[EX] - Progressioni aritmetiche

[Sk_Anonymous]

Propongo un quesito tratto, credo, da una seconda prova della maturità del liceo scientifico.
Ho elaborato una mia soluzione.

Se $n>3$ e $((n),(n-1))$,$((n),(n-2))$ e $((n),(n-3))$ sono in progressione aritmetica, qual è il valore di $n$?

[Gi81]

Forse stava meglio in "Giochi matematici"

$n=7$?

[dissonance]

Per me sta bene anche qui.

[Sk_Anonymous]

"Gi8":Forse stava meglio in "Giochi matematici"

Probabilmente ho preso un abbaglio ed ho elaborato una soluzione "articolata" per un problema che forse, tutto sommato, non è poi così complicato. Sta di fatto che comunque non mi pare propriamente un "gioco matematico".
Tu con quale metodo sei arrivato alla soluzione, peraltro corretta?

In spoiler i miei ragionamenti.

Utilizzando la formula dei coefficienti binomiali, si riscrivano dapprima i termini dati nella maniera che segue:
$a_1=((n),(n-1))=(n!)/((n-1)!(n-n+1)!)=(n(n-1)!)/((n-1)!)=n$
$a_2=((n),(n-2))=(n(n-1)(n-2)!)/(2(n-2)!)=(n(n-1))/2$
$a_3=((n),(n-3))=(n(n-1)(n-2)(n-3)!)/(3!(n-3)!)=(n(n-1)(n-2))/6$.
Poiché $a_2=a_1 + d$ (per la definizione di progressione aritmetica), si ricava che $d=a_2 - a_1=(n(n-1))/2-n=(n^2 - 3n)/2$; del resto è altresì vero che $a_3=a_2 + d$ da cui $d=a_3 - a_2=(n^3 - 3n^2 + 2n)/6 - (n^2 - 3n)/2=(n^3 - 6n^2 + 5n)/6$. E dal momento che la ragione della progressione è, per definizione, una costante, deve risultare che $(n^2 - 3n)/2=(n^3 - 6n^2 + 5n)/6 -> n(n^2 - 9n +14)=0$; la precedente è verificata per $n=0, n=2$ e $n=7$, ma solo quest'ultima soluzione è ammessa dalle condizioni iniziali imposte dal testo.

[Gi81]

Ho fatto lo stesso tuo ragionamento. Solo ho cambiato un paio di passaggi:

$a_1=n$; $a_2=(n(n-1))/2$; $a_3=(n(n-1)(n-2))/6$ $=> d=a_2-a_1=(n^2-3n)/2$ E fin qui è uguale
$a_3=a_1+2*d=> (n(n-1)(n-2))/6=n+n^2-3n => (n(n-1)(n-2))/6=n(n-2)$ a questo punto divido entrambi i membri per $n(n-2)$ (si può fare perchè $n>3$):
$(n-1)/6=1=> n=7$

[gugo82]

Se si conviene (come di solito si fa) che [tex]$\binom{n}{k}=0$[/tex] per [tex]$k>n$[/tex] o [tex]$k<0$[/tex], anche i risultati [tex]$n=2,0$[/tex] sono accettabili: infatti per [tex]$n=2$[/tex] si ha:

[tex]$\binom{2}{1}=2,\ \binom{2}{0}=1,\ \binom{2}{-1}=0$[/tex]

che sono in progressione aritmetica con ragione [tex]$-1$[/tex], mentre per [tex]$n=0$[/tex] è:

[tex]$\binom{0}{-1}=0,\ \binom{0}{-2}=0,\ \binom{0}{-3}=0$[/tex]

che sono in progressione di ragione [tex]$0$[/tex].