Successione particolare
Sfogliando Analisi Matematica di G. Prodi mi sono imbattuto in un problemino a mio avviso interessante. Voglio proporvelo:
Calcolare il limite della successione $\{a_n\}_(n\in\mathbb{N})$ dove $a_n=\sin(\alpha)\sin(2\alpha)...\sin(n\alpha)$
dove $\alpha\in\mathbb{R}$ è una costante arbitraria.
Calcolare il limite della successione $\{a_n\}_(n\in\mathbb{N})$ dove $a_n=\sin(\alpha)\sin(2\alpha)...\sin(n\alpha)$
dove $\alpha\in\mathbb{R}$ è una costante arbitraria.
Risposte
Supponiamo per il momento $\alpha>=0$.
Se $\alpha$/$\pi$ è razionale allora poniamo $\alpha$/$\pi=p$/$q$ dunque $q\alpha=p\pi$ e $a_n$ è definitivamente nulla, quindi converge a $0$.
Se invece $\alpha$/$\pi$ è irrazionale fissato $\varepsilon>0$ esiste comunque un $N$ tale che $|\sin(N\alpha)|<\varepsilon$ (fra poco lo dimostro) e quindi, dato che $-1<=\sin x<=1$ vale $|a_n|<\varepsilon\ \forall n>=N$ e dunque ancora $a_n->0$.
Per dimostrare che esiste un tale $N$ ragioniamo così.
$\alpha$/$\pi$ non è razionale ma è sempre possibile scegliere un numero razionale $p$/$q$ che lo approssimi con un errore piccolo a piacere. Scegliamo dunque $p$ e $q$ in modo che $|\alpha/\pi-p/q|<\varepsilon/(q\pi)$. Si ottiene $|q\alpha-p\pi|<\varepsilon$. Scegliendo dunque $N=q$ abbiamo $|\sin(N\alpha)|=||\sin(q\alpha)|-|\sin(p\pi)||<=|\sin(q\alpha)-\sin(p\pi)|=2|\cos((q\alpha+p\pi)/2)\sin((q\alpha-p\pi)/2)|<=$
$<=2|\sin((q\alpha-p\pi)/2)|<=|q\alpha-p\pi|<\varepsilon$
Se invece $\alpha<0$ si osserva che $\sin(-x)=-\sin x$ e si conclude facilmente.
Se $\alpha$/$\pi$ è razionale allora poniamo $\alpha$/$\pi=p$/$q$ dunque $q\alpha=p\pi$ e $a_n$ è definitivamente nulla, quindi converge a $0$.
Se invece $\alpha$/$\pi$ è irrazionale fissato $\varepsilon>0$ esiste comunque un $N$ tale che $|\sin(N\alpha)|<\varepsilon$ (fra poco lo dimostro) e quindi, dato che $-1<=\sin x<=1$ vale $|a_n|<\varepsilon\ \forall n>=N$ e dunque ancora $a_n->0$.
Per dimostrare che esiste un tale $N$ ragioniamo così.
$\alpha$/$\pi$ non è razionale ma è sempre possibile scegliere un numero razionale $p$/$q$ che lo approssimi con un errore piccolo a piacere. Scegliamo dunque $p$ e $q$ in modo che $|\alpha/\pi-p/q|<\varepsilon/(q\pi)$. Si ottiene $|q\alpha-p\pi|<\varepsilon$. Scegliendo dunque $N=q$ abbiamo $|\sin(N\alpha)|=||\sin(q\alpha)|-|\sin(p\pi)||<=|\sin(q\alpha)-\sin(p\pi)|=2|\cos((q\alpha+p\pi)/2)\sin((q\alpha-p\pi)/2)|<=$
$<=2|\sin((q\alpha-p\pi)/2)|<=|q\alpha-p\pi|<\varepsilon$
Se invece $\alpha<0$ si osserva che $\sin(-x)=-\sin x$ e si conclude facilmente.
Bella! complimenti!
Rilancio:
cosa si può dire del comportamento della serie di termine $n$-esimo $a_n$?
Rilancio:
cosa si può dire del comportamento della serie di termine $n$-esimo $a_n$?
Provo a rispondere anche al rilancio, spero di non fare brutti errori.
Intanto per $\alpha$/$\pi$ razionale è ovvio che la serie converge, dato che essendo $a_n$ definitivamente nulla la serie $\sum_{k=1}^{+oo}a_k$ è in realtà una somma di un numero finito di termini.
Supponiamo dunque $\alpha$/$\pi$ irrazionale (in realtà in ciò che segue mi servirebbe solo supporre che $\alpha$ non sia multiplo di $\pi$).
Utilizzerò la nota disuguaglianza fra media geometrica e media quadratica.
$\root[n][|a_n|] = (\prod_{k=1}^n |\sin(k\alpha)|)^{1/n} <= \sqrt{1/n\sum_{k=1}^n\sin^2(k\alpha)}=\sqrt{1/n\sum_{k=1}^n\({e^{ik\alpha}-e^{-ik\alpha}}/{2i})^2}=$
$=\sqrt{1/{4n}\sum_{k=1}^n\[2-(e^{2ik\alpha)+e^{-2ik\alpha})]}=\sqrt{1/{4n}[2n -({e^{2i\alpha}-e^{2i(n+1)\alpha}}/{1-e^{2i\alpha}}+{e^{-2i\alpha}-e^{-2i(n+1)\alpha}}/{1-e^{-2i\alpha}})]}=$
$=\sqrt{1/{4n}[2n -(e^{i(n+1)\alpha}{e^{-i n\alpha}-e^{i n\alpha}}/{e^{-i\alpha}-e^{i\alpha}}+e^{-i(n+1)\alpha}{e^{i n\alpha}-e^{-i n\alpha}}/{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}})]}=$
$=\sqrt{1/{4n}(2n-2{\sin(n\alpha)\cos((n+1)\alpha)}/{\sin\alpha})}\rightarrow1/\sqrt{2}$ per $n->+oo$.
Con questo discorso però non ho dimostrato che $\root[n][|a_n|]$ converge, però so che $\root[n][|a_n|]$ è maggiorata da una successione convergente a $1$/$\sqrt{2}$ quindi esiste un numero $N$ (fissato una volta per tutte), tale che \(\sqrt[n]{|a_n|}<\sqrt{3/4}<1\) per ogni $n>=N$. Dunque \(|a_n|<(\sqrt{3/4})^n\) per $n>=N$ e scrivendo (sempre per $n>=N$) $\sum_{k=1}^n|a_n|=\sum_{k=1}^{N-1}|a_n|+\sum_{k=N}^n|a_n|$ possiamo concludere che la serie converge assolutamente perché, quando si passa al limite per $n->+oo$, il primo addendo è la somma di un numero finito di termini, mentre il secondo è una serie convergente per il criterio del confronto con la serie geometrica.
Intanto per $\alpha$/$\pi$ razionale è ovvio che la serie converge, dato che essendo $a_n$ definitivamente nulla la serie $\sum_{k=1}^{+oo}a_k$ è in realtà una somma di un numero finito di termini.
Supponiamo dunque $\alpha$/$\pi$ irrazionale (in realtà in ciò che segue mi servirebbe solo supporre che $\alpha$ non sia multiplo di $\pi$).
Utilizzerò la nota disuguaglianza fra media geometrica e media quadratica.
$\root[n][|a_n|] = (\prod_{k=1}^n |\sin(k\alpha)|)^{1/n} <= \sqrt{1/n\sum_{k=1}^n\sin^2(k\alpha)}=\sqrt{1/n\sum_{k=1}^n\({e^{ik\alpha}-e^{-ik\alpha}}/{2i})^2}=$
$=\sqrt{1/{4n}\sum_{k=1}^n\[2-(e^{2ik\alpha)+e^{-2ik\alpha})]}=\sqrt{1/{4n}[2n -({e^{2i\alpha}-e^{2i(n+1)\alpha}}/{1-e^{2i\alpha}}+{e^{-2i\alpha}-e^{-2i(n+1)\alpha}}/{1-e^{-2i\alpha}})]}=$
$=\sqrt{1/{4n}[2n -(e^{i(n+1)\alpha}{e^{-i n\alpha}-e^{i n\alpha}}/{e^{-i\alpha}-e^{i\alpha}}+e^{-i(n+1)\alpha}{e^{i n\alpha}-e^{-i n\alpha}}/{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}})]}=$
$=\sqrt{1/{4n}(2n-2{\sin(n\alpha)\cos((n+1)\alpha)}/{\sin\alpha})}\rightarrow1/\sqrt{2}$ per $n->+oo$.
Con questo discorso però non ho dimostrato che $\root[n][|a_n|]$ converge, però so che $\root[n][|a_n|]$ è maggiorata da una successione convergente a $1$/$\sqrt{2}$ quindi esiste un numero $N$ (fissato una volta per tutte), tale che \(\sqrt[n]{|a_n|}<\sqrt{3/4}<1\) per ogni $n>=N$. Dunque \(|a_n|<(\sqrt{3/4})^n\) per $n>=N$ e scrivendo (sempre per $n>=N$) $\sum_{k=1}^n|a_n|=\sum_{k=1}^{N-1}|a_n|+\sum_{k=N}^n|a_n|$ possiamo concludere che la serie converge assolutamente perché, quando si passa al limite per $n->+oo$, il primo addendo è la somma di un numero finito di termini, mentre il secondo è una serie convergente per il criterio del confronto con la serie geometrica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo