Gruppo di Olonomia ed orientabilità.

[maurer]

Sia [tex]M \subseteq \mathbb R^3[/tex] una superficie immersa in [tex]\mathbb R^3[/tex]. Sia [tex]p \in M[/tex]; denotiamo con [tex]\text{Hol}(p)[/tex] il suo gruppo di olonomia.

1) Si calcoli [tex]\text{Hol}(p)[/tex] nel caso in cui [tex]M[/tex] sia una sfera;
2) si dimostri che [tex]\text{Hol}(p) \subseteq O(T_p M)[/tex], dove [tex]O(T_p M)[/tex] denota il gruppo delle trasformazioni ortogonali di [tex]T_p M[/tex] in sé (si assuma, naturalmente, come prodotto scalare la prima forma quadratica fondamentale della superficie);
3) si consideri il morfismo di gruppi [tex]\det: \text{Hol}(p) \to \{\pm 1\}[/tex] e si dimostri che questo morfismo è suriettivo se e solo se [tex]M[/tex] non è orientabile.
[/list:u:123gmbgm]


Forse potrebbe essere utile risolvere il 3) prima di fare l'1).

[asromaultras-votailprof]

secondo me il gruppo di olonomia della sfera S^2 è tutto SO(2) perchè la sfera è orientabile... ma nn ne sn sicurissimo... potresti darmi una spiegazione del perchè sia così o meno? In generale il gruppo di olonomia del piano è sempre costituito solamente dall'identità?

P.S. Dato che ci sn nn è che mi sapresti dare una parametrizzazione dell' "ovaloide" perchè vorrei dimostrare che è localmemente isometrico alla sfera... Grazie!

[maurer]

Ti rispondo in pm per non togliere il gusto di risolvere l'esercizio a chi volesse provarci.