Quanto scommettere per raggiungere un obbiettivo?
Il nostro patrimonio e' [tex]P[/tex]. Una volta al giorno, possiamo partecipare al seguente gioco: si lancia una moneta che ha probabilita' [tex]p > 0.5[/tex] di dare testa, nel qual caso raddoppiamo la somma investita, e [tex]1 - p[/tex] di dare croce, nel qual caso perdiamo la somma investita. Ogni giorno possiamo scegliere la frazione [tex]f[/tex] da investire, [tex]0 \leq f \leq 1[/tex]. Il nostro obbiettivo e' raggiungere un patrimonio [tex]P_1[/tex] entro [tex]T[/tex] giorni. La domanda e': come scegliamo [tex]f[/tex] di giorno in giorno per massimizzare la probabilita' di raggiungere questo obbiettivo?
Sono arrivato a questo problema per conto mio guardando altri problemi simili (se volete cercatevi il Kelly criterion, ma non e' molto di aiuto), ma non ne conosco la soluzione. Sarei anche interessato a un modo per risolverlo con simulazioni, se vi viene in mente; anche quello non mi sembra ovvio.
Sono arrivato a questo problema per conto mio guardando altri problemi simili (se volete cercatevi il Kelly criterion, ma non e' molto di aiuto), ma non ne conosco la soluzione. Sarei anche interessato a un modo per risolverlo con simulazioni, se vi viene in mente; anche quello non mi sembra ovvio.
Risposte
ciao,
per massimizzare la probabilità di raggiungere l'obiettivo $r$ (rapporto tra capitale finale desiderato e capitale iniziale) in $n$ giorni bisogna scegliere $x$ (frazione del capitale da investire in ogni partita) in modo che ci sia bisogno del minor numero possibile di vincite per raggiungere l'obiettivo. La funzione che restituisce il numero minimo di vincite necessarie a raggiungere l'obiettivo in funzione di $n$ (numero partite \ giorni), $r$ (obiettivo) e $x$ (frazione da investire), è la seguente:
$f(n,r,x) = \ceil({ln(r/{(1-x)^n})}/{ln({1+x}/{1-x})}) = \ceil({ln(r) - n ln(1-x)}/{ln(1+x) - ln(1-x)})$
\( Dom(f) = \{ n \in \mathbb{N}, r \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R} | n \ge 1 \wedge 1 < r \le 2^n \wedge \sqrt[n]{r} - 1 \le x < 1 \}\)
Lasciando costanti $n$ e $r$, molto raramente il punto di minimo (assoluto) di questa funzione sarà unico, nella maggior parte dei casi (a causa della funzione ceil) sarà invece un insieme contenente tutte le $x$ comprese tra due estremi interni al dominio della funzione rispetto a $x$. Se invece, oltre a massimizzare la probabilità di riuscita, si volesse massimizzare anche il guadagno atteso allora il punto che soddisfa queste caratteristiche sarebbe unico. Non essendo riuscito ad ottenere una espressione analitica ( a causa di un'equazione irrisolvibile analiticamente ) della la puntata frazionaria $x_m$ ( che massimizza prima la probabilità di riuscita e poi il guadagno atteso), ne scrivo l'espressione "simbolica":
\( x_m (n, r) = \sup \left\{ x \in Dom(f(\cdot, \cdot, x)) | f(n,r,x) = \inf\left\{ f(n,r,x) | x \in Dom(f(\cdot, \cdot, x))\right\}\right\} \)
Alla $x_m$ corrisponde quindi la probabilità di riuscita massima, che sarà:
\( P_m (n,r,p) = \sum\limits_{i = f(n,r,x_m)}^{n} \binom {n}{i}\ p^i (1-p)^{n-i} \), dove $p$ è la probabilità di vincita delle singole partite.
E il guadagno atteso sarà: $\mathbb{E}[G] = (x_m (2p-1) + 1)^n$
Spero proprio di non aver scritto corbellerie
per massimizzare la probabilità di raggiungere l'obiettivo $r$ (rapporto tra capitale finale desiderato e capitale iniziale) in $n$ giorni bisogna scegliere $x$ (frazione del capitale da investire in ogni partita) in modo che ci sia bisogno del minor numero possibile di vincite per raggiungere l'obiettivo. La funzione che restituisce il numero minimo di vincite necessarie a raggiungere l'obiettivo in funzione di $n$ (numero partite \ giorni), $r$ (obiettivo) e $x$ (frazione da investire), è la seguente:
$f(n,r,x) = \ceil({ln(r/{(1-x)^n})}/{ln({1+x}/{1-x})}) = \ceil({ln(r) - n ln(1-x)}/{ln(1+x) - ln(1-x)})$
\( Dom(f) = \{ n \in \mathbb{N}, r \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R} | n \ge 1 \wedge 1 < r \le 2^n \wedge \sqrt[n]{r} - 1 \le x < 1 \}\)
Lasciando costanti $n$ e $r$, molto raramente il punto di minimo (assoluto) di questa funzione sarà unico, nella maggior parte dei casi (a causa della funzione ceil) sarà invece un insieme contenente tutte le $x$ comprese tra due estremi interni al dominio della funzione rispetto a $x$. Se invece, oltre a massimizzare la probabilità di riuscita, si volesse massimizzare anche il guadagno atteso allora il punto che soddisfa queste caratteristiche sarebbe unico. Non essendo riuscito ad ottenere una espressione analitica ( a causa di un'equazione irrisolvibile analiticamente ) della la puntata frazionaria $x_m$ ( che massimizza prima la probabilità di riuscita e poi il guadagno atteso), ne scrivo l'espressione "simbolica":
\( x_m (n, r) = \sup \left\{ x \in Dom(f(\cdot, \cdot, x)) | f(n,r,x) = \inf\left\{ f(n,r,x) | x \in Dom(f(\cdot, \cdot, x))\right\}\right\} \)
Alla $x_m$ corrisponde quindi la probabilità di riuscita massima, che sarà:
\( P_m (n,r,p) = \sum\limits_{i = f(n,r,x_m)}^{n} \binom {n}{i}\ p^i (1-p)^{n-i} \), dove $p$ è la probabilità di vincita delle singole partite.
E il guadagno atteso sarà: $\mathbb{E}[G] = (x_m (2p-1) + 1)^n$
Spero proprio di non aver scritto corbellerie
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