Sottogruppi notevoli: Frattini e Fitting
Rieccomi a infastidire 
Volevo parlare dei sottogruppi di Frattini e di Fitting.
Quanto segue è ben noto e trovabile in tutti i libri di teoria dei gruppi.
Ricordo che un gruppo finito si dice nilpotente se tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali. In altre parole, un gruppo finito nilpotente non è altro che un prodotto diretto finito di gruppi finiti il cui ordine è una potenza di un primo. Questa non è la definizione usuale di "gruppo finito nilpotente" (quella con le serie centrali) ma si dimostra che è ad essa equivalente.
Sia [tex]G[/tex] un gruppo. Il sottogruppo di Frattini di [tex]G[/tex] è per definizione l'intersezione dei sottogruppi massimali di [tex]G[/tex] (ricordo che un sottogruppo [tex]H[/tex] di [tex]G[/tex] si dice massimale se gli unici sottogruppi [tex]K[/tex] di [tex]G[/tex] con la proprietà che [tex]H \leq K \leq G[/tex] sono [tex]H[/tex] e [tex]G[/tex]). Di solito si indica con [tex]\Phi(G)[/tex]
Esercizio 1. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito, e sia [tex]X[/tex] un sottoinsieme di [tex]G[/tex] tale che [tex]X \cup \Phi(G)[/tex] genera [tex]G[/tex]. Allora [tex]X[/tex] genera [tex]G[/tex].
Dati due sottogruppi [tex]H,K[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex], ricordo che [tex]HK := \{hk\ |\ h \in H,\ k \in K\}[/tex].
Esercizio 1.5. Se [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] sono finiti allora [tex]HK[/tex] è finito e [tex]|HK|=\frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|}[/tex].
In generale [tex]HK[/tex] non è un sottogruppo di [tex]G[/tex]. Però...
Esercizio 2. Siano [tex]G[/tex] un gruppo, [tex]H,K[/tex] due suoi sottogruppi. Allora [tex]HK[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex] se e solo se [tex]HK=KH[/tex]. In particolare questo vale se uno tra [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] è normale in [tex]G[/tex]. Se [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] sono entrambi normali allora [tex]HK[/tex] è anch'esso normale.
Esercizio 3. Sia [tex]G[/tex] un gruppo. Allora [tex]\Phi(G)[/tex] è un sottogruppo normale di [tex]G[/tex] (e anzi caratteristico). Inoltre se [tex]H[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex] tale che [tex]H \Phi(G) = G[/tex] allora [tex]H=G[/tex].
Esercizio 4 (Argomento di Frattini). Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito, e sia [tex]N[/tex] un suo sottogruppo normale. Sia [tex]P[/tex] un sottogruppo di Sylow di [tex]N[/tex]. Allora [tex]N_G(P)N=G[/tex] (qui [tex]N_G(P)[/tex] denota il normalizzante di [tex]P[/tex] in [tex]G[/tex], cioè l'insieme dei [tex]g \in G[/tex] tali che [tex]g^{-1}Pg=P[/tex] - si tratta di un sottogruppo di [tex]G[/tex] contenente [tex]P[/tex] e ovviamente [tex]P \unlhd N_G(P)[/tex]). [prendere [tex]g \in G[/tex] e osservare che [tex]g^{-1}Pg[/tex] e [tex]P[/tex] sono contenuti in [tex]N[/tex] e coniugati in [tex]N[/tex] (per Sylow)].
Esercizio 5. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito, e sia [tex]P[/tex] un sottogruppo di Sylow di [tex]\Phi(G)[/tex]. Allora [tex]N_G(P)=G[/tex], cioè [tex]P[/tex] è normale in [tex]G[/tex]. [usare gli esercizi precedenti]. In particolare [tex]P \unlhd \Phi(G)[/tex]. In particolare [tex]\Phi(G)[/tex] è un gruppo nilpotente.
Quindi se [tex]G[/tex] è un gruppo finito allora [tex]\Phi(G)[/tex] è un sottogruppo normale nilpotente di [tex]G[/tex]. Ma esiste un sottogruppo universale rispetto a queste due proprietà? In altre parole, è vero che il sottogruppo generato dai sottogruppi normali nilpotenti è normale e nilpotente? La risposta è sì.
Dato un gruppo finito [tex]G[/tex] e un divisore primo [tex]p[/tex] dell'ordine di [tex]G[/tex], definiamo [tex]O_p(G)[/tex] come l'intersezione di tutti i [tex]p[/tex]-sottogruppi di Sylow di [tex]G[/tex].
Esercizio 6. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito, e sia [tex]p[/tex] un divisore primo di [tex]|G|[/tex]. Allora [tex]O_p(G)[/tex] è un sottogruppo normale di [tex]G[/tex]. Detti [tex]p_1,...,p_k[/tex] i divisori primi distinti di [tex]|G|[/tex], il prodotto [tex]O_{p_1}(G) ... O_{p_k}(G)[/tex] è un sottogruppo normale nilpotente di [tex]G[/tex]. Si chiama sottogruppo di Fitting, e si indica con [tex]F(G)[/tex].
Osserviamo che [tex]F(G)[/tex] è il prodotto diretto interno degli [tex]O_p(G)[/tex].
Esercizio 7. Siano [tex]G[/tex] un gruppo finito, [tex]N[/tex] un sottogruppo normale nilpotente di [tex]G[/tex]. Allora [tex]N \subseteq F(G)[/tex]. [prendere un sottogruppo di Sylow di [tex]N[/tex] e dimostrare che è normale in [tex]G[/tex], poi prendere un sottogruppo di Sylow di [tex]G[/tex] che lo contiene (ricordando che in generale ogni p-sottogruppo e' contenuto in un p-sottogruppo di Sylow)...]
Segue dall'esercizio 7 una cosa a priori non evidente: il prodotto di due sottogruppi normali nilpotenti di un gruppo finito è un sottogruppo normale nilpotente.
In altre parole il sottogruppo di Fitting ha la seguente proprietà universale: è un sottogruppo normale nilpotente e contiene tutti i sottogruppi normali nilpotenti (è quindi generato da essi, essendo uno di essi). In particolare contiene [tex]\Phi(G)[/tex].
Buon divertimento
Volevo parlare dei sottogruppi di Frattini e di Fitting.
Quanto segue è ben noto e trovabile in tutti i libri di teoria dei gruppi.
Ricordo che un gruppo finito si dice nilpotente se tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali. In altre parole, un gruppo finito nilpotente non è altro che un prodotto diretto finito di gruppi finiti il cui ordine è una potenza di un primo. Questa non è la definizione usuale di "gruppo finito nilpotente" (quella con le serie centrali) ma si dimostra che è ad essa equivalente.
Sia [tex]G[/tex] un gruppo. Il sottogruppo di Frattini di [tex]G[/tex] è per definizione l'intersezione dei sottogruppi massimali di [tex]G[/tex] (ricordo che un sottogruppo [tex]H[/tex] di [tex]G[/tex] si dice massimale se gli unici sottogruppi [tex]K[/tex] di [tex]G[/tex] con la proprietà che [tex]H \leq K \leq G[/tex] sono [tex]H[/tex] e [tex]G[/tex]). Di solito si indica con [tex]\Phi(G)[/tex]
Esercizio 1. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito, e sia [tex]X[/tex] un sottoinsieme di [tex]G[/tex] tale che [tex]X \cup \Phi(G)[/tex] genera [tex]G[/tex]. Allora [tex]X[/tex] genera [tex]G[/tex].
Dati due sottogruppi [tex]H,K[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex], ricordo che [tex]HK := \{hk\ |\ h \in H,\ k \in K\}[/tex].
Esercizio 1.5. Se [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] sono finiti allora [tex]HK[/tex] è finito e [tex]|HK|=\frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|}[/tex].
In generale [tex]HK[/tex] non è un sottogruppo di [tex]G[/tex]. Però...
Esercizio 2. Siano [tex]G[/tex] un gruppo, [tex]H,K[/tex] due suoi sottogruppi. Allora [tex]HK[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex] se e solo se [tex]HK=KH[/tex]. In particolare questo vale se uno tra [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] è normale in [tex]G[/tex]. Se [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] sono entrambi normali allora [tex]HK[/tex] è anch'esso normale.
Esercizio 3. Sia [tex]G[/tex] un gruppo. Allora [tex]\Phi(G)[/tex] è un sottogruppo normale di [tex]G[/tex] (e anzi caratteristico). Inoltre se [tex]H[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex] tale che [tex]H \Phi(G) = G[/tex] allora [tex]H=G[/tex].
Esercizio 4 (Argomento di Frattini). Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito, e sia [tex]N[/tex] un suo sottogruppo normale. Sia [tex]P[/tex] un sottogruppo di Sylow di [tex]N[/tex]. Allora [tex]N_G(P)N=G[/tex] (qui [tex]N_G(P)[/tex] denota il normalizzante di [tex]P[/tex] in [tex]G[/tex], cioè l'insieme dei [tex]g \in G[/tex] tali che [tex]g^{-1}Pg=P[/tex] - si tratta di un sottogruppo di [tex]G[/tex] contenente [tex]P[/tex] e ovviamente [tex]P \unlhd N_G(P)[/tex]). [prendere [tex]g \in G[/tex] e osservare che [tex]g^{-1}Pg[/tex] e [tex]P[/tex] sono contenuti in [tex]N[/tex] e coniugati in [tex]N[/tex] (per Sylow)].
Esercizio 5. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito, e sia [tex]P[/tex] un sottogruppo di Sylow di [tex]\Phi(G)[/tex]. Allora [tex]N_G(P)=G[/tex], cioè [tex]P[/tex] è normale in [tex]G[/tex]. [usare gli esercizi precedenti]. In particolare [tex]P \unlhd \Phi(G)[/tex]. In particolare [tex]\Phi(G)[/tex] è un gruppo nilpotente.
Quindi se [tex]G[/tex] è un gruppo finito allora [tex]\Phi(G)[/tex] è un sottogruppo normale nilpotente di [tex]G[/tex]. Ma esiste un sottogruppo universale rispetto a queste due proprietà? In altre parole, è vero che il sottogruppo generato dai sottogruppi normali nilpotenti è normale e nilpotente? La risposta è sì.
Dato un gruppo finito [tex]G[/tex] e un divisore primo [tex]p[/tex] dell'ordine di [tex]G[/tex], definiamo [tex]O_p(G)[/tex] come l'intersezione di tutti i [tex]p[/tex]-sottogruppi di Sylow di [tex]G[/tex].
Esercizio 6. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito, e sia [tex]p[/tex] un divisore primo di [tex]|G|[/tex]. Allora [tex]O_p(G)[/tex] è un sottogruppo normale di [tex]G[/tex]. Detti [tex]p_1,...,p_k[/tex] i divisori primi distinti di [tex]|G|[/tex], il prodotto [tex]O_{p_1}(G) ... O_{p_k}(G)[/tex] è un sottogruppo normale nilpotente di [tex]G[/tex]. Si chiama sottogruppo di Fitting, e si indica con [tex]F(G)[/tex].
Osserviamo che [tex]F(G)[/tex] è il prodotto diretto interno degli [tex]O_p(G)[/tex].
Esercizio 7. Siano [tex]G[/tex] un gruppo finito, [tex]N[/tex] un sottogruppo normale nilpotente di [tex]G[/tex]. Allora [tex]N \subseteq F(G)[/tex]. [prendere un sottogruppo di Sylow di [tex]N[/tex] e dimostrare che è normale in [tex]G[/tex], poi prendere un sottogruppo di Sylow di [tex]G[/tex] che lo contiene (ricordando che in generale ogni p-sottogruppo e' contenuto in un p-sottogruppo di Sylow)...]
Segue dall'esercizio 7 una cosa a priori non evidente: il prodotto di due sottogruppi normali nilpotenti di un gruppo finito è un sottogruppo normale nilpotente.
In altre parole il sottogruppo di Fitting ha la seguente proprietà universale: è un sottogruppo normale nilpotente e contiene tutti i sottogruppi normali nilpotenti (è quindi generato da essi, essendo uno di essi). In particolare contiene [tex]\Phi(G)[/tex].
Buon divertimento
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo