Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Problema. Sia \( M = \{ x^p \, : \, p \text{ numero primo} \} \). Mostrare che \[ \overline{\text{span } M} = C([a,b];\mathbb{C}), \quad a>0 \]ove la chiusura è da intendersi nella sup-norma.
Non ho idea di come si faccia "a mano", ma con il [strike]cannone[/strike] teorema giusto è un problema banale, per quanto curioso.
Ciao ragazzi, vi propongo questo esercizio dell'esame di ammissione alla SISSA (2014).
a) Sia $f:V\rightarrow V$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita e $W$ un
sottospazio di $V$ tale che $f(W)\subsetW$. Se $f$ è triangolarizzabile, dimostrare che anche la
sua restrizione $f|W:W\rightarrow W$ è triangolarizzabile.
b) Siano $f, g : V\rightarrow V$ automorfismi unitari di uno spazio unitario $V$ di ...
Ciao a tutti ragazzi. Vi propongo questo problema dell'ammissione per la SISSA.
Sia $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione continua, e $\{K_i\}$ una famiglia numerabile di compatti tale che $K_{i+1}\subset K_i \subset[0, 1]$ per ogni $i\in\mathbb{N}$.
(i) Si mostri che
$$f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right)=\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i).$$
(ii) Si dia un controesempio al Punto (i) nel caso che $\{K_i\}$ sia una famiglia numerabile non necessariamente compatti tali che ...
Propongo un esercizio molto facile ma che mi ha colpito in quanto lo trovo controintuitivo.
Mostrare che:
$$ \int_0^\infty \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+x^m} \: \mathrm{d}x = \frac \pi4 \quad \quad \forall \: m \in \mathbb{R}$$
Ciao a tutti!Vi propongo un esercizio apparentemente semplicissimo, ma che non sono riuscito a risolvere in modo "ingegnoso". Ed essendo un esercizio per l'ammissione alla SISSA (anno 2011) un modo relativamente "breve" deve esserci.
Trovare l’equazione della circonferenza in $\mathbb{R}^3$ che passa per i punti $(0, 4, −1), (5, 0, 0), (−4, 4, 3)$.
Io ho provato con metodi classici: cercando la sfera che ha centro nel piano individuato dai tre punti ed intersecandola con il piano stesso. Ma i numeri che ho ...
Tom vuole prendere Jerry che si trova in una pozzanghera di forma approssimabile ad una circonferenza. Jerry nella terra è più veloce di Tom e riesce a sfuggirgli, però nuotando nella pozzanghera è 4 volte più lento di Tom . Tom non vuole bagnarsi le zampe e vuole catturare Jerry appena arrivato a terra. In questo modo Tom si muove solo sul bordo della pozzanghera mentre Jerry può muoversi liberamente all’interno di essa. Riuscirà Jerry a scappare? Se sì, qual è l’angolo formato tra il raggio ...
Ciao a tutti, vi propongo una mia risoluzione di un esercizio dell'esame di ammissione alla SISSA.
Sia $A$ una matrice $n\times n$ con entrate complesse e con $n\ge2$.
(a) Si dimostri che se $A$ è nilpotente (cioè $A^r=0$ per qualche $r\in\mathbb{N}$), allora ogni autovalore di
$A$ è nullo. Si determini quindi il polinomio caratteristico di $A$.
(b) Più in generale si determini per quali valori ...
Buonasera a tutti, e bentrovati.
Premetto che le mie conoscenze matematiche arrivano ad Analisi 1.
Vi scrivo per sottoporvi un quesito al quale non riesco a trovare risposta:
mettiamo che io debba piegare un asciugamano rettangolare avente base 40 cm, altezza 70 cm e spessore 0,5 cm.
Qual è il modo di piegarlo che "minimizza" il suo volume? Vale a dire il modo di piegarlo che gli fa occupare meno spazio possibile?
Se ad esempio lo piego a metà n volte il volume credo rimanga il medesimo.
Se lo ...
17 è il numero dell'infame problema proposto in una recente gara di matematica a squadre di secondo livello valevole per l'accesso alla finale nazionale. Dico "infame" perchè mi ha fatto dannare per una settimana!
5 minuti per arrivare ad un passo dalla soluzione e una settimana per capire come superare l'ultimo scoglio (capirete anche voi se imboccherete la mia infelice strada!).
$sum_(i=1)^4 1/(alpha_i^4-15alpha_i^2-10alpha_i+24)=m/n$
dove $alpha_i$ è una delle 4 radici reali e distinte del polinomio $P(x)=x^4+4x^3+x^2-6x-1$ e ...
Esercizio: Sia
\[ f_n(x) := \sum_{k=0}^{2n} \frac{x^k}{k!} \quad \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R} \, , \, n \in \mathbb{N} \]
Si dimostri che per ogni $x \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}$ vale $f_n(x) >0 $.
Sia \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}^+ \) tale che \( a_n \ge a_{n+1} \) per ogni \(n\) e che \( \sum_{n \ge 1} a_n = +\infty \). Mostrare che \[ \sum_{n \ge 1} a_n e^{ - \frac{a_n}{a_{n+1}}} = + \infty. \]
Ciao a tutti! Vi propongo un esercizio per l'ammissione alla SISSA.
Si definiscano per $x>0$ le funzioni
$$f_n(x) := \prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}.$$
(a) Si dimostri che la funzione
$$f(x) := \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)$$
è ben definita per $x>0$. Si calcoli inoltre il suo valore in $1$.
(b) Si studi la funzione $f(x)$ e si diano i comportamenti asintotici per $x\rightarrow0^+$ e ...
Ciao a tutti, sono nuovo nel forum. Vorrei proporvi un esercizio preso dal tema d'esame per l'ammissione della Laurea Magristale alla SISSA. Scusate per eventuali problemi di scrittura o quant'altro.
(a) Sia $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione differenziabile con derivata $f'$ uniformemente
continua su $(0,+\infty)$. Provare che se esiste il limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) = L$ finito allora $\lim_{x\rightarrow+\infty} f'(x) = 0$.
(b) Dire se la conclusione precedente continua a valere assumendo solo che ...
Ciao a tutti, ho problemi a risolvere il secondo punto del seguente esercizio di una prova d'ammissione alla SISSA:
1) Dato un insieme $A$ in $R^2$ aperto connesso e limitato, dimostrare che esiste unica, per ogni direzione $d$, una retta parallela a $d$ tale che divida $A$ in due parti con la stessa area.
2)Dato un altro insieme $B$ con le stesse proprietà di $A$, dimostrare che esiste una retta ...
So che il titolo è poca roba ma cerco di essere più preciso l'obiettivo è capire il perché della seguente uguaglianza:
$n(t+\Delta t, x)=<n(t,x-\Delta x)> =n(t,x)- \frac(\delta n)( \delta x)<\Delta x>+0.5 \frac(\delta^2 n)( \delta x^2)<\Delta x^2>+...$
In particolare la terza parte, so che dovrebbe essere una cosa triviale, ma quel segno meno mi confonde un po';
sul testo dice possiamo scrivere un'espressione per la densità al tempo $t+ \Delta t$ come [highlight]la media su tutti i differenti $\Delta x$[/highlight].
Per completezza vi posto la fonte:
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html ----> 1. Things Bumping ...
Salve a tutti,
wikipedia alla mano (https://it.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_% ... %B7_%C2%B7), ho delle difficolta' a capire perche' si dovrebbe in alcun modo dire che la serie dei numeri naturali converge a -1/12.
Al di la' della "dimostrazione" (????) di Ramanujan, non e' semplicemente una affermazione errata?
Grazie a chi potra' spiegarmi,
Edoardo
Salve l'esercizio è il seguente:
Sia \( K=\{ f\in C^1( [ 0, 1 ]):\ f(0)=0 \text{ e } |f^\prime (t) | \leq 1\}\).
[list=1][*:19ux7fy2] Mostrare che $K$ è precompatto in \(C([0, 1])\);
[/*:m:19ux7fy2]
[*:19ux7fy2] Mostrare che per ogni $n\in \N$ esistono $4^n$ sfere di \(C([0,1])\) di raggio $1/n$ che ricoprono $K$.
(Qui si suggerisce di centrare le sfere in opportune funzioni affini a tratti di pendenza ...
Salve a tutti,
vorrei un chiarimento riguardante il seguente ragionamento.
La funzione li(x) ha in ogni suo punto come gradiente 1/lnx. 1/lnx è anche la probabilità che un numero nelle vicinanze di x sia primo. Perché da questo consegue che, all'aumentare di x, Li(x) tende asintoticamente a x/lnx?
Buonasera, oggi il mio prof ci ha lanciato una sfida. Ci ha chiesto se saremo riusciti a capire quale sia la forza risultante necessaria per rompere lo schienale della sedia detta 'tulip chair' del famoso Saarinen. e' tutto il pomeriggio che cerco di capire quale possa essere e come calcolarla. QUalcuno è in grado di aiutarmi??ALLEGO IMMAGINE
Ciao chi di voi non ha mai organizzato un torneo sia esso di calcio, Fantacalcio o di qualsiasi altro gioco o sport in cui ė previsto che i partecipanti si scontrino in coppie????
Da qualche giorno mi sto mangiando la testa con un quesito di questo tipo:
Supponiamo di avere 8 partecipanti e di voler creare un calendario degli incontri in cui ciascun partecipante sfida una volta sola tutti gli avversari... In altre parole stiamo parlando di un calendario di calcio di sola andata in cui in ...
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo