Numeri naturali come somma di frazioni unitarie

[Snipe]

è possibile scrivere ogni numero naturale positivo come somma di elementi della successione armonica in modo che nessun termine si ripeta?


p.s.

Ad esempio si ha per il valore \(\displaystyle 3 \): \(\displaystyle 3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} +\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{20} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \frac{1}{56} + \frac{1}{156} + \frac{1}{1806} \)

[fulcanelli]

Un'osservazione molto cheap che si può fare è che siccome la serie armonica diverge, per ogni naturale $n$ si trova un \(n_0\) con la proprietà che \(\sum_{k=1}^{n_0} \frac 1 k < n < \sum_{k=1}^{n_0+1} \frac 1 k\).

A questo punto si tratta di trovare altri indici \(k_1,\dots, k_d\), tutti diversi e tutti strettamente maggiori di \(n_0\), con la proprietà è che \(\delta_0 = n - \sum_{k=1}^{n_0} \frac 1 k\) si riesca a scrivere come \(\frac 1 {k_1} + \dots + \frac 1 {k_d}\). Del resto, ora cosa impedisce di ripetere il ragionamento? Ogni coda della serie armonica diverge, per ovvi motivi; quindi esiste un indice \(n_1\) con la proprietà che \(\sum_{k=n_0+1}^{n_1} \frac 1 k < \delta_0 < \sum_{k=n_0+1}^{n_1+1} \frac 1 k\).

Sia ora \(\delta_1 = \delta_0 - \sum_{k=n_0+1}^{n_1} \frac 1 k\)... Ora l'osservazione expensive (nel senso che richiede una quantità di lavoro che lascio volentieri al primo volenteroso che passa) è che questo processo termina in un numero finito di passi perché i numeri così costruiti sono razionali.

[Snipe]

Il tuo ragionamento funziona, ma...

esiste una relazione molto semplice che risolve completamente il problema (o meglio ti mostra un algoritmo risolutivo per il problema)

[axpgn]

I denominatori sono prodotti dei denominatori precedenti ma come si determinano quali usare?
Ci penserò, forse ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Mah, ho notato che ...

... utilizzando la nota relazione $1/a+1/b=(a+b)/(ab)$, dopo aver sommato due frazioni, ne aggiungi una terza col denominatore $ab$ e poi, probabilmente si cerca di colmare la differenza con frazioni che non vadano "oltre" il numero prefissato ...

Cordialmente, Alex

[Snipe]

Vi metto la soluzione, sotto spoiler per chi ci volesse provare ancora:

\(\displaystyle \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} \)