Triangoli

[axpgn]

Dato il triangolo acutangolo $ABC$ con area pari a $40$ unità, tracciare la mediana $AD$ e fissare su di essa il punto $E$, in modo tale che sia $AE=1/3AD$.
Successivamente fissare il punto $F$ sul segmento $BE$ in modo tale che sia $BF=1/4BE$ ed infine fissare il punto $G$ sul segmento $CF$ in modo tale che sia $CG=1/5CF$.

Determinare l'area del triangolo $EFG$.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

S(EFG)=16

Due triangoli aventi le basi su una stessa retta ed il terzo vertice in comune hanno la stessa altezza; quindi il rapporto fra le loro aree è uguale a quello fra le basi. Applicherò ripetutamente questa proprietà.
$BD=DC=1/2AB->S(ABD)=S(ADC)=1/2S(ABC)=20$

$AE=1/3AD->{(S(ABE)=1/3S(ABD)=20/3),(S(AEC)=1/3S(ADC)=20/3):}$

$S(BCE)=S(ABC)-S(ABE)-S(AEC)=40-20/3-20/3=80/3$

$EF=3/4BE->S(EFC)=3/4S(BCE)=3/4*80/3=20$

$FG=4/5CF->S(EFG)=4/5S(EFC)=4/5*20=16$

EDIT: aggiungo che il risultato non cambia se D è un punto qualsiasi di BC: chi vuole dimostrarlo?

[axpgn]

Bravo!

L'area del triangolo $EBC$ è $2/3$ di quella del triangolo $ABC$, perché hanno la stessa base e il rapporto tra le altezze è $2/3$

[Tracciando le altezze da $A$ e da $E$ su $BC$ otteniamo due triangoli rettangoli simili $ADH_a$ e $EDH_e$ ed essendo il rapporto tra le ipotenuse pari a $2/3$, avremo lo stesso rapporto tra i cateti/altezze]
Utilizzando lo stesso argomento, avremo che il rapporto tra le aree dei triangoli $EFC$ ed $EBC$ è pari a $3/4$ e quello tra le aree dei triangoli $EFG$ ed $EFC$ è pari a $4/5$.
Quindi l'area del triangolo $EFG$ è pari a $2/3*3/4*4/5=2/5$ di quella del triangolo $ABC$.
La mediana l'ho messa solo per un motivo "estetico" ... $1/2, 1/3, 1/4, 1/5$

Cordialmente, Alex