[Ex] - Problema di minimo #2

[Sk_Anonymous]

Propongo un semplice ma carin problemino di minimo, in particolare a tutti coloro che, come me, si stanno preparando per la maturità.

Dato un rettangolo di perimetro $4p$, costruire esternamente al rettangolo i quattro semicerchi aventi come diametri i lati del rettangolo stesso. Determinare i lati del rettangolo in modo che la superificie così ottenuta sia minima.

In spoiler la mia soluzione.

Si consideri il rettangolo $ABCD$ di base $\bar(AB)$; il suo perimetro $\bar(AB)+\bar(BC)+\bar(CD)+\bar(DA)=2\bar(AB)+2\bar(BC)$, come suggerito dal testo del problema, è pari a $4p$. Posto $\bar(AB)=x$, risulta che $4p=2x+2\bar(BC)$ da cui si deduce che $\bar(BC)=(4p-2x)/2=2p-x$. Detti poi $4$, $1$, $2$ e $3$ i semicerchi aventi per diametro le dimensioni del rettangolo (il semicerchio $4$ ha diametro $\bar(AB)$, l'$1$ ha diametro $\bar(BC)$ e così via in senso antiorario), si voglia ricavare l'area totale della figura piana così ottenuta. Dapprima, si ha che $A_(ABCD)=x(2p-x)$; quindi risulta ovvio che $A_(1+3)=\pi(2p-x)^2$ mentre $A_(2+4)=\pix^2$. La superficie totale sarà quindi $(1) f(x)=A_(t)=x(2p-x)+\pi(2p-x)^2+\pix^2$; vogliasi ergo ricavare il valore di $x$ per cui la $(1)$ sia minima. Svolgendo i calcoli si ottiene che $f(x)=x^2(2\pi-1)+x(2p-4\pip)+4\pip^2$, da cui $f'(x)=2x(2\pi-1)+2p-4\pip$. Studiando il segno di quest'ultima derivata si perviene alla disequazione $x>=(4p\pi-2p)/(4\pi-2) -> x>=p(4\pi-2)/(4\pi-2) -> x>=p$; pertanto si deduce che $x=p$ è il minimo assoluto di $f(x)$ poiché essa è descrescente per $xp$.
Se il valore di $x$ che rende minima l'area della superficie in questione è $p$, il rettangolo $ABCD$ è un quadrato.

[Rigel1]

Indichiamo con $a$ e $b$ la lunghezza dei lati del rettangolo. L'area della superficie in questione vale
$A = ab + \frac{\pi}{4}(a^2+b^2) = \frac{\pi}{4} (a+b)^2 - (\frac{\pi}{2}-1) ab$.
Teniamo ora conto del fatto che $a+b=2p$, mentre $ab = a(2p -a) = p^2 - (p-a)^2$; sostituendo si ha
$A = (\frac{\pi}{2}+1) p^2 + (\frac{\pi}{2}-1)(p-a)^2$.
Essendo $p$ fissato, concludiamo subito che $A\ge (\frac{\pi}{2}+1) p^2$ e che l'uguaglianza vale se e solo se $p=a$ (cioè nel caso del quadrato).

[Sk_Anonymous]

Rigel, mi chiarisci l'ultima implicazione (ultima proposizione)?

[Rigel1]

Siamo arrivati a esprimere l'area in questo modo, in funzione della lunghezza $a$ del primo lato:
$A(a) = (\frac{\pi}{2}+1) p^2 + (\frac{\pi}{2}-1)(p-a)^2$.
Come vedi è la somma di due termini; il primo è costante, dal momento che $p$ è fissato, mentre il secondo è un termine non negativo che varia al variare di $a$.
La particolarità di questo secondo termine è che è sempre $\ge 0$, e vale $0$ se e solo se $a=p$.
Di conseguenza, avrai che $A(a) \ge A(p)$ per ogni $a$, e che $A(a) > A(p)$ per ogni $a\ne p$.
Quindi il valore $a=p$ è l'unico punto di minimo assoluto per $A$.

[Sk_Anonymous]

Grazie mille, ho compreso.
Complimenti, bella soluzione! Il mio testo suggeriva infatti la possibilità di pervenire al risultato anche evitando di utilizzare la teoria delle derivate, come del resto hai fatto tu.