.

E quale sarebbe? Non ce ne sono altre ...

[marmi1]

pardon: ascisse. correggo.

[axpgn]

Ok

@marmi

Un paio di cose …

"marmi":$ BDX $ misura $ \pi - \alpha $ quindi DBX misura $ \pi /2 - \alpha /2 $ ed e’ $ DBX \cong OXB $

A me viene che l'angolo $DBX$ viene $alpha/2$ e non $pi/2-alpha/2$ (altrimenti non puoi dire che $DBX=OXB$)
E poi che per $r -> 0$ allora sia $BD -> 2 $ è intuitivamente vero ma formalmente?
Dico questo perché questo problemino è stato fatto proprio per testare l'intuizione; a molti è stato chiesto "dov'è pensi che vada a finire $X$ ? così, ad intuito" e buona parte ha risposto "all'infinito"

Cordialmente, Alex

[marmi1]

@alex

1. hai ragione: la misura di $DBX$ e' $\alpha /2$
2. per il teorema di pitagora, $DBO$ e' retto essendo inscritto in una semicirconferenza.
3. a intuito non avrei saputo dire

Ciao,
marmi

[MrDark82]

Proseguo la trattazione di marmi e rispondo ad alex

Volendo esprimere formalmente che BD-->2 per r-->0, si può esprimere BD applicando il teorema di Carnot al triangolo BOD in cui OB=r, OD=2 e l'angolo BOD vale \(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha \)

Saluti