[EX] - Quesito esame di stato 2010 - Sessione ordinaria

[Sk_Anonymous]

Anche questo mi è sembrato carino, pertanto ve lo sottopongo. Sono stato raggiunto dalla soluzione (in spoiler, spero corretta) mentre bighellonavo nella vasca da bagno.

Sia $r$ la retta di equazione $y=ax$ tangente al grafico di $\gamma : y=e^x$. Qual è la misura in gradi e primi sessagesimali dell'angolo che la retta $r$ forma con il semiasse positivo delle ascisse?

Poiché il coefficiente angolare della retta $t$ tangente a $\gamma$ è $e^x$ al variare di $x$, sarà sufficiente e necessario, affinché $r$ sia tangente a $\gamma$, che $e^x = a -> x=log_(e)a$; si prendano quindi in considerazione i due punti $P_1$ e $P_2$, appartenenti rispettivamente a $\gamma$ e a $r$, aventi coordinate $P_1 (log_(e)a;a)$ e $P_2 (log_(e)a;a*log_(e)a)$. Poiché di fatto si vuole che $P_1-=P_2$, dovrà risultare $a=a*log_(e)a -> a*log_(e)e=log_(e)a^a -> log_(e)e^a=log_(e)a^a -> e^a=a^a$, espressione vera soltanto se $a=e$. Pertanto l'espressione di $r$ è $y=ex$ e l'angolo $\alpha$ formato da quest'ultima con il semiasse positivo delle ascisse è $=\arctan(e)=68^\circ 48$.

[Gaussman]

io farei cosi:
preso un generico punto $(k,e^k)$ la retta passante per questo punto e tangente alla curva è $y=e^kx+(1-k)e^k$.
Se imponiamo che la retta passi per l'origine abbiamo che deve essere $e^k(1-k)=0$, quindi k=1.
Segue che la retta cercata è $y=ex$ e l'angolo è $arctg(e)$