Una proposizione topologica simpatica

[Lemniscata1]

Non so se è la sezione giusta, dato che qua dentro a moltissimi basta un secondo per fare dimostrazioni che io metto ere geologiche ad elaborare (nei rari casi in cui non getto la spugna). Comunque, sono rimasto colpito da questo fatto, che credo di aver dimostrato con tecniche non troppo elementari. Ero però curioso se voi riuscivate a fare di meglio, attaccando il problema da una prospettiva diversa dalla mia. Eccolo:

Esercizio. Sia $S$ un sottoinsieme chiuso e connesso di $\mathbb{C}$ (s'intende con la topologia euclidea usuale), avente almeno due elementi. Mostrare che $S$ è più che numerabile.

Buon divertimento!

[perplesso1]

Ciao, scusami se dico una fesseria:

se non sbaglio $CC$ con la topologia usuale è omeomorfo a $RR^2$ e in quest'ultimo spazio il più piccolo insieme chiuso connesso che contiene due punti è il segmento che li unisce (che è ovviamente non numerabile...) Mi sembra troppo semplice, mi sfugge qualcosa ??

[Rigel1]

Siano \(p_1, p_2\in S\), \(p_1\neq p_2\). Per ogni numero positivo \(\delta < d(p_1, p_2)\), gli insiemi
\[
A:= \{x\in S: d(x, p_1) < \delta\},\quad
B:= \{x\in S: d(x, p_1) > \delta\}
\]
sono non vuoti (poiché \(p_1\in A\) e \(p_2\in B\)) e separati.
Poiché \(S\) è per ipotesi connesso, deve esistere \(x_{\delta}\in S\) t.c. \(d(x_{\delta}, p_1) =\delta\).
La mappa
\[
(0, d(p_1, p_2)) \ni \delta \mapsto x_{\delta} \in S
\]
è chiaramente iniettiva, dunque \(S\) è più che numerabile.

[Lemniscata1]

@ perplesso:

"perplesso":Ciao, scusami se dico una fesseria:

se non sbaglio $CC$ con la topologia usuale è omeomorfo a $RR^2$ e in quest'ultimo spazio il più piccolo insieme chiuso connesso che contiene due punti è il segmento che li unisce (che è ovviamente non numerabile...) Mi sembra troppo semplice, mi sfugge qualcosa ??

Non lo so se ti sfugge qualcosa, avendo io ragionato in maniera completamente diversa. Però mi pare buona la tua intuizione, solo che non capisco la tua affermazione sulla minimalità del segmento: intendi dire che è contenuto in tutti i chiusi connessi contenenti quei due punti? Se sì, mi faresti vedere perché vale questo fatto?

[Lemniscata1]

@ Rigel:

"Rigel":Siano \(p_1, p_2\in S\), \(p_1\neq p_2\). Per ogni numero positivo \(\delta < d(p_1, p_2)\), gli insiemi
\[
A:= \{x\in S: d(x, p_1) < \delta\},\quad
B:= \{x\in S: d(x, p_1) > \delta\}
\]
sono non vuoti (poiché \(p_1\in A\) e \(p_2\in B\)) e separati.
Poiché \(S\) è per ipotesi connesso, deve esistere \(x_{\delta}\in S\) t.c. \(d(x_{\delta}, p_1) =\delta\).
La mappa
\[
(0, d(p_1, p_2)) \ni \delta \mapsto x_{\delta} \in S
\]
è chiaramente iniettiva, dunque \(S\) è più che numerabile.

Elegantissima ed elementare questa risoluzione Rigel, sei grande. Ho solo un piccolo chiarimento da chiederti: la connessione la usi vedendo che $A$ e $B$ sono aperti non vuoti e disgiunti di $S$ che quindi non possono saturare tutto $S$, e sono aperti perché controimmagini di aperti tramite la funzione continua distanza da $p_1$, giusto?

Tra parentesi, sbaglio o hai usato solo la connessione di $S$? La chiusura non serve?

[perplesso1]

"Lemniscata":solo che non capisco la tua affermazione sulla minimalità del segmento

No infatti rileggendola non la capisco neanch'io xD volevo solo dire che in $RR^2$ ogni insieme connesso che contiene due punti distinti, diciamo $x$ e $y$, è più che numerabile. Lo dimostro: le proiezioni $p_1$ e $p_2$ di $RR^2$ su $RR$ sono applicazioni continue. Se $A$ è un insieme connesso di $RR^2$ che contiene ${x,y}$ allora le immagini $p_1(A)$ e $p_2(A)$ sono insiemi connessi di $RR$. Almeno uno fra $p_1(A)$ e $p_2(A)$ deve contenere più di un elemento ed essendo connesso deve risultare più che numerabile. Siccome la cardinalità di $A$ è maggiore o uguale a quella delle sue immagini mediante le proiezioni, ne deduciamo che $A$ è non numerabile. Dici che può andare?

[Lemniscata1]

@ Perplesso:

molto carina come dimostrazione, grazie! Quando dici "essendo connesso deve risultare più che numerabile" stai usando senza dirlo la caratterizzazione dei connessi di $\mathbb{R}$ come tutti e soli gli intervalli, che se non degeneri sono equipotenti ad $\mathbb{R}$?

[perplesso1]

"Lemniscata":stai usando senza dirlo la caratterizzazione dei connessi di R

Si

[Rigel1]

@Lemniscata:

Sì, puoi vedere i due insiemi come dici tu (aperti disgiunti nella topologia relativa di \(S\)), o semplicemente osservare che sono separati nella topologia dello spazio ambiente (che peraltro può essere un qualsiasi spazio metrico).
Direi (ma potrei essere smentito) che la chiusura di \(S\) non serva.

[j18eos]

"Lemniscata":

...Almeno uno fra $p_1(A)$ e $p_2(A)$ deve contenere più di un elemento...

Perché?

[killing_buddha]

"Rigel":

Siano \(p_1, p_2\in S\), \(p_1\neq p_2\). Per ogni numero positivo \(\delta < d(p_1, p_2)\), gli insiemi
\[
A:= \{x\in S: d(x, p_1) < \delta\},\quad
B:= \{x\in S: d(x, p_1) > \delta\}
\]
sono non vuoti (poiché \(p_1\in A\) e \(p_2\in B\)) e separati.
Poiché \(S\) è per ipotesi connesso, deve esistere \(x_{\delta}\in S\) t.c. \(d(x_{\delta}, p_1) =\delta\).
La mappa
\[
(0, d(p_1, p_2)) \ni \delta \mapsto x_{\delta} \in S
\]
è chiaramente iniettiva, dunque \(S\) è più che numerabile.

Non mi e' chiaro nemmeno che sia una funzione: cosa impedisce in linea di principio a $x_\delta$ di non essere unico?

[perplesso1]

"j18eos":[quote="Lemniscata"]

...Almeno uno fra $p_1(A)$ e $p_2(A)$ deve contenere più di un elemento...

Perché? [/quote]

Per ipotesi $A$ contiene due punti distinti chiamiamoli $(a,b)$ e $(c,d)$ quindi $a \ne c$ oppure $b \ne d$ e inoltre ${a,c} \subset p_1(A)$ e ${b,d} \subset p_2(A)$. Dico male?

[Rigel1]

"killing_buddha":Non mi e' chiaro nemmeno che sia una funzione: cosa impedisce in linea di principio a $x_\delta$ di non essere unico?

Ciò che sappiamo è che, per ogni \(\delta\in (0, d(p_1, p_2))\), l'insieme \(S_{\delta} := \{x\in S:\ d(x, p_1) = \delta\}\) è non vuoto.
Se assumiamo che valga l'assioma della scelta (cosa che, ahimé, io faccio per abitudine), per ogni siffatto \(\delta\) possiamo scegliere un elemento \(x_{\delta}\in S_{\delta}\).

[killing_buddha]

Sì, certo, ma come fai questa scelta? Una funzione dovrebbe essere definita univocamente, senza questa ambiguità...

[Rigel1]

Forse mi sfugge il significato profondo della domanda.
Assumendo AC, ad ogni \(\delta\in (0, d)\) associamo un elemento \(x_{\delta}\in S_{\delta}\); possiamo effettuare questa scelta proprio in virtù di AC.
E' chiaro che, in generale, possono esserci più funzioni adatte allo scopo.
Per quanto ci riguarda, basta dimostrare che ne esiste una.

[Studente Anonimo]

Segnalo questo. Emerge una cosa interessante: se anziché prendere la funzione [tex]\delta \mapsto x_{\delta}[/tex] proposta da Rigel prendiamo la funzione [tex]f: S \to \mathbb{R}[/tex], [tex]x \mapsto d(p_1,x)[/tex] eludiamo AC, mi sembra. Per definizione di cardinalità
\[

|S| \geq |f(S)| = |[0,d(p_1,p_2)]| = |\mathbb{R}|.

\]
Se questo usa AC non me ne accorgo.