Piastrelle

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Supponiamo di avere delle piastrelle rettangolari dalle dimensioni di $2 xx 1$ in una qualche unità di misura e di dover pavimentare un piano rettangolare dalle dimensioni $p xx q$.
A seconda di come le disponiamo, potrebbe sussistere una "linea di frattura" ovvero una linea che va da un lato all'altro del rettangolo senza essere interrotta (in figura un esempio di linea di frattura in rosso).

Quali sono le minime dimensioni $p,q$ per cui sia possibile costruire un piano senza linee di frattura con piastrelle $2 xx 1$?
E quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per arrivare a ciò?
E generalizzando, quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per poter pavimentare un piano rettangolare di dimensioni $p xx q$ senza linee di frattura con piastrelle di dimensioni $a xx b$ (con $a,b$ coprimi)?


Cordialmente, Alex

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Non c'è più la manodopera di una volta ...

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Dopo un mese è ora di concludere ...

Il più piccolo rettangolo tassellabile senza linee di frattura con piastrelle $2 xx 1$ ha le dimensioni pari a $5 xx 6$.

Le condizioni necessarie e sufficienti per tassellare un rettangolo dalle dimensioni $p xx q$ senza linee di frattura con piastrelle $2 xx 1$ sono tre:

1) $pq$ è divisibile per $2$
2) $p>=5, q>=5$
3) $(p,q) != (6,6)$


Le condizioni necessarie e sufficienti per tassellare un rettangolo dalle dimensioni $p xx q$ senza linee di frattura con piastrelle dalle dimensioni $a xx b$ (assumendo che sia $pq>ab$ e che $a$ e $b$ siano coprimi) sono ancora tre:

1) Sia $a$ che $b$ dividono $p$ o $q$
2) Sia $p$ che $q$ posso essere espressi come $xa+yb$, con $x,y >0$, in almeno due modi diversi
3) Se ${a,b}={1,2}$ allora $(p,q) != (6,6)$

Cordialmente, Alex