Successione equidistribuita

[dan952]

Definizione. Una successione ${a_n}_{n \in NN}$ si dice equidistribuita in un intervallo $[a,b]$ se la probabilità di trovare un termine della successione in un sottointervallo è proporzionale alla sua lunghezza.

Esempio. La successione $a_n={x^n}$ (parte frazionaria di $x^n$) è equidistribuita per quasi tutti i numeri reali $x>1$, eccetto un insieme a misura (di Lebesgue) nulla di termini (Hardy-Littlewood, 1914), cioè se dividiamo l'intervallo $[0,1]$ in $n$ sottointervalli di lunghezza $1/n$ la probabilità di trovare un termine $a_n$ della successione in uno di questi sottointervalli è $1/n$.

Weyl's criterion. Una successione ${a_n}$ è equidistibuità se e solo se per ogni $m \in NN^{\ast}$, risulta:
$$\lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{1}{N}\sum_{n
Sia $x$ irrazionale, dimostrare che la successione $a_n={nx}$ è equidistribuita.

Edit: grazie j18eos per aver fatto presente la svista.

[j18eos]

"dan95":Definizione. Una successione ${a_n}_{n \in NN}$ si dice equidistribuita in un intervallo $[a,b]$ se la probabilità di trovare un termine della successione in un sottointervallo è uguale alla lunghezza dell'intervallo...

Scusami, forse volevi scrivere che "è eguale alla lunghezza del sottointervallo fratto \(\displaystyle b-a\)"?

[dan952]

Ho scritto "proporzionale" perché è brutto scrivere "fratto $b-a$".

[Vincent46]

Penso che ci sia un errore nella scrittura del criterio di Weyl. Comunque ho il vago sentore di aver trasformato un mucchietto di terra in una montagna, ma ormai l'ho scritto, quindi...

Uso il criterio di Weyl. Idea: essendo la successione $a_k= e^{2 \pi k{nx}i}$ densa sulla circonferenza, dopo un numero arbitrariamente grande di termini, ogni termine tenderà ad annullarsi con un termine a lui diametralmente opposto sulla circonferenza; quindi, la serie risulterà, in media, nulla.

Per semplicità sia $p={mx}$. Fissiamo un $\varepsilon > 0$. Do per noto che, essendo $x$ irrazionale, per ogni $m \in \mathbb{N}^{+}$, $a_n={np}$ è densa in $S^1$. Allora, per ogni $\delta > 0$, esiste un intero positivo $M$ tale che $a_M$ appartenente all'intervallo $(\frac{1}{2}+p-\delta, \frac{1}{2}+p-\delta)$. Quindi $a_{2M}$ appartiene a $( p-2\delta, p+2\delta )$. Per continuità della funzione esponenziale, possiamo supporre che
$$e^{2 \pi i a_r} + e^{2 \pi i a_{M+r}} < \varepsilon \ , \ \forall r \in \{1, ... , M\} ,$$
in quanto i due termini $a_r$ e $a_{M+r}$ sono separati da un intervallo che possiamo rendere vicino quanto vogliamo a mezzo giro di circonferenza. Allora si ha che

$$ \sum_{k=1}^{2M} e^{2 \pi i a_k} < M \varepsilon \ .$$

Generalizziamo il ragionamento suddividendo l'insieme di variazione degli indici nei seguenti sottinsiemi:
$$ \{1, 2M\}, \ \{2M+1, 4M\}, \ ... , \ \{2sM+1, (2s+2)M\}, \ \{(2s+2)M+1, N\} \ , $$

e spezziamo la serie in tante sottoserie, ognuna su uno dei precedenti insiemi di indici, ottenendo (con un ragionamento identico al precedente) che le prime $s+1$ sottoserie sono tutte minori di $M \varepsilon$. Ricapitolando, abbiamo ottenuto la stima

\begin{align*}
& \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{N} e^{2k \pi i p} \\
& = \sum_{i=1}^{2M} \frac{1}{N} e^{2k \pi i p} + \ ... \ + \sum_{k=2sM+1}^{(2s+2)M} \frac{1}{N} e^{2k \pi i p} + \sum_{k=(2s+2)M+1}^N \frac{1}{N} e^{2k \pi i p} \\
& < \frac{1}{N} ((s+1)M\varepsilon) + \sum_{k=(2s+2)M+1}^N \frac{1}{N} e^{2k \pi i p} \ .
\end{align*}
Ora abbiamo concluso: infatti, il primo termine è minore di $\varepsilon$, in quanto $M(s+1) < N$. Per quanto riguarda il secondo termine, possiamo osservare che si tratta di una serie su un numero di termini strettamente minore di $2M$, e dunque, osservando che $N > (2s+1) M$, si trova che
\[ \frac{1}{N} \big | \sum_{k=(2s+2)M+1}^N e^{2k \pi i p} \big | < \frac{2M}{(2s+1)M} \ . \]
Mandando $\varepsilon \rightarrow 0$, allora $s \rightarrow \infty$, e quindi anche quest'ultimo termine va a $0$.

[dan952]

Non puoi usare le disuguaglianze con i numeri complessi.

Comunque sì c'è un errore: ho messo $n$ al posto di $N$ per la fretta di andare a mangiare.

[Vincent46]

Giusto, però si può fare lo stesso ragionamento sostituendo ad ogni esponenziale prima la sua parte reale e poi la sua parte immaginaria, per dimostrare che entrambe vanno a 0.

[dan952]

Dove c'è scritto:
$$\cos(2\pi a_r)+\cos(2\pi a_{M+r})<\varepsilon$$
$a_r$ dovrebbe essere $a_M$, giusto?

[Vincent46]

no, per come l'ho inteso io ci dev'essere $a_r$. quello che voglio dire è che $a_r$ e $a_{M+r}$ differiscono per circa $1/2$, per ogni $r = 1, ... , M$.