Analisi I: un limite di un integrale

[Paolo902]

Un esercizio che ho trovato in giro. Molto carino e semplice: dedicato a chi prepara Analisi I.

Esercizio. Sia $f:RR \to RR$ continua. Fissati $a,b \in \RR$, calcolare
\[
\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_a^b f(x+h)-f(x)dx.
\]

[ciampax]

Sarebbe interessante dimostrare che si ottiene lo stesso risultato anche se $f$ è solo integrabile secondo Riemann.

[Sk_Anonymous]

Ci provo:

Prima di passare al limite osservo che: \[\displaystyle \int^{b}_{a} f(x+h) - f(x) \; dx =\int^{b}_{a} f(x+h) \; dx - \int^{b}_{a} f(x) \; dx \qquad [1] \]
La continuità di \(\displaystyle f \) è condizione sufficiente per la Riemann-integrabilità, quindi per il corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale si ha *\[\displaystyle \int^{b}_{a} f(x+h) \; dx=F(b+h) - F(a+h) \qquad \text{e} \qquad \int^{b}_{a} f(x) \; dx = F(b)-F(a) \] pertanto la \(\displaystyle [1] \) diventa \[\displaystyle F(b+h) - F(a+h) - F(b)+F(a)=F(b+h)-F(b) - [F(a+h)-F(a)] \]

Posso ora concludere: si ha che \[\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int^{b}_{a} f(x+h) - f(x) \; dx = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{F(b+h) - F(b)}{h} - \frac{F(a+h) - F(a)}{h} \right]=f(b)-f(a) \] in quanto è \(\displaystyle F'(x)=f(x) \), sempre per il teorema fondamentale del calcolo integrale.

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*Giustifico un filino meglio la prima uguaglianza: se pongo \(\displaystyle x+h=t \) si ha \[\displaystyle \int^{b}_{a} f(x+h) \; dx = \int^{b+h}_{a+h} f(t) \; dt \] da cui la tesi.

Che ne dite?

[Paolo902]

@ Delirium: sì, corretto (io l'avevo risolto usando il teorema della media).

Sarebbe interessante a questo punto discutere il rilancio di ciampax.

[robbstark1]

Il rilancio di Ciampax a occhio non mi sembra vero in generale.
A parte l'obiezione banale di una funzione continua in cui vado a modificare i valori al bordo, che comunque è una pignoleria, che dire del caso

[tex]f(x) = \begin{cases} sen(1/x) & x \ne 0 \\ 1 & x=0 \end{cases}[/tex] ?

[ciampax]

Infatti io non credo valga per funzioni sonolo integrabili (proprio perché mi pare che un ingrediente essenziale sia quello di poter derivare le primitive della $f$). Però secondo me una qualche generalizzazione si può trovare (ovviamente supponendo $f$ con qualche proprietà).

[j18eos]

Rispondo di sfuggita, dopo aver controllato sugli appunti: per generalizzare tale risultato si deve richiedere che \(f\) sia assolutamente integrabile (in misura di Lebesgue) sull'intervallo \([a;b]\).

Riferimenti bibliografici in merito sono Rudin (Principles of... I don't remember) ed Hewitt-Stromberg (Real and Abstract Analyses).

[robbstark1]

Prima di trovare il controesempio, avevo pensato che è sufficiente che $f$ sia del tipo:
$f=g+delta$, con
$g$ continua
$delta$ non nulla solo in un insieme di misura nulla secondo Lebesgue
$delta$ nulla agli estremi d'integrazione.

[ciampax]

"j18eos":Rispondo di sfuggita, dopo aver controllato sugli appunti: per generalizzare tale risultato si deve richiedere che \(f\) sia assolutamente integrabile (in misura di Lebesgue) sull'intervallo \([a;b]\).

Riferimenti bibliografici in merito sono Rudin (Principles of... I don't remember) ed Hewitt-Stromberg (Real and Abstract Analyses).

Ecco intendevo proprio questo: ricordavo di averla vista sta cosa, ma non mi veniva in mente dove e quando!