Una versione semplificata dell'Ultimo Teorema di Fermat

[j18eos]

Considerata l'equazione diofantea
\[
a^n+b^n=p^n
\]
con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq3},\,a,b,p\in\mathbb{Z}\).

Dimostrare che esistono solo le soluzioni banali[nota]Intendo per banale quelle soluzioni che si ottengono per \(\displaystyle a=0\) o \(\displaystyle b=0\).[/nota] con \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\), ovvero con \(\displaystyle p\) numero primo.
[ot]È oltre una settimana che vedo e leggo, in maniera assolutamente errata, di questo teorema;
a questo punto, propongo un esercizio vero che ammette una soluzione elementare.[/ot]

[axpgn]

Beh, una soluzione c'è

Se $b=0$ … forse era meglio in $NN$ …

[j18eos]

A forza di sentirlo\leggerlo male, lo sto scrivendo anch'io male...

[j18eos]

Ho scoperto per caso questo è un problema dell'ammissione alla Normale di Pisa (quesito 3 - 2002/2003)...

Forza su!

[totissimus]

Nessuno ancora ha postato una risposta, quindi proponga la mia soluzione.

Il mio ragionamento si basa su questi due punti di facile dimostrazione
1) Per induzione si prova che
$a^{2n-1}+b^{2n-1}=\sum_{k=1}^{n}c_{k}(ab)^{n-k}(a+b)^{2k-1}$ con $c_{k}\in\mathbb{Z}$

2) le uniche soluzioni intere dell'equazione
$x^{n}+y^{n}=1$ sono $x=0,y=\pm1$ oppure $x=\pm1,y=0$

Considero i seguenti tre casi

1 caso) esponente dell'equazione diofantea dispari $2n-1$ con $n>1$

$$a^{2n-1}+b^{2n-1}=p^{2n-1}$$

applicando la 1) abbiamo:

$$p^{2n-1}=\sum_{k=1}^{n}c_{k}(ab)^{n-k}(a+b)^{2k-1}=(a+b)\sum_{k=1}^{n}c_{k}(ab)^{n-k}(a+b)^{2k-2}$$

essendo $p$ primo si deve avere
$p|(a+b)$ e $p|\sum_{k=1}^{n}c_{k}(ab)^{n-k}(a+b)^{2k-2}$ da cui segue che

$p|ab$ e quindi $p|a$ o $p|b$. Se $p|a$ da $b^{2n-1}=p^{2n-1}-a^{2n-1}$
segue $p|b$. Quindi $p|a$ e $p|b$. Possiamo dunque scrivere

$\left(\frac{a}{p}\right)^{2n-1}+\left(\frac{b}{p}\right)^{2n-1}=1$
e per la 2) deve essere $a=0$ o $b=0$

2 caso ) l'esponente contiene un fattore dispari

$a^{mn}+b^{mn}=p^{mn}$ con $m$ dispari

$\left(a^{n}\right)^{m}+\left(b^{n}\right)^{m}=p^{mn}$

Ci si riconduce facilmente al caso precedente e quindi $a^{n}=0$ o $b^{n}=0$

3) caso esponente multiplo di 4

$a^{4m}+b^{4m}=p^{4m}$

Se $a$ e $b$ sono entrambi pari allora $p=2$ e quindi $\left(\frac{a}{p}\right)^{4m}+\left(\frac{b}{p}\right)^{4m}=1$
da cui $a=0$ o $b=0$.

Supponiamo che sia $a>=0$ dispari .

$a^{4m}=p^{4m}-b^{4m}=(p^{2m}-b^{2m})(p^{2m}+b^{2m})$

Se i due fattori $p^{2m}-b^{2m},p^{2m}+b^{2m}$ hanno un fattore primo
comune $q$ si ha:

$q|(p^{2m}-b^{2m})$ e $q|(p^{2m}+b^{2m})$ da cui segue $q|2p^{2m}$ e $ q|2b^{2m}$
e quindi $q|p$ e $ q|b$ e quindi $q=p$ e $ p|b$ e quindi anche $p|a$ pertanto

$\left(\frac{a}{p}\right)^{2m}+\left(\frac{b}{p}\right)^{2m}=1$ da
cui $a=0$ o $ b=0$.

Se i due fattori $p^{2m}-b^{2m},p^{2m}+b^{2m}$ sono coprimi devono
esistere due interi $u,v$ coprimi tali che

$p^{2m}-b^{2m}=v^{4m}$, $p^{2m}+b^{2m}=u^{4m}$

Dalla seconda uguaglianza discende

$p^{2m}=u^{4m}-b^{2m}$

$p^{4m}=(u^{2m}-b^{m})(u^{2m}+b^{m})$

i due fattori a secondo membro devono essere potenze di $p$

$u^{2m}-b^{m}=p^{i}$,$u^{2m}+b^{m}=p^{4m-i}$ con $0\leq i<2m$

Da queste ricaviamo:

$u^{2m}=\frac{p^{4m-i}+p^{i}}{2}$,$b^{m}=\frac{p^{4m-i}-p^{i}}{2}$

Se $i>0$ allora $p|b$ e quindi anche $p|a$ e come abbiamo visto
sopra $a=0$ o $ b=0$

Quindi $i=0$ e $u^{2m}=\frac{p^{4m}+1}{2}$,$b^{m}=\frac{p^{4m}-1}{2}$

Dalla seconda uguaglianza adesso ricaviamo

$p^{2m}-\left(\frac{p^{4m}-1}{2}\right)^{2}=v^{4m}$

$p^{4m}-6p^{2m}+4v^{4m}+1=0$

Il discriminante rispetto a $p^{2m}$ uguale a $4\left(2-v^{4m}\right)$

Il solo valore accettabile di $v$ è $v=1$ e quindi

$p^{4m}-6p^{2m}+5=0$ le cui soluzioni sono

$p^{2m}=1,p^{2m}=5$ ovviamente non accettabili.
Ho considerato tutti i possibili casi dell'esponente dell'equazione diofantea quindi questa ha solo soluzioni banali se l'esponente è maggiore di 2.

[j18eos]

Il caso (1) mi è chiaro... scusa l'attesa, ma tutti 'sti calcoli devo controllarli a mente fresca e calma.

[j18eos]

Ri-eccomi qua: il caso (2) è chiaro.

Ho una domanda sul caso (3):

non si fa prima a supporre che l'esponente sia una potenza di \(\displaystyle2\)?