Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Problema. Siano \( a < b \) numeri reali e \(f, g : [a,b] \to (0 , + \infty)\) due funzioni continue tali che \[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b g(x) \, dx \]ma con \(f \ne g\). Per \( n \in \mathbb{N}\) si definisca \[ I_n = \int_a^b \frac{f(x)^{n+1}}{g(x)^{n}} \, dx. \] Mostrare che la successione \( \{I_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) e' (strettamente) crescente e che \( \lim_n I_n = \infty \).
La diagonale di un quadrato è incommensurabile con il lato. Vuol dire che non esiste alcun segmentino che faccia da unità di misura $bar(u)$ e che possa essere riportato un numero intero di volte sul lato e un altro intero di volte sulla diagonale. Ovvero tale che $d=p*bar(u) $ e $ l=n*bar(u)$ con $p$ ed $n$ interi.
La relazione pitagorica tra segmenti geometrici $d^2=2*l^2$ diventa $p^2=2n^2 $ $ cdots [1]$ ovvero una relazione ...
Si definisce per \(s \in \mathbb{R} \) lo spazio di Sobolev frazionario \[H^s = H^s (\mathbb{R}^n) = \left\{ u \in \mathcal{S}' \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |\xi|^2)^s |\hat{u}(\xi)|^2 \, d \xi < \infty \right\} \]ove con \(\mathcal{S}' \) e' indicato lo spazio delle distribuzioni temperate mentre con \(\hat{\cdot} \) indico la trasformata di Fourier. Al solito \[ L^1 (\mathbb{R}^n ) = \left\{f \text{ misurabile} \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} |f| \, dx < \infty \right\}. \]
Problema: ...
Sia \(f: [0,1] \to \mathbb{R}\) una funzione lipschitziana con costante di Lipschitz \(L>0\). Supponiamo che per ogni \(r \in [0,1] \cap \mathbb{Q} \) esistano \(a, b \in \mathbb{Z}\) tali che \(f(r) = a + br\). Mostrare che esistono \(I_1, \dots , I_n\) intervalli tali che \(f\) è lineare in ogni \(I_j\) e \( [0,1] = \bigcup_{i=1}^n I_i\).
Buongiorno,
ho un quesito da porvi che mi sta creando alcuni problemi. Il testo dice: determinare una funzione $alpha:\S^1 -> \S^2$ continua e non costante, tale che $S^2-\alpha(S^1)$ è semplicemente connessa.
Ora, se la funzione fosse continua allora $\alpha(S^1)$ sarebbe un punto; togliendo un punto dalla sfera questa risulta essere omeomorfa a $R^2$, quindi gruppo fondamentale banale, perciò $S^2-\alpha(S^1)$ semplicemente connessa.
Ma se invece voglio una funzione non ...
Ciao a tutti sono nuova e non so se qualcuno si è già posto il mio quesito in precedenza.
Anche se online non ho trovato la risposta che cercavo.
Sono in fase scrittura tesi.
Stavo dimostrando il contro esempio che estensione algebrica non implica sempre estensione finita.
Come contro esempio so che si potrebbe sfruttare la chiusura algebrica assoluta e relativa di Q.
So ancora che la chiusura algebrica relativa su Q coincide con l'insieme dei numeri reali algebrici su Q e la chiusura ...
Buonasera a tutti!
Sono nuova quindi non so se sto scrivendo nel posto giusto!
Sono in fase di elaborazione di tesi per la laurea triennale in matematica. Argomento della tesi: funzioni semicontinue.
Il professore vorrebbe che ponessi particolare attenzione alle applicazioni che possono avere tali funzioni, in particolare sul Teorema del Dini e sulla formula di Hausdorff.
Io purtroppo non riesco a trovare veramente nulla.
Mi servirebbe una versione del Teorema del Dini in cui la funzione ...
Vi voglio porre un problema a cui avevo pensato anni fa, avevo accantonato perché non mi riusciva, e mi è tornato in mente da poco, ma ancora non ho avuto granchè modo di pensarci: consideriamo $A=[0,+\infty)^2$ e definiamo $A_0={(x,y)\inA|xy=0}$ e costruiamo per ricorrenza degli insiemi $A_(n+1)={p\inA|p\in\text{ad un segmento di lunghezza 1 con estremi appartenenti ad} A_n}$, la domanda è $B=uuu_{n\inNN} A_n=A$? Se la risposta è no, $B$ che forma ha? Ha area finita?
Buongiorno a tutti.
Supponendo di avere una serie di valori, ad esempio un monte ore di progetti estremamente eterogenei, è possibile trovare una formula per suddividere i progetti in base al loro monte orario?
Mi spiego meglio: esiste un algoritmo per definire degli intervalli in una serie casuale di numeri?
Ovviamente definendo a priori la numerosità degli intervalli?
Ad esempio se ho 150 progetti di macchine tutte diverse e ad ognuna di queste è attribuito un monte ore di progettazione, ...
La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi diagonali. È facile vedere la funzione traccia $tr$ è lineare e che $tr(AB)=tr(BA)$ per ogni $A,B$ matrici quadrate $n xx n$.
Indichiamo con $M_n(k)$ (dove $k$ è un corpo) l'insieme delle matrici $n xx n$ a coefficienti in $k$. Si tratta di un'algebra, cioè uno spazio vettoriale che è anche un anello (il prodotto è la moltiplicazione usuale tra matrici) ...
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Studente Anonimo
22 set 2017, 19:48
Buongiorno ragazzi, magari è una stupidaggine ma chiedo comunque...
Volevo chiedere se era vero che se una funzione è invertibile localmente in ogni punto del suo dominio allora è invertibile.
Federico
Sia $C subset RR^3$ una circonferenza, e sia $X$ lo spazio topologico ottenuto da $RR^3$ identificando tutti i punti di $C $. Dimostrare che $X $ non è una varietà.
Buonasera vorrei gentilmente un aiuto su come impostare la risoluzione del seguente esercizio:
Pippo deve decidere la propria offerta di lavoro. La sua funzione di utilità è U(cl) = cl
dove c è la quantità di consumo e l il tempo libero. Il salario per unità di tempo è 5 e il prezzo dei beni di consumo è1. Pippo ha anche una quantità di reddito fisso, indipendente dal lavoro, pari a 10. Pippo massimizza l'utilità sotto due vincoli:
i) la spesa per consumo deve essere uguale alla ...
Si consideri il seguente problema di Cauchy:
\begin{align}
y' = y^2 + t^2, \mbox{ } y(0)=1
\end{align}
$1.$ Dimostrare che esiste $b>0$ tale che il problema ha una soluzione per $t$ in $[0, b]$.
$2.$ Fornire un tale $b$.
$3.$ Fornire un $c$ tale che la soluzione non esiste in $[0,c]$
Sia $\text{Re}(s)>1$. Dimostrare che
$\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\omega(n)}{n^s}=\sum_{p\ \text{prime}}\frac{1}{p^s}$
Dove $\omega(n)$ conta i divisori primi di $n$.
Hint:
Usare una proprietà delle serie di Dirichlet
P.s. l'identità è farina del mio sacco.
Ciao a tutti,
sto cercando di approfondire una questione che mi ha da sempre incuriosito e affascinato: la costruzione, con solo riga e compasso, del 17-gono regolare.
Le varie procedure geometriche di costruzione dell'eptadecagono sono ampiamente illustrate sia in letteratura sia sui siti web specializzati (Wikipedia in primis) ma in nessun caso viene fornita una dimostrazione completa della correttezza della procedura stessa; in sostanza, abbiamo diverse procedure che funzionano ma non ...
Buongiorno a tutti!
Vi scrivo per chiedervi un vostro parere su un problema di pura immaginazione riguardante parte degli argomenti svolti in analisi 2.
Poniamo di avere un'onda sinusoidale definita da una funzione f(x,y,z) che attraversa un punto (poniamo l'origine (0,0,0) ) nello spazio R3.
(Funzione in allegato)
Se volessi sfasare di π/2 questa onda, che figura geometrica dovrei realizzare in prossimità del punto? (A titolo esplicativo, si ipotizza per assurdo un cono con la base sul piano ...
Salve,se non vi dispiace qualcuno potrebbe dirmi se esiste un insieme $I$ con questa caratteristica: \( card(I)\not\in \mathbb{N\cup \{0\}} \) ?
p.s:spero che la sezione sia corretta,nel caso mi scuso.
Salve,oggi vorrei porvi un problema(la cui soluzione mi sfugge).Sia $F$,l'insiemi delle famiglie di funzioni continue $f_i:CC^2->CC$ che godono della seguente proprietà: \( f_i(f_i(x,y),z)=f_i(x,f_i(y,z)) \) .Si determini se $F$ è un insieme finito e se sì,si determini qual'è l'intervallo minimo,di cui la cardinalità di F è un elemento.
Io fin ora ho trovato come uniche famiglie di funzioni queste: \( f_1(x,y)=x+y+c \) , \( f_2(x,y)=cxy \) (dove ...
Calcolare la serie
$S =1/(1+π^2)+1/(1+4π^2)+1/(1+9π^2)+...+1/(1+(nπ)^2)+...$
ossia $S = $ .
Suggerimento:
Calcolato empiricamente $S$ con buona approssimazione, si ponga $S = 1/(x^2 - 1)$ e si calcoli $x$, cioè
$x=sqrt(1+1/S)$.
Si riconoscerà al volo cos'è $x$ allo stesso modo che si riconosce di colpo che 1,41421356... è $sqrt2$.
Dopo di che ... viene la parte più difficile ...
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