$Delta\text(-curve)$
Il triangolo di Reuleaux è la più famosa tra le figure piane di larghezza costante (dopo il cerchio ovviamente). Una delle caratteristiche di queste figure è quella di poter ruotare liberamente all'interno di un opportuno quadrato, rimanendo però sempre in contatto con ognuno dei quattro lati.
Una classe di figure simile è quella delle cosiddette $Delta\text(-curve)$; a differenza delle precedenti, queste possono ruotare all'interno di un triangolo equilatero.
Una delle più semplici (oltre al solito cerchio) è il $Delta\text(-biangolo$
Questa figura ha la forma di una lente e si può costruire così: dato un triangolo equilatero $ABC$ di altezza $h$ (quello che circoscriverà il $Delta\text(-biangolo$) ne costruiamo un altro di lato $h$ e centrato in un vertice, tracciamo un arco che congiunge gli altri due vertici e poi riflettiamo l'arco così ottenuto per ottenere l'altro.
Dimostrare che il $Delta\text(-biangolo)$ è una $Delta\text(-curve)$
Cordialmente, Alex
Una classe di figure simile è quella delle cosiddette $Delta\text(-curve)$; a differenza delle precedenti, queste possono ruotare all'interno di un triangolo equilatero.
Una delle più semplici (oltre al solito cerchio) è il $Delta\text(-biangolo$
Questa figura ha la forma di una lente e si può costruire così: dato un triangolo equilatero $ABC$ di altezza $h$ (quello che circoscriverà il $Delta\text(-biangolo$) ne costruiamo un altro di lato $h$ e centrato in un vertice, tracciamo un arco che congiunge gli altri due vertici e poi riflettiamo l'arco così ottenuto per ottenere l'altro.
Dimostrare che il $Delta\text(-biangolo)$ è una $Delta\text(-curve)$
Cordialmente, Alex
Risposte
Nessuno?
Si può osservare che ogni figura piana "finita" può essere circoscritta da un triangolo equilatero; anzi da una famiglia, infinita e continua, di triangoli equilateri; basta scegliere la direzione.
Generalmente le dimensioni di tutti questi triangoli equilateri sono diverse; nel caso però di una $Delta\text(-curve)$ sono tutti uguali ed in particolare hanno tutti la stessa altezza (difatti le $Delta\text(-curve)$ sono dette anche "figure dall'altezza costante").
Perciò per dimostrare che il $Delta\text(-biangolo)$ è una $Delta\text(-curve)$ basta far vedere che l'altezza del generico triangolo equilatero circoscritto al $Delta\text(-biangolo)$ sia congruente alla corda $CE$ del $Delta\text(-biangolo)$.
Cordialmente, Alex
Si può osservare che ogni figura piana "finita" può essere circoscritta da un triangolo equilatero; anzi da una famiglia, infinita e continua, di triangoli equilateri; basta scegliere la direzione.
Generalmente le dimensioni di tutti questi triangoli equilateri sono diverse; nel caso però di una $Delta\text(-curve)$ sono tutti uguali ed in particolare hanno tutti la stessa altezza (difatti le $Delta\text(-curve)$ sono dette anche "figure dall'altezza costante").
Perciò per dimostrare che il $Delta\text(-biangolo)$ è una $Delta\text(-curve)$ basta far vedere che l'altezza del generico triangolo equilatero circoscritto al $Delta\text(-biangolo)$ sia congruente alla corda $CE$ del $Delta\text(-biangolo)$.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
... ogni figura piana "finita" può essere circoscritta da un triangolo equilatero...
Confesso di non capire: ad esempio, come si può fare in modo che cadano sui lati di un triangolo equilatero tutti i vertici di un rombo con un angolo superiore a 120°? O forse diamo significati diversi alla parola circoscritta?
P.S. Spero di riuscire a leggere la risposta; da qualche tempo ho difficoltà a collegarmi al sito.
Per "circoscritta" qui si intende che ogni lato del triangolo equilatero è toccato da un punto della figura piana e che questa non "fuoriesca" dal triangolo stesso.
O almeno così intende l'autore ...
E poi, eventualmente, si aggiunge anche il problema della traduzione, che riporto ...
"We observe that an equilateral triangle CAN BE CIRCUMSCRIBED about any finite figure in the plane simply by bringing up to the figure three lines in the appropriate directions (at 120 degrees each other)."
Cordialmente, Alex
O almeno così intende l'autore ...
E poi, eventualmente, si aggiunge anche il problema della traduzione, che riporto ...
"We observe that an equilateral triangle CAN BE CIRCUMSCRIBED about any finite figure in the plane simply by bringing up to the figure three lines in the appropriate directions (at 120 degrees each other)."
Cordialmente, Alex
Allora diamo lo stesso significato alla parola circoscritta, ma il mio dubbio resta: come si fa per il rombo indicato? Ha 4 vertici, quindi due di essi debbono stare su uno stesso lato del triangolo ed il lato opposto del rombo gli è parallelo, con gli estremi sugli altri due lati del triangolo. Se ora tentiamo di completare la figura ed un angolo è maggiore di 120°, il rombo fuoriesce dal triangolo. O vedo male?
Non mi pronuncio sulla traduzione perché conosco poco l'inglese (a scuola avevo studiato solo il francese); sembra indicare quel concetto, ma chissà? Inoltre anche agli autori migliori può capitare di dire cavolate.
Non mi pronuncio sulla traduzione perché conosco poco l'inglese (a scuola avevo studiato solo il francese); sembra indicare quel concetto, ma chissà? Inoltre anche agli autori migliori può capitare di dire cavolate.
"giammaria":
Allora diamo lo stesso significato alla parola circoscritta, ...
Mi sa di no ...
Questo è un rombo con un angolo di $150°$ circoscritto da un triangolo equilatero (uno degli infiniti, basta scegliere una direzione diversa per il primo lato e gli altri vengono di conseguenza.).
Cordialmente, Alex
Questo è sempre lo stesso rombo ma circoscritto da un diverso triangolo equilatero.
Tieni conto che un vertice appartiene ad entrambi i lati.
Cordialmente, Alex
Tieni conto che un vertice appartiene ad entrambi i lati.
Cordialmente, Alex
Grazie; ripensandoci lo avevo capito ed avevo pensato proprio alla tua prima figura. Mi aveva tratto in inganno il fatto che se ad essere circoscritta è una circonferenza, vogliamo che vi appartengano tutti i vertici del poligono.
Do la mia soluzione, che non sfrutta l'hint di axpgn.
"giammaria":
... per ipotesi, $PQ=h$;...
Beh, no, questa è la tesi non l'ipotesi.
Dato un $Delta\text(-biangolo)$ circoscritto da un triangolo equilatero qualsiasi cioè in una generica posizione relativa fra le due figure (vedi immagine), va dimostrato che l'altezza del triangolo equilatero è congruente alla corda $AB$ del $Delta\text(-biangolo)$.
Dimostrato questo allora ne consegue che tutti i triangoli equilateri che circoscrivono il $Delta\text(-biangolo)$ hanno la stessa altezza e quindi il $Delta\text(-biangolo)$ è una $Delta\text(-curve)$.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="giammaria"]... per ipotesi, $PQ=h$;...
Beh, no, questa è la tesi non l'ipotesi.[/quote]
Io ho dimostrato che il $Delta"-biangolo"$ da te descritto (e quindi avente $PQ=h$) è veramente una $Delta"-curva"$.
Boh, si vede che non siamo in sintonia ...
Provo a ricapitolare ...
Una figura piana finita è detta $Delta\text(-curve)$ se può "ruotare" all'interno di un ben determinato triangolo equilatero circoscritto ad essa, in modo tale da rimanere sempre circoscritta da tale triangolo. (*)
Dato che il moto è relativo, possiamo vederla dal punto di vista opposto: una figura piana finita è detta $Delta\text(-curve)$ se esiste un ben determinato triangolo equilatero che può ruotarle attorno rimanendo sempre circoscritto ad essa. (**)
Di solito si parte da (**) per dedurre (*), diversamente da come ho fatto io.
Torniamo al $Delta\text(-biangolo)$ ... è una figura piana finita composta da due punti $A$ e $B$ (vertici) distanti $d$ e collegati da due archi di circonferenza simmetrici rispetto alla corda $AB$; il raggio di tale circonferenza è pari a $d$.
Come vedete, in questa definizione, non c'è nessun riferimento a qualsiasi triangolo, quindi nessuna ipotesi preliminare che $d$ sia pari all'altezza di qualsiasi triangolo.
La costruzione che ho fatto nel primo post era un esempio per rendere chiaro cosa fosse un $Delta\text(-biangolo)$ ma non implica affatto che sia anche una $Delta\text(-curve)$; potrebbe darsi che esista un altro triangolo equilatero circoscritto al $Delta\text(-biangolo)$ che sia diverso da quello di costruzione.
Proseguendo ... un triangolo equilatero che circoscrive il $Delta\text(-biangolo)$ è quello in immagine.
È evidente, in questo caso, che la corda $AB$ del $Delta\text(-biangolo)$ coincide con l'altezza del triangolo.
Ora ne consegue che, SE il $Delta\text(-biangolo)$ è veramente una $Delta\text(-curve)$, tutti gli altri triangoli equilateri che circoscrivono il $Delta\text(-biangolo)$ devono avere la stessa altezza ovvero l'altezza di ogni triangolo equilatero circoscritto deve essere pari alla corda $AB$.
È questo che va dimostrato.
Cordialmente, Alex
Provo a ricapitolare ...
Una figura piana finita è detta $Delta\text(-curve)$ se può "ruotare" all'interno di un ben determinato triangolo equilatero circoscritto ad essa, in modo tale da rimanere sempre circoscritta da tale triangolo. (*)
Dato che il moto è relativo, possiamo vederla dal punto di vista opposto: una figura piana finita è detta $Delta\text(-curve)$ se esiste un ben determinato triangolo equilatero che può ruotarle attorno rimanendo sempre circoscritto ad essa. (**)
Di solito si parte da (**) per dedurre (*), diversamente da come ho fatto io.
Torniamo al $Delta\text(-biangolo)$ ... è una figura piana finita composta da due punti $A$ e $B$ (vertici) distanti $d$ e collegati da due archi di circonferenza simmetrici rispetto alla corda $AB$; il raggio di tale circonferenza è pari a $d$.
Come vedete, in questa definizione, non c'è nessun riferimento a qualsiasi triangolo, quindi nessuna ipotesi preliminare che $d$ sia pari all'altezza di qualsiasi triangolo.
La costruzione che ho fatto nel primo post era un esempio per rendere chiaro cosa fosse un $Delta\text(-biangolo)$ ma non implica affatto che sia anche una $Delta\text(-curve)$; potrebbe darsi che esista un altro triangolo equilatero circoscritto al $Delta\text(-biangolo)$ che sia diverso da quello di costruzione.
Proseguendo ... un triangolo equilatero che circoscrive il $Delta\text(-biangolo)$ è quello in immagine.
È evidente, in questo caso, che la corda $AB$ del $Delta\text(-biangolo)$ coincide con l'altezza del triangolo.
Ora ne consegue che, SE il $Delta\text(-biangolo)$ è veramente una $Delta\text(-curve)$, tutti gli altri triangoli equilateri che circoscrivono il $Delta\text(-biangolo)$ devono avere la stessa altezza ovvero l'altezza di ogni triangolo equilatero circoscritto deve essere pari alla corda $AB$.
È questo che va dimostrato.
Cordialmente, Alex
Spero di non fraintendere, ma direi che cambia poco. Ad evitare equivoci, chiamo $P.Q$ i vertici del $Delta"-biangolo"$, a distanza $d$. Dovrei quindi dimostrare l'inverso di quello che ho fatto: se la figura è una $Delta"-curva"$, allora $d=h$.
Ok, la mia dimostrazione in sostanza è la stessa
Non capisco però cosa intendi con questo ...
Cordialmente, Alex
Non capisco però cosa intendi con questo ...
Cordialmente, Alex
Problema Inverso.
Ho detto che le $Delta\text(-curve)$ sono quelle figure piane finite che possono "ruotare" all'interno di un triangolo equilatero senza fuoriuscire da esso e rimanendovi sempre in contatto su ognuno dei suoi tre lati.
Quali sono invece le figure piane finite in cui un triangolo equilatero può "ruotare" senza fuoriuscire e i cui tre vertici siano sempre in contatto con la figura piana?
Ovviamente il cerchio va sempre bene
Però, che io sappia , ne esiste solo un'altra: quale? com'è fatta?
Cordialmente, Alex
Ho detto che le $Delta\text(-curve)$ sono quelle figure piane finite che possono "ruotare" all'interno di un triangolo equilatero senza fuoriuscire da esso e rimanendovi sempre in contatto su ognuno dei suoi tre lati.
Quali sono invece le figure piane finite in cui un triangolo equilatero può "ruotare" senza fuoriuscire e i cui tre vertici siano sempre in contatto con la figura piana?
Ovviamente il cerchio va sempre bene
Però, che io sappia , ne esiste solo un'altra: quale? com'è fatta?
Cordialmente, Alex
Niuno?
Ok, è ora di chiudere
Eccola ...
Cordialmente, Alex
Eccola ...
Cordialmente, Alex
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