Limite

[axpgn]

Siano $a, b, c, d$ dei numeri reali positivi e sia $Q_n(a,b,c,d)=(a(a+b)(a+2b)...(a+(n-1)b))/(c(c+d)(c+2d)...(c+(n-1)d))$

Valutare il limite $L=lim_(n->infty) Q_n(a,b,c,d)$



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Un hint? Scrivo i tre modestissimi risultati che ho finora trovato.

1) Se $b=ka, d=kc$ si verifica facilmente che
$L=lim_(n->oo)(a/c)^n$
che può valere $0, 1, oo$ a seconda del valore di $a/c$.

2) Scrivendo la formula come
$L=lim_(n->oo) a/c*(a+b)/(c+d)*(a+2b)/(c+2d)*...*(a+(n-1)b)/(c+(n-1)d)$
ed è facile verificare che le frazioni sono sempre crescenti o sempre decrescenti a seconda del segno di $ad-bc$ (che nel caso precedente valeva zero). Non credo però che la strada per la soluzione sia questa perché a colpo d'occhio direi che si può cadere nella forma $0*oo$

3) EDIT: questo punto è sbagliato, ma mi sembra giusto non cancellarlo.
Se $d=b$ ed esiste un $k$ intero e positivo per cui $c=a+kb$, allora l'intero denominatore si semplifica con parte del numeratore e resta
$L=a*(a+b)*(a+2b)*...*[a+(k-1)b]$
Con $k$ intero e negativo, si semplifica l'intero numeratore.

[axpgn]

Vai per casi.
Per esempio, il più semplice é $a=c$ e $b=d$

[giammaria2]

Se guardi, vedi che andare per casi è proprio quello che ho fatto; comunque proverò ancora.
Ripensandoci, mi accorgo che il mio punto 3 è sbagliato; andrò a segnalarlo anche là.

[axpgn]

Mi pare però che i tuoi casi siano piuttosto specifici mentre quelli che intendo io son più generali, come quello citato
Non so come esprimere meglio questo concetto senza doverli elencare

[giammaria2]

Come suggerito, vado per casi; ce n'è però uno che non saprei risolvere e lo lascio per ultimo.
Alcune mie affermazioni richiederebbero la precisazione che parlo di numeri positivi; la sottintendo sempre.

In generale
Posto $f_k=(a+bk)/(c+dk)$, si ha $L=lim_(n->oo)f_0f_1f_2...f_(n-1)$
Noto che $f_0=a/c$ e $lim_(k->oo)f_k=b/d$; con calcoli lunghetti ma facilissimi trovo che
$f_(k+1)-f_k=(bc-ad)/((c+dk)(c+d(k+1)))$
Questa differenza non cambia segno al variare di $k$, quindi $f_k$ varia in modo monotono da $a/c$ a $b/d$.
Considero i casi $a/c=b/d$ e $a/cb/d$ perché deducibile dal precedente o trattabile in modo del tutto analogo.

Primo caso: $a/c=b/d$
$f_k$ varia monotonamente fra estremi uguali, quindi è costante e per ogni $k$ si ha $f_k=a/c$; ne consegue $L=lim_(n->oo)(a/c)^n$. Ci sono perciò i seguenti sottocasi:
- se $a - se $a>c harr a/c>1$ si ha $L=oo$;
- se $a=c harr a/c=1$ si ha $L=1$.

Secondo caso: $a/c $f_k$ cresce da $a/c$ a $b/d$ ed abbiamo i seguenti sottocasi:
- se $b $L<=lim_(n->oo)(b/d)^n=0$, quindi $L=0$
- se $b>d harr b/d>1$, le $f_k$ si avvicinano indefinitamente ad un numero maggiore di 1; c'è quindi sicuramente un $h$ tale che $f_h>1$. Questa $f_h$ è preceduta da un numero finito di fattori (che danno un prodotto finito) ed è seguita da infiniti fattori maggiori di $f_h>1$; perciò
$L>="finito"*lim_(n->oo)f_h^(n-h)=oo$; quindi $L=oo$
- se $b=d harr b/d=1$, le $f_k$ sono tutte minori di 1 quindi lo è anche il loro prodotto; non sono però minori di un numero minore di 1 e no so concludere.

[axpgn]

Bravissimo!

I casi di cui parlavo sono cinque:

1) $b=d, a=c$
2) $b>d$
3) $b=d, a>c$
4) $b 5) $b=d, a
Il caso 1) è immediato e il limite è pari a $1$

Per gli altri fissiamo $k=\lfloor c/d \rfloor + 1 $ così che sia $c
Nel caso 2), quando $b>d$, siccome è $c+jd<(j+k)d$, abbiamo per $n>=k$

$Q_n(a,b,c,d) >= (a(n-1)!b^(n-1))/(k(k+1)...(k+(n-1))d^n) = (a(k-1)!b^(n-1))/((k+n-1)(k+n-2)...nd^n)>= [(a(k-1)!)/((k+n-1)^kd)*(b/n)^(n-1)]$

che tende a infinito quando $n$ tende a infinito, per cui $L=+infty$

Nel caso 3), quando $b=d, a>c$, abbiamo $Q_n(a,b,c,d) = Pi_(m=0)^(n-1)((a+mb)/(c+mb)) = Pi_(m=0)^(n-1)(1+(a-c)/(c+mb)) > $

$> Pi_(m=0)^(n-1)(1+(a-c)/(b(m+k))) > (a-c)/b sum_(m=0)^(n-1) 1/(m+k)$

che tende a infinito quando $n$ tende a infinito, per cui $L=+infty$

Per i casi 4) e 5) basta considerare i reciproci di $Q_n(a,b,c,d)$ ed otteniamo che entrambi i limiti sono $L=0$

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Nel caso 3, c'è un punto che non mi è chiaro.

Non capisco da dove spunta
$ Pi_(m=0)^(n-1)(1+(a-c)/(b(m+k))) > (a-c)/b sum_(m=0)^(n-1) 1/(m+k)$

Ho anche pensato ad un miglioramento della mia soluzione, ma continuo a non saper risolvere il caso $b=d;a!=c$

[axpgn]

Mi pare la stessa cosa di $(1+x)(1+y)>x+y$, no? Perché son tutti positivi.

[giammaria2]

Grazie mille.

Io avrei scritto $(1+x)(1+y)>1+(x+y)$ ma effettivamente non occorre l'uno.
Faccio una risata un po' amara perché avevo pensato alla serie armonica ma l'avevo scartata perché, per puro caso, stavo considerando $ac$ non ci sono problemi.