Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Il teorema di Schur afferma quanto segue
Per ogni \( m \in \mathbb{N} \) esiste \( S = S(m) \in \mathbb{N} \) tale che se i primi \( S \) interi positivi, i.e. \( \{ 1, \ldots, S \} \), sono colorati usando al massimo \( m \) colori allora esistono \( x,y,z \in \{ 1, \ldots, S \} \) monocromatici tale che \( x+y=z \).
Dimostrare quanto segue
Sia \( m \in \mathbb{N} \), esiste \( F = F(m) \) tale che per ogni primo \( p > F \) esistono \( x,y,z \in \{1,\ldots,p-1\} \) tale che
\[ x^m + y^m ...
Una palla si trova su un biliardo in posizione P. Provare che esiste almeno una direzione secondo cui si può lanciare la palla in modo che essa non ripassi mai per la posizione P. Si consideri il biliardo privo di attrito e si supponga che il rimbalzo alle sponde obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce.
(SNS 1971)
(non so se è già stato pubblicato, in caso affermativo ditemi che lo tolgo)
Abbiamo a disposizione 8 cubetti di uguali dimensioni , con le facce colorate di blu o di rosso. Le facce sono colorate in modo casuale, senza alcuna regola. Sappiamo solo che 1/3 del numero totale delle facce è blue, mentre il resto è rosso. Sappiamo inoltre che usando questi 8 cubetti, è possibile costruire un cubo grande, in modo che 1/3 delle facce visibili dei cubetti che lo compongono sia rosso.
Dimostrare che montando opportunamente il cubo grande, è possibile fare in modo che tutte ...
Buonasera a tutti,
mi trovo ad affrontare, da giorni senza riuscire ad ottenere una soluzione coerente, il seguente problema:
Sia data una piramide a base rettangolare con nomenclatura come segue:
con angoli di apertura:
- Angolo $\idehat{AVB} = 30°$
- Angolo $\idehat{BVC} = 40°$
e segmento $\overline{VO} = 100$.
La piramide è posizionata nello spazio cartesiano (identificato dalla terna destrorsa xyz) in modo che:
- il vertice $V$ è posizionato nel punto di coordinate ...
in R² sia E = {(x, y):0≤ x ≤a, 0≤ Y≤1}, a>0.
In E si definisca, per ogni coppia di punti p =(x, y), p' =(x', y'):
|PP'|=|y-y'|se x=x'
|PP'| I = y+y' +|x-x'| se x≠x '.
Si dimostri che così E è uno spazio metrico e si descrivano le palle aperte di raggio R.
Si dimostri che lo spazio è connesso.
Voglio proporvi una dimostrazione della legge di reciprocità quadratica che è una riformulazione della dimostrazione di Zolotarev in termini di distribuire delle carte da gioco su di una griglia.
Siano \(n,m \) due interi dispari, positivi e coprimi. Abbiamo un mazzo di \(nm\) carte numerate dal \( 0,\ldots,mn-1\) e vogliamo distribuirle su una griglia rettangolare \(m \times n \). Ogni posizione della griglia è numerata con delle coordinate \( (x,y) \) dove \(x \in \{0,1,\ldots,m-1 \} \) e \( ...
Sembra impossibile..
Tutti i punti in un piano siano di tre colori diversi, ad esempio verde, rosso, giallo.
Dimostrare che, per ogni distanza D assegnata , esistono sempre due punti dello stesso colore a distanza D l' uno dall'altro.
Il piano è considerato dal punto astratto della matematica, come un continuum a due dimensioni.
Sia \(f : \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{-} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa con continuazione analitica su \( \mathbb{C} \).
Supponi che per ogni \( z \in \mathbb{R}_{-} \) risulta che
\[ f(z) \cdot \sqrt{ \frac{\sqrt{z}-1}{\sqrt{z}+1} } \in \mathbb{R} \]
Dimostra che \( f \equiv 0 \).
Buongiorno,
Se considero massa e accelerazione di gravità in teoria ho a che fare con due valori costanti sulla terra giusto? Perché se salto su una bilancia, o se mi lascio cadere da 10 cm allora la bilancia sballa inizialmente?
Ora consideriamo la forza peso che deve essere costante, dato che m e g lo sono. Però perché se immagino un corpo, in caduta libera, cadere da varie altezze, ho la convinzione che più cada da in alto e più la forza sia elevata
Calcolare la cardinalità dell’insieme B di tutte le applicazioni bigettive di N-->N
Questa è una cosa che avevo letto tempo fa, ma mi sembra simpatico proporre come problema.
Mi auguro qualcuno provi.
***
Problema:
Dimostrare che se $f: [0,1] -> [0,1]$ è una funzione che soddisfa le seguenti proprietà:
[list=1][*:1ikuph6p] $ f$ è crescente in $[0,1]$,
[/*:m:1ikuph6p]
[*:1ikuph6p] $f(0) = 0$,
[/*:m:1ikuph6p]
[*:1ikuph6p] per ogni $x in [0,1]$ risulta:
[list=a][*:1ikuph6p] $ f(x/3) = (f(x))/2$,
[/*:m:1ikuph6p]
[*:1ikuph6p] ...
Riporto il testo del Problema Numero 1 del test d'ammissione alla SNS di Pisa del 1960/1961.
In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da $r$, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due, $A, B$, sulla circonferenza, in modo che la somma della base $AB$ e della relativa altezza sia uguale a un dato segmento misurato da $a$, supponendo $a < 2r$.
Questa è la soluzione che ho tentato ...
Sia \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) la funzione definita nel seguente modo
\[ 0 \mapsto f(0) = 0 \]
e se \( n > 0 \) allora
\[ n \mapsto f(n) = \prod_{j=0}^{\ell} a_j \]
dove \[ p_n = \sum_{j=0}^{\ell} a_j \cdot 10^{j} \]
è l' \(n\)-esimo numero primo (inizio con \(p_1=2\)) e \( a_j \in \{0,1,\ldots,9\} \) per ogni \(0 \leq j \leq \ell \), i.e. la sua rappresentazione in base 10. Inoltre scriviamo per semplicità \( f^k = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{k-\text{volte}} \).
Diciamo che ...
Tempo fa avevo parlato di "nuvole" nello spazio Euclideo.
Adesso un'altra definizione abbastanza strana: uno "spray" di centro C è un sottoinsieme di R²che ha intersezione finita con ogni circonferenza di centro C.
Dimostrare che R² non può essere ricoperto da due spray.
Ho trovato di recente una definizione che riguarda insiemi del piano euclideo che non avevo mai visto.
Ho cercato dappertutto, ma non l'ho trovata da altre parti. L'articolo dove l'ho vista è il seguente:
http://torino.logicgroup.altervista.org ... 180215.pdf
La definizione data è la seguente:
"Una nuvola di centro C∈R² è un sottoinsieme di R²
che ha intersezione finita con ogni retta passante per C."
Quello che non capisco è cosa si intenda per "intersezione finita"; si sa che di solito si intende l'intersezione non vuota di ...
Buongiorno a tutti,
ho un dubbio che mi perplime da un po' circa il funzionamento delle calcolatrici scientifiche.
Posseggo una Casio FX-9750G Plus, piuttosto anzianotta, e una FX-570ES Plus, più recente. Quest'ultima, a differenza della prima, quando impostata in MathI, mi fornisce il risultato delle funzioni trigonometriche notevoli in forma fratta. Con la prima invece non c'è modo, qualsiasi angolo io inserisca il risultato è dato in rappresentazione decimale.
Il mio docente di metodi ...
Soft!
Dimostrare che l'unica soluzione a valori interi dell'equazione \(\displaystyle x^3-y^2-1=0\) è \(\displaystyle(1,0)\).
Hard!
...e che succederebbe se si considerasse "la gemella diversa" \(\displaystyle x^3-y^2+1=0\)?
Auguri per i miei 7k messaggi!
Vi propongo un esercizio che trovo molto affascinante.
Sia \(N\) un intero positivo e \( L(N) := \operatorname{lcm}(1,2,3,\ldots,N) \), il più piccolo comune multiplo di \(1,2,3,\ldots,N\). Dimostra che
\[ \lim_{N \to \infty} L(N)^{1/N} = e \]
è equivalente a dire
\[ \lim_{ N \to \infty} \frac{\pi(N)}{ \left( \frac{N}{\log(N)} \right)} = 1 \]
dove \(e \) è il numero di Eulero, \( \pi \) è la funzione enumerativa dei primi.
Hint:
Mettere in relazione \( L(N)\) con la funzione di Chebyschev, ...
Buon pomeriggio,
vorrei esporvi un dubbio/riflessione:
Come posso formalizzare il calcolo del valore medio della corda di una circonferenza?
Perché, ad sensum, direi che questo valore corrisponde al raggio della circonferenza, anche riflettendo sul fatto che, volendo, si può considerare la distribuzione di tutte le lunghezze possibili delle corde una distribuzione uniforme e quindi il valor medio sarebbe uguale alla media dei valori.
Non so però come giustificare praticamente questo ...
Ex. Mostrare che \[ \int_0^{2 \pi} \cos( \cos (x)) \cosh(\sin (x)) \, d x = 2 \pi. \]
Hint.
Può essere utile ricordare il seguente corollario della formula integrale di Cauchy:
Corollario. Sia \( f (z) \) una funzione analitica in un dominio \( G \subset \mathbb{C} \) con \(G\) contenente il disco (chiuso) di raggio \( \rho > 0\) e centro \( z_0\). Allora \[ f(z_0) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(z_0 + \rho e^{i x}) \, dx.\]
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