Non-esistenza di soluzioni per certe PDE

[gugo82]

Un esercizio semplice sulle formule di Green.

***

Esercizio:

1. Dimostrare che, comunque si fissi \(n\in \mathbb{N}\), il problema di Dirichlet:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
\Delta u (x)=u^{2n+1}(x) &\text{, in } \Omega\\
u(x)=0 &\text{, su } \partial \Omega
\end{cases}
\]
(qui \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) è un aperto connesso con frontiera sufficientemente regolare) ha solo la soluzione banale \(\bar{u}(x)=0\).

2. È possibile dire lo stesso per il problema di Dirichlet relativo al $p$-laplaciano:
\[
\tag{2}
\begin{cases}
\Delta_p u (x)=u^{2n+1}(x) &\text{, in } \Omega\\
u(x)=0 &\text{, su } \partial \Omega
\end{cases}
\]
con \(p\in ]1,\infty[\) (ove, come al solito, \(\Delta_p u:= \operatorname{div} (|\nabla u|^{p-2}\ \nabla u)\))?

Suggerimento: Si moltiplichino le PDE per \(u\) m.a.m. ed integrare...

P.S.: Ovviamente, nel caso del laplaciano standard (parte 1), la soluzione del problema può essere pensata come soluzione classica, ossia \(u\in C(\overline{\Omega}) \cap C^2(\Omega)\) che soddisfa (1) in senso puntuale; mentre nel caso del $p$-laplaciano (parte 2), la soluzione del problema deve essere pensata come soluzione debole, ossia come \(u\in W_0^{1,p}(\Omega)\) che soddisfa la PDE in (2) in senso debole e la condizione al bordo nel senso delle tracce.

[gugo82]

A chi fosse interessato, lascio un altro paio di giorni per la soluzione.

[gugo82]

"gugo82":1. Dimostrare che, comunque si fissi \(n\in \mathbb{N}\), il problema di Dirichlet:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
\Delta u (x)=u^{2n+1}(x) &\text{, in } \Omega\\
u(x)=0 &\text{, su } \partial \Omega
\end{cases}
\]
(qui \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) è un aperto connesso con frontiera sufficientemente regolare) ha solo la soluzione banale \(\bar{u}(x)=0\).

Sia \(u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})\) una soluzione classica del problema (1).
Moltiplicando m.a.m. l'equazione per \(u\) ed integrando si trova:
\[
\intop_\Omega \Delta u(x)\ u(x)\ \text{d} x = \intop_\Omega u^{2(n+1)}(x)\ \text{d} x\; ;
\]
dato che \(\Delta u(x) =\operatorname{div} \nabla u(x)\), la formula di integrazione per parti può essere usato per riscrivere il primo membro come:
\[
\intop_\Omega \Delta u(x)\ u(x)\ \text{d} x = -\intop_\Omega |\nabla u(x)|^2\ \text{d} x + \cancel{\intop_{\partial \Omega} u(x)\ \frac{\partial u}{\partial \nu} (x)\ \text{d} \sigma} = -\intop_\Omega |\nabla u(x)|^2\ \text{d}x
\]
perchè \(u(x)=0\) su \(\partial \Omega\); sostituendo quanto appena trovato nella precedente si ottiene:
\[
\tag{A}
-\intop_\Omega |\nabla u(x)|^2\ \text{d} x = \intop_\Omega u^{2(n+1)}(x)\ \text{d} x\; .
\]
Dato che il primo membro di (A) è \(\leq 0\), mentre il secondo membro è \(\geq 0\), la (A) vale solo se entrambi i suoi membri sono nulli; ma allora:
\[
\int_\Omega u^{2(n+1)}(x)\ \text{d} x =0
\]
e ciò succede solo se \(u(x)=0\) ovunque in \(\Omega\).

[Oppure si può concludere così: è \(\intop_\Omega |\nabla u(x)|^2\ \text{d} x=0\), dunque \(|\nabla u(x)|=0\) in \(\Omega\); conseguentemente, \(u\) è costante in \(\Omega\) e, dato il valore assunto al bordo, risulta \(u(x)=0\) identicamente.]