A caccia di errori [Congettura di Goldbach]
Ammetto di non averlo ancora letto con attenzione, ma credo possa essere utile a chi ha appena seguito dei corsi di algebra cercare eventuali errori in questo articolo. Naturalmente se non ce ne sono tanto meglio.
Risposte
perdona la mia ignoranza, ma non dovrebbe essere uno dei più grandi problemi irrisolti della matematica?
Sì hai ragione, ma "irrisolto" non vuol dire che è proibito provare a risolverlo 
"L'autore dell'articolo nell'abstract":
A prime number is an integer that can be divided only for itself other than for 1. In this paper we consider 1 as a prime number.
...Inoltre, forse si tratta solo di una svista (ma è piuttosto grave, secondo me):
"L'autore dell'articolo, nella nota 2 fondo di pagina 2":
A principal ideal [tex]\mathfrak p[/tex] of a ring $R$, is characterized by the property [tex]xy \in \mathfrak p \Rightarrow x \in \mathfrak p \vee y \in \mathfrak p[/tex]
Direi che l'autore sta confondendo gli ideali principali con quelli primi.
Dal mio punto di vista questo articolo poteva essere scritto in modo più chiaro. Non capisco perchè provi a dimostrare GC con 7 righette in cui non si capisce perchè la sua costruzione dovrebbe funzionare (mi riferisco alla spiegazione prima del corollario 2.21).
Comunque prima di questo, nel lemma 2.19 (ii) le equazioni (8) e (9) valgono in $\bb{Z}_{2n}$ mentre lui vuole dimostrare che $p_1$ e $p_2$ sono coprimi in $\bb{Z}$. Ho capito bene?
Comunque prima di questo, nel lemma 2.19 (ii) le equazioni (8) e (9) valgono in $\bb{Z}_{2n}$ mentre lui vuole dimostrare che $p_1$ e $p_2$ sono coprimi in $\bb{Z}$. Ho capito bene?
Pagina 5
A parte che l'unico primo positivo pari è $2$ quindi dovrebbe risultare $\bar {p_1} = \bar {p_2} = 2$, ma poi siamo sicuri che che quella è l'unica possibile scomposizione come somma di $2n$ ?? Non capisco.
Let us now, take two primes $p_1 , p_2 ∈ Z$. From Lemma 1.2-4, it follows that
(3) $p_1 x + p_2 y = 1$
for some $x, y ∈ Z$. Multiplying both sides of equation (3) by $2n$, we get
(4) $p_1 x 2n + p_2 y 2n = 2n$.
Then from (4) it should be possible to prove the GC if we should be able to find
two prime integers $\ bar {p_1}$ and $ \bar {p_2}$ , such that $ \bar {p_1} = p_1 x 2n$ and $ \bar {p_2} = p_2 y 2n$. But this should imply $ \bar {p_1} |p_1$ and $ \bar {p_2} |p_2$ . This is impossible for prime numbers $ \bar {p_i} , i = 1, 2$.
Therefore, the road to find a solution for the GC, simply by starting from two
primes, is wrong.
A parte che l'unico primo positivo pari è $2$ quindi dovrebbe risultare $\bar {p_1} = \bar {p_2} = 2$, ma poi siamo sicuri che che quella è l'unica possibile scomposizione come somma di $2n$ ?? Non capisco.
Concludo dicendo che non ritengo questo un articolo serio.
L'autore ha riempito 12 pagine con risultati elementari che però poi non utilizza per la "dimostrazione"; nell'abstract parla di inquadrare il rilsultato nel campo della topologia algebrica ma poi non lo fa e la "dimostrazione" è fatta scrivendo "deve succedere che..". Personalmente sono modi di fare che non condivido nel proporre un risultato serio di matematica.
Non escludo che scrivendo decentemente le idee proposte possa venire fuori qualcosa.
L'autore ha riempito 12 pagine con risultati elementari che però poi non utilizza per la "dimostrazione"; nell'abstract parla di inquadrare il rilsultato nel campo della topologia algebrica ma poi non lo fa e la "dimostrazione" è fatta scrivendo "deve succedere che..". Personalmente sono modi di fare che non condivido nel proporre un risultato serio di matematica.
Non escludo che scrivendo decentemente le idee proposte possa venire fuori qualcosa.
"Mikk_90":
Concludo dicendo che non ritengo questo un articolo serio.
Però l'autore è un professore e ricercatore dell'università La Sapienza, quindi deve essere una persona molto seria.
Sono d'accordo con Mikk_90.
@perplesso: Il fatto di essere Presidente del Consiglio non vuol dire che tu lo sappia fare! 
Concordo con mikk_90 (e aggiungo che di teoria dei numeri ne so veramente pochissimo... quindi ho seguito davvero "poco" e "male" il marasma di discorsi fatti dall'autore).
Concordo con mikk_90 (e aggiungo che di teoria dei numeri ne so veramente pochissimo... quindi ho seguito davvero "poco" e "male" il marasma di discorsi fatti dall'autore).
scusate, ammetto che ci ho capito poco,non entro nel tema della dimostrazione,al momento non saprei valutarla.
ma non è un po scorretto considerare $1$ come primo?
Minerebbe il teorema fondamentale dell'aritmetica , o sbaglio ?
ma non è un po scorretto considerare $1$ come primo?
Minerebbe il teorema fondamentale dell'aritmetica , o sbaglio ?
"ciampax":
@perplesso: Il fatto di essere Presidente del Consiglio non vuol dire che tu lo sappia fare!
E anche questo è vero.
Però diamine, sono rimasto sorpreso... ammetto di non sapere nulla di come funziona la carriera universitaria, però se uno pubblica articoli poco seri pieni di errori grossolani come ha fatto a diventare ricercatore e professore ?? Boh.. misteri italiani...
"Martino":
Ammetto di non averlo ancora letto con attenzione, ma credo possa essere utile a chi ha appena seguito dei corsi di algebra cercare eventuali errori in questo articolo. Naturalmente se non ce ne sono tanto meglio.
Ho dato più che un'occhiata, anche se l'ho letto solo un paio di volte ho cercato di seguire il filo e riesaminato alcuni passaggi.
L'impianto mi sembra debole, in quanto alcuni passaggi "da qui segue che" non mi convincono, sono sicuro che se continuo a studiare questo articolo trovo una falla.
@paolo90: il fatto di considerare 1 primo non mi preoccupa più di tanto.
@perplesso: semmai dovrebbe aver scritto "this should imply $p_1|\overline(p_1)$ and " eccetera. Comunque quel teorema (assurdo) non serve a nulla, boh... ce lo avrà messo per abbellimento?
@Mikk_90: quel punto (lemma 2.19) andrebbe anche bene, in quanto arriva alla sua conclusione dopo.
L'idea non è male, anche se ne ho viste molte simili. Però finora nessuna funzionava. Fusse che fusse la volta buona? Ci spero, ma non lo credo.
Mi contraddico.
Lo scritto si basa su questo assunto, e ovviamente l'errore è colossale. Conclusione: tutto da buttare.
"Rggb":
@paolo90: il fatto di considerare 1 primo non mi preoccupa più di tanto.
Lo scritto si basa su questo assunto, e ovviamente l'errore è colossale. Conclusione: tutto da buttare.
Rggb, secondo me il fatto di considerare 1 primo non è così grave. Se il resto fosse giusto avrebbe comunque dimostrato qualcosa di non banale, cioè che ogni numero pari è della forma p+1 oppure p+q (almeno così mi pare di capire). Quello che è grave, ed estremamente oscuro, è il seguente passaggio, in particolare "after some finite steps". Non c'è nessuna ragione per cui il processo debba portare a un numero primo.
"Martino":
Rggb, secondo me il fatto di considerare 1 primo non è così grave.
Io invece ho cambiato idea, come detto.
"Martino":
Se il resto fosse giusto avrebbe comunque dimostrato qualcosa di non banale, cioè che ogni numero pari è della forma p+1 oppure p+q (almeno così mi pare di capire).
Oppure, dopo un certo numero di passaggi, arrivare a 1+p - ovvero alla sola conclusione certa che "sommando 1 ad un numero primo maggiore di 1 si ottiene un numero pari".
"Martino":
Quello che è grave, ed estremamente oscuro, è il seguente passaggio, in particolare "after some finite steps". Non c'è nessuna ragione per cui il processo debba portare a un numero primo.
Mi riguardo questo passaggio, poiché è stato cambiato dall'autore, con una versione successiva (anche se il ragionamento sembra lo stesso).
Mi sono incaponito.
La parte finale citata da Martino, dopo la revisione mi sembra ancora incatricchiata... La riporto qui - spero di aver trascritto correttamente.
"From Lemma 2.19 and Lemma 2.20, and taking into account the criterion in Tab. 1, it is clear that since the set $ZZ_(2n)^times$ is finite, and contains prime numbers (see Proposition 2.16), it follows that $p_2 + a = 2n − (p_1 − a)$ must necessarily coincide with a prime number after some finite steps. In fact, in each of this step $p_1 − a$ is taken a strong generator, hence $p_2 + a$ must coincide with an element in $ZZ_(2n)^times$. (Let us recall that we have considered 1 a prime.) "
L'autore ha aggiunto questo:
"More precisely, if $p_2 + a$ does not become prime, for some $a$, we can arrive to $a = p_1 − 1$, so that $p_1 − a = 1 in mathbb{P}$, and $p_2 + a = 2n − 1$. Since we can write $2n − p_2 = 1$, we can see that $p_2$ is coprime with $2n$, (Lemma 1.2), hence it belongs to $ZZ_(2n)^times$. On the other hand if $b in ZZ_(2n)^star$, since one has $b*b^(−1) = 1$, we can write $2n − p_2 = 1$ as $2n − p_2 = b*b^(−1)$. From this we get $2n*p_2^(−1) − 1 = b*b^(−1) *p_2^(−1)$. In other words we get $x*p_2^(-1) + y*b = 1$, with $x = 2n in ZZ$ and $y = −b^(-1)*p_2 in ZZ$. This means that $p_2 = 2n − 1$ is coprime with any prime between $1$ and $2n$, hence it necessarily is a prime number, i.e., belongs to $ZZ_(2n)^star$.
Therefore, in the ring $ZZ_(2n)$ there exists a Goldbach couple, and this can be found by means of the criterion in Tab. 1."
Primo: secondo me qui
doveva scrivere "... so that $p_1 − a = 1 in mathbb{P}$, and $p_2 = 2n − 1$."
E lo prendo per come l'ho corretto. Ma secondo voi funziona? A me sembra un ragionamento circolare...
La parte finale citata da Martino, dopo la revisione mi sembra ancora incatricchiata... La riporto qui - spero di aver trascritto correttamente.
"From Lemma 2.19 and Lemma 2.20, and taking into account the criterion in Tab. 1, it is clear that since the set $ZZ_(2n)^times$ is finite, and contains prime numbers (see Proposition 2.16), it follows that $p_2 + a = 2n − (p_1 − a)$ must necessarily coincide with a prime number after some finite steps. In fact, in each of this step $p_1 − a$ is taken a strong generator, hence $p_2 + a$ must coincide with an element in $ZZ_(2n)^times$. (Let us recall that we have considered 1 a prime.) "
L'autore ha aggiunto questo:
"More precisely, if $p_2 + a$ does not become prime, for some $a$, we can arrive to $a = p_1 − 1$, so that $p_1 − a = 1 in mathbb{P}$, and $p_2 + a = 2n − 1$. Since we can write $2n − p_2 = 1$, we can see that $p_2$ is coprime with $2n$, (Lemma 1.2), hence it belongs to $ZZ_(2n)^times$. On the other hand if $b in ZZ_(2n)^star$, since one has $b*b^(−1) = 1$, we can write $2n − p_2 = 1$ as $2n − p_2 = b*b^(−1)$. From this we get $2n*p_2^(−1) − 1 = b*b^(−1) *p_2^(−1)$. In other words we get $x*p_2^(-1) + y*b = 1$, with $x = 2n in ZZ$ and $y = −b^(-1)*p_2 in ZZ$. This means that $p_2 = 2n − 1$ is coprime with any prime between $1$ and $2n$, hence it necessarily is a prime number, i.e., belongs to $ZZ_(2n)^star$.
Therefore, in the ring $ZZ_(2n)$ there exists a Goldbach couple, and this can be found by means of the criterion in Tab. 1."
Primo: secondo me qui
... so that $p_1 − a = 1 in mathbb{P}$, and $p_2 + a = 2n − 1$.
doveva scrivere "... so that $p_1 − a = 1 in mathbb{P}$, and $p_2 = 2n − 1$."
E lo prendo per come l'ho corretto. Ma secondo voi funziona? A me sembra un ragionamento circolare...
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