$19$ triangoli

[axpgn]

Dividere un triangolo in $19$ triangoli in modo tale che ad ogni vertice (compresi quelli iniziali) si incontrino lo stesso numero di lati.

Inoltre, in questo problema, il numero $19$ non può essere sostituito con uno più grande ma può essere rimpiazzato da alcuni più piccoli.
Quali?


Cordialmente, Alex

[zimmerusky]

Sto ancora cercando la figura con $19$ triangoli, ma sicuramente il $19$ può essere sostituito con $3$

[zimmerusky]

Per capire, $19$ trinagolini distinti contenuti in quello iniziale oppure un triangolo può contenerne altri?

[axpgn]

Spoiler, please

Diciannove triangolini distinti, non intersecantisi, non contenuti gli uni negli altri; insomma come dividere un appezzamento di terreno triangolare in diciannove aree triangolari, né più né meno

Hint:

Non ti dice niente quel $3$?

Cordialmente, Alex

[zimmerusky]

Onestamente no

[axpgn]

Prova a vederlo in maniera più distaccata ...

[zimmerusky]

Altro piccolo dubbio, se faccio partire un lato dalla metà di un altro, avendo creato quindi una "T", quelli sono considerati come 2 lati che si incontrano in quel punto oppure 3?

[axpgn]

Non sarebbe un vertice.

[zimmerusky]

Allora mi sono perso qualcosa, credevo che ogni punto da cui uscisse almeno un lato nella figura finale sarebbe stato da considerare come vertice. Quali sono i vertici?

[axpgn]

Scusami, ma i due "pezzi" che scaturiscono dal lato "tagliato" come fanno ad essere "lati di un triangolo" (lasciamo stare i triangoli degeneri che non c'entrano nulla) ?

[zimmerusky]

Supponiamo di avere un triangolo equilatero $ABC$, chiamo $O$ il centro del triangolo. Ora vado a considerare il triangolo $AOB$ e traccio l'altezza uscente da $O$ relativa al lato $AB$, chiamando $H$ il piede dell'altezza. Il punto $H$ è ora un vertice da cui escono $3$ lati, giusto? Questo intendevo.

[axpgn]

In quel caso sì ma in generale quello che hai detto prima non vale, ok?

Per esempio, in questo caso $DF$ e $EF$ non sono lati del triangolo mentre $DE$ lo è, chiaro?

Cordialmente, Alex

[zimmerusky]

Avevo proprio capito male dall'inizio, io credevo che qui $DF$ E $FE$ fossero entrambi lati rispettivamente dei triangoli $DFA$ e $EFB$, quindi nel tuo caso dal punto $F$ quanti vertici partono?

[axpgn]

Rispetto a quei triangoli sono lati ma non lo sono per il triangolo $CDE$ (anche perché se lo fossero allora non sarebbe più un triangolo ma un quadrilatero).

[axpgn]

Nessuno?

[veciorik]

3 : banale
7 :

19 :

[axpgn]

Benissimo!


Che metodo hai usato (ammesso che tu ne abbia usato uno)?
Come dimostri che non ne esistono altri?



Cordialmente, Alex

[axpgn]

Prendete un icosaedro, avvicinatevi al centro di una delle facce e proiettate la "rete" dei suoi spigoli su un piano; otterrete questo:

Lo stesso accade con un tetraedro e un ottaedro.
Dato che sono gli unici solidi con tutte facce triangolari, non esistono altre suddivisioni di un triangolo con le caratteristiche richieste.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Geniale, non l'avrei mai pensato !
Però ho dubbi:
1) il mio grafico "19" è diverso dal tuo e non sembra compatibile con il tuo metodo
2) di sicuro non lo è questa scomposizione in 4 che, suppongo, non rispetti i requisiti del quesito:

[axpgn]

Come dicevo a zimmerusky, ogni punto di intersezione deve essere il vertice di un triangolo mentre nella tua figura questo non avviene.

In questa figura

il punto $L$ è uno dei vertici del triangolo $ACL$ ma non del triangolo $ABJ$; se lo elevi al rango di vertice ( ) allora abbiamo un quadrilatero e non un triangolo.

Cordialmente, Alex