La Congettura di Goldbach: dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov
Buongiorno a tutti,
Devo dire che mi trovo in imbarazzo a scrivere, perché, sinceramente, non so da dove iniziare...
Come ho accennato nel mio post di presentazione, sono quattro anni che penso, parlo e scrivo sulla questione, e di mail ed acqua sotto i ponti ne è passata parecchia.
Dopo aver provato a fare ordine nei miei pensieri, ho pensato che la cosa migliore da fare è partire da qui.
Innanzi tutto, qualche definizione e convenzione grafica, per capire di cosa parlo quando uso certi termini inventati da me.
- Se scrivo Px, Py, Pz ecc, intendo numeri primi non necessariamente distinti fra di loro: ad es., (Px + Py) può voler dire che Px e Py sono diversi fra di loro, come che Px e Py sono uguali;
- Se scrivo P1, P2, P3 ecc, intendo numeri primi necessariamente tutti distinti fra di loro: P1 non è uguale a P2, che a sua volta non è uguale a P3.
- Se scrivo P* intendo dire che si tratta di un numero primo che possiamo scegliere a piacimento libero, ma che rimane fisso. Ecco un esempio di come lo uso. Prendiamo i numeri primi 2, 3, 5, 7, 11: una scrittura di tipo (P1 + P*) è come se facessimo (2 + 3), (3 + 3), (5 + 3), (7 + 3), (11 + 3).
Chiaramente invece di 3 potevamo mettere 5, o qualsiasi altro numero primo fino ad 11: come potete vedere qua sopra, anche se il P* lo possiamo scegliere liberamente, alla fine è un numero fisso.
- Npa sta per i numeri pari, un esempio di come lo uso: la Congettura di Goldbach afferma che Npa = Px + Py;
- Nd sta per i numeri dispari, un esempio di come lo uso: il Teorema debole di Goldbach afferma che Nd = Px + Py + Pz;
- Insieme G1: è l'insieme della Congettura di Goldbach, praticamente è l'insieme di tutti i numeri pari che sono la somma di due numeri primi (anche se sarebbe meglio dire che G1 è l'insieme in cui c'è la somma degli infiniti numeri primi sommati a due a due: nel senso che un numero primo può essere sommato ad un altro numero primo, oppure al medesimo numero primo, cioè (P1 + P1 = 2 P1) o (P1 + P2); G1 contiene solo questi due tipi di elementi);
- Insieme G2: un pianto greco! Sostanzialmente è abbastanza un casino: ho un po' di problemi a trovare una qualche definizione di G2 che non smetta di creare problemi per un motivo o per l'altro. Comunque, per capirci, l'insieme G2 è l'Insieme che salta fuori dalla dimostrazione di H. Helfgott, quando ha finito di dimostrare il Teorema debole di Goldbach, cioè Npa = Px + Py + Pz + P*; è la somma di ogni elemento di G1 con ogni elemento di G1; è l'insieme della somma di dei numeri pari Npa tali per cui Npa = Px + Py + Pz + Pk, è quel che viene fuori se applichiamo la mia dimostrazione alternativa del teorema di Vinogradov ai numeri pari...
Penso abbiate capito, grosso modo, a cosa mi sto riferendo: il problema è che ognuna di queste definizioni finisce per crearmi dei problemi, prima o poi, ed io sono finito per sbattere la testa contro il muro tante di quelle volte che non so più che inventarmi.
Comunque, tendenzialmente, attualmente l'Insieme G2 è quel che viene fuori se applichiamo la mia dimostrazione alternativa del teorema di Vinogradov ai numeri pari, di cui parliamo tra qualche post.
Per non fare un singolo post chilometrico, che rischia pure di esaurire i caratteri disponibili, mi fermo qui.
Nel prossimo post, sempre in questo thread, vi presento quel che mi è venuto in mente, cosa vorrei tentare di realizzare e le principali differenze tra la mia dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov e quel che prima I. M. Vinogradov e H. Helfgott hanno fatto.
Ci vediamo tra un attimo.
Devo dire che mi trovo in imbarazzo a scrivere, perché, sinceramente, non so da dove iniziare...
Come ho accennato nel mio post di presentazione, sono quattro anni che penso, parlo e scrivo sulla questione, e di mail ed acqua sotto i ponti ne è passata parecchia.
Dopo aver provato a fare ordine nei miei pensieri, ho pensato che la cosa migliore da fare è partire da qui.
Innanzi tutto, qualche definizione e convenzione grafica, per capire di cosa parlo quando uso certi termini inventati da me.
- Se scrivo Px, Py, Pz ecc, intendo numeri primi non necessariamente distinti fra di loro: ad es., (Px + Py) può voler dire che Px e Py sono diversi fra di loro, come che Px e Py sono uguali;
- Se scrivo P1, P2, P3 ecc, intendo numeri primi necessariamente tutti distinti fra di loro: P1 non è uguale a P2, che a sua volta non è uguale a P3.
- Se scrivo P* intendo dire che si tratta di un numero primo che possiamo scegliere a piacimento libero, ma che rimane fisso. Ecco un esempio di come lo uso. Prendiamo i numeri primi 2, 3, 5, 7, 11: una scrittura di tipo (P1 + P*) è come se facessimo (2 + 3), (3 + 3), (5 + 3), (7 + 3), (11 + 3).
Chiaramente invece di 3 potevamo mettere 5, o qualsiasi altro numero primo fino ad 11: come potete vedere qua sopra, anche se il P* lo possiamo scegliere liberamente, alla fine è un numero fisso.
- Npa sta per i numeri pari, un esempio di come lo uso: la Congettura di Goldbach afferma che Npa = Px + Py;
- Nd sta per i numeri dispari, un esempio di come lo uso: il Teorema debole di Goldbach afferma che Nd = Px + Py + Pz;
- Insieme G1: è l'insieme della Congettura di Goldbach, praticamente è l'insieme di tutti i numeri pari che sono la somma di due numeri primi (anche se sarebbe meglio dire che G1 è l'insieme in cui c'è la somma degli infiniti numeri primi sommati a due a due: nel senso che un numero primo può essere sommato ad un altro numero primo, oppure al medesimo numero primo, cioè (P1 + P1 = 2 P1) o (P1 + P2); G1 contiene solo questi due tipi di elementi);
- Insieme G2: un pianto greco! Sostanzialmente è abbastanza un casino: ho un po' di problemi a trovare una qualche definizione di G2 che non smetta di creare problemi per un motivo o per l'altro. Comunque, per capirci, l'insieme G2 è l'Insieme che salta fuori dalla dimostrazione di H. Helfgott, quando ha finito di dimostrare il Teorema debole di Goldbach, cioè Npa = Px + Py + Pz + P*; è la somma di ogni elemento di G1 con ogni elemento di G1; è l'insieme della somma di dei numeri pari Npa tali per cui Npa = Px + Py + Pz + Pk, è quel che viene fuori se applichiamo la mia dimostrazione alternativa del teorema di Vinogradov ai numeri pari...
Penso abbiate capito, grosso modo, a cosa mi sto riferendo: il problema è che ognuna di queste definizioni finisce per crearmi dei problemi, prima o poi, ed io sono finito per sbattere la testa contro il muro tante di quelle volte che non so più che inventarmi.
Comunque, tendenzialmente, attualmente l'Insieme G2 è quel che viene fuori se applichiamo la mia dimostrazione alternativa del teorema di Vinogradov ai numeri pari, di cui parliamo tra qualche post.
Per non fare un singolo post chilometrico, che rischia pure di esaurire i caratteri disponibili, mi fermo qui.
Nel prossimo post, sempre in questo thread, vi presento quel che mi è venuto in mente, cosa vorrei tentare di realizzare e le principali differenze tra la mia dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov e quel che prima I. M. Vinogradov e H. Helfgott hanno fatto.
Ci vediamo tra un attimo.
Risposte
"Lathias":
- Npa sta per i numeri pari, un esempio di come lo uso: la Congettura di Goldbach afferma che Npa = Px + Py;
- Nd sta per i numeri dispari, un esempio di come lo uso: il Teorema debole di Goldbach afferma che Nd = Px + Py + Pz;
Guarda per chiarirsi le idee non c'è cosa migliore che usare i termini sintatticamente e logicamente corretti. La congettura di Golbach è la seguente proposizione: "Per ogni numero intero pari $n\ge 4$ esistono $p,q$ numeri primi non necessariamente distinti tali che $n=p+q$". Alternativamente, ed equivalentemente, uno può scrivere ad esempio: "Sia $N_4$ l'insieme dei numeri interi pari maggiori od uguali a $4$, e sia \(\mathcal P\) l'insieme dei numeri primi. Allora \(N_4=\mathcal P+\mathcal P\), dove per un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb N$ definiamo $A+A:=\{a+b: a,b\in A\}$".
Dire che la congettura di Goldbach afferma che Npa=Px+Py non significa nulla, e non fa altro che confonderti le idee. I quantificatori sono fatti per essere usati!
Con un po' di indecisione, penso sia meglio che vi esponga cosa mi è venuto in mente per dimostrare alternativamente il Teorema di Vinogradov, o per meglio dire, che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero. Poi parleremo del perché mi sono ritrovato per le mani questa dimostrazione alternativa, cosa spererei di farci, ed in cosa differisce rispetto al lavoro originario di I. M. Vinogradov, poi completato da H. Helfgott.
Per "quasi sempre vero", espressione usuale nell'ambito, a quanto mi è stato detto dal team del sito con cui parlavo, si intende... Hmm.... Nel nostro caso, prendiamo i numeri dispari: se io dico che quasi tutti i numeri dispari possono essere intesi come la somma di tre numeri primi, altro non intendo dire che, anche se non so quale, so per certo che c'è un qualche numero dispari abbastanza grande tale per cui, da lì in poi, quel numero dispari e tutti i numeri dispari che seguono possono essere intesi come la somma di tre numeri primi.
E prima di tale numero ignoto, che succede? Boh, non lo so, magari ci sono possibili casi contrari.
A proposito: quale sarebbe tale numero ignoto? Questo lo so anche meno!
Chiaramente dormiamo sonni tranquilli, visto che già sappiamo che il Teorema debole di Goldbach è vero, ma, almeno al mio approccio, queste cose sono tutte da fare (e io non sono capace di farlo): ma è meglio parlare tra un po' di queste cose. Andiamo diretti al punto.
Se voi dovreste dimostrare i numeri dispari possono essere intesi come la somma di tre numeri primi, come fareste?
Beh, io l'ho vista così.
Prendiamo, ad es., il numero 21.
Quanti numeri primi ci sono fra 21 e 0? Beh, ci sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ed infine 19, In totale, fra 0 e 21 abbiamo otto numeri primi. Io posso prendere 21 e fare, a ripetizione
21 - 2
21 - 3
21 - 5
21 - 7
21 - 11
21 - 13
21 - 19
Tralasciano il caso di 2, abbiamo sei sottrazioni, che danno luogo a sei numeri pari (numero dispari meno numero dispari fa numero pari, no?):
21 - 2 = Npa1
21 - 3 = Npa2
21 - 5 = Npa3
21 - 7 = Npa4
21 - 11 = Npa5
21 - 13 = Npa6
A questo punto, posso chiedermi: quanti di questi numeri pari sono eccezioni alla Congettura di Goldbach?
Nel nostro esempio, se almeno una di queste sottrazioni va in porto, allora 21 è interpretabile come la somma di tre numeri primi. Ad es. 21 - 3 = 18, e 18 = 13 + 5, quindi
21 - 3 = 18
21 - 3 = (18)
21 - 3 = (13 + 5)
21 = 13 + 5 + 3
Questo ragionamento si può generalizzare con facilità:
- Datemi un numero dispari Nd.
- Ditemi quanti numeri primi ci sono compresi fra Nd e 0: io ho a disposizione tanti tentativi di scomposizione di Nd, quanti sono i numeri primi compresi fra 0 ed Nd.
- Ditemi quante eccezioni alla Congettura di Goldbach ci sono comprese fra 0 ed x.
- Se almeno un tentativo di scomposizione va in porto, chiaramente siamo a cavallo.
Questo è lo scheletro del ragionamento. Ora passiamo all'artiglieria.
Come faccio a sapere quanti numeri primi ci sono fra 0 e il mio numero Nd che prendo in considerazione?
C'è il Teorema dei numeri primi: in pratica, ci dice che... Ne saprete più di me, evito di entrare in dettagli che non conosco bene. In sostanza, io questo so: se prendiamo un numero x, possiamo sapere quanti numeri primi ci sono fra 0 ed x facendo (x/ln x), dove ln intende il logaritmo naturale.
In pratica questa sarebbe una stima che diventa sempre più precisa man mano che il numero x preso in considerazione diventa più grande... Ad infinito, essa sarebbe esatta.
Come faccio a sapere quante eccezioni alla Congettura di Goldbach ci sono fra 0 ed x?
So che sono stati fatti studi in materia: quello che io conosco è di un cinese di nome Wen Chao Lu, che ci ha scritto un articolo in materia, di nome "Exceptional set of Goldbach number".
Lui lì direbbe qualcosa del tipo... Beh, esiste un numero pari, non sappiamo quale, ma esiste, tale per cui, se da lì in poi facciamo (x elevato alla 0,879) sappiamo quante sono al massimo le eccezioni alla Congettura di Goldbach comprese fra 0 ed x.
Ad es., se 30 fosse tale numero, se facciamo (30 alla 0,879) sapremmo quante sono al massimo le eccezioni alla Congettura comprese fra 0 e 30.
Chiaramente, se avessimo più numeri primi che eccezioni, siamo a cavallo: per forza almeno uno dei nostri tentativi di scomposizione va in porto.
Ed effettivamente, sembrerebbe essere così: il team del sito amatoriale con cui parlavo, mi disse che (x/ln x), per numeri sufficientemente grandi, è sempre più grande di (x elevato alla 0,879), anzi, (x/ln x) è più grande in generale di qualsiasi funzione del tipo (x elevato alla y), con y minore di 1.
Stiamo sparando nel mucchio, ma chiaramente qualcosa troviamo: questo ragionamento, ad una certa sembra funzionare sempre.
Come accennavo, il team con cui parlavo riteneva che questo ragionamento fosse corretto nella sostanza: si fecero due conti anche, e tralasciando altre fattori, (x/ln x) diventava più grande di (x elevato alla 0,879) intorno a 10 alla 15, o giù di lì.
Voi che ne pensate? Siete d'accordo?
Per "quasi sempre vero", espressione usuale nell'ambito, a quanto mi è stato detto dal team del sito con cui parlavo, si intende... Hmm.... Nel nostro caso, prendiamo i numeri dispari: se io dico che quasi tutti i numeri dispari possono essere intesi come la somma di tre numeri primi, altro non intendo dire che, anche se non so quale, so per certo che c'è un qualche numero dispari abbastanza grande tale per cui, da lì in poi, quel numero dispari e tutti i numeri dispari che seguono possono essere intesi come la somma di tre numeri primi.
E prima di tale numero ignoto, che succede? Boh, non lo so, magari ci sono possibili casi contrari.
A proposito: quale sarebbe tale numero ignoto? Questo lo so anche meno!
Chiaramente dormiamo sonni tranquilli, visto che già sappiamo che il Teorema debole di Goldbach è vero, ma, almeno al mio approccio, queste cose sono tutte da fare (e io non sono capace di farlo): ma è meglio parlare tra un po' di queste cose. Andiamo diretti al punto.
Se voi dovreste dimostrare i numeri dispari possono essere intesi come la somma di tre numeri primi, come fareste?
Beh, io l'ho vista così.
Prendiamo, ad es., il numero 21.
Quanti numeri primi ci sono fra 21 e 0? Beh, ci sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ed infine 19, In totale, fra 0 e 21 abbiamo otto numeri primi. Io posso prendere 21 e fare, a ripetizione
21 - 2
21 - 3
21 - 5
21 - 7
21 - 11
21 - 13
21 - 19
Tralasciano il caso di 2, abbiamo sei sottrazioni, che danno luogo a sei numeri pari (numero dispari meno numero dispari fa numero pari, no?):
21 - 2 = Npa1
21 - 3 = Npa2
21 - 5 = Npa3
21 - 7 = Npa4
21 - 11 = Npa5
21 - 13 = Npa6
A questo punto, posso chiedermi: quanti di questi numeri pari sono eccezioni alla Congettura di Goldbach?
Nel nostro esempio, se almeno una di queste sottrazioni va in porto, allora 21 è interpretabile come la somma di tre numeri primi. Ad es. 21 - 3 = 18, e 18 = 13 + 5, quindi
21 - 3 = 18
21 - 3 = (18)
21 - 3 = (13 + 5)
21 = 13 + 5 + 3
Questo ragionamento si può generalizzare con facilità:
- Datemi un numero dispari Nd.
- Ditemi quanti numeri primi ci sono compresi fra Nd e 0: io ho a disposizione tanti tentativi di scomposizione di Nd, quanti sono i numeri primi compresi fra 0 ed Nd.
- Ditemi quante eccezioni alla Congettura di Goldbach ci sono comprese fra 0 ed x.
- Se almeno un tentativo di scomposizione va in porto, chiaramente siamo a cavallo.
Questo è lo scheletro del ragionamento. Ora passiamo all'artiglieria.
Come faccio a sapere quanti numeri primi ci sono fra 0 e il mio numero Nd che prendo in considerazione?
C'è il Teorema dei numeri primi: in pratica, ci dice che... Ne saprete più di me, evito di entrare in dettagli che non conosco bene. In sostanza, io questo so: se prendiamo un numero x, possiamo sapere quanti numeri primi ci sono fra 0 ed x facendo (x/ln x), dove ln intende il logaritmo naturale.
In pratica questa sarebbe una stima che diventa sempre più precisa man mano che il numero x preso in considerazione diventa più grande... Ad infinito, essa sarebbe esatta.
Come faccio a sapere quante eccezioni alla Congettura di Goldbach ci sono fra 0 ed x?
So che sono stati fatti studi in materia: quello che io conosco è di un cinese di nome Wen Chao Lu, che ci ha scritto un articolo in materia, di nome "Exceptional set of Goldbach number".
Lui lì direbbe qualcosa del tipo... Beh, esiste un numero pari, non sappiamo quale, ma esiste, tale per cui, se da lì in poi facciamo (x elevato alla 0,879) sappiamo quante sono al massimo le eccezioni alla Congettura di Goldbach comprese fra 0 ed x.
Ad es., se 30 fosse tale numero, se facciamo (30 alla 0,879) sapremmo quante sono al massimo le eccezioni alla Congettura comprese fra 0 e 30.
Chiaramente, se avessimo più numeri primi che eccezioni, siamo a cavallo: per forza almeno uno dei nostri tentativi di scomposizione va in porto.
Ed effettivamente, sembrerebbe essere così: il team del sito amatoriale con cui parlavo, mi disse che (x/ln x), per numeri sufficientemente grandi, è sempre più grande di (x elevato alla 0,879), anzi, (x/ln x) è più grande in generale di qualsiasi funzione del tipo (x elevato alla y), con y minore di 1.
Stiamo sparando nel mucchio, ma chiaramente qualcosa troviamo: questo ragionamento, ad una certa sembra funzionare sempre.
Come accennavo, il team con cui parlavo riteneva che questo ragionamento fosse corretto nella sostanza: si fecero due conti anche, e tralasciando altre fattori, (x/ln x) diventava più grande di (x elevato alla 0,879) intorno a 10 alla 15, o giù di lì.
Voi che ne pensate? Siete d'accordo?
Non ho controllato tutto ciò che hai detto perché è abbastanza confusionario. Detto ciò, in linea di massima, sono abbastanza d'accordo con l'idea. Quello che stai dicendo tu essenzialmente è la disuguaglianza (1.4) a pagina 2 nel seguente paper:
https://arxiv.org/pdf/1804.09084
Ed è immediato che Vinogradov segua.
Non è sorprendente che il risultato di Vinogradov segua da un bound del genere. Difatti il risultato di Chao Lu è più forte della disuguaglianza (1.4). Nota che direttamente dal paper di C. Lu puoi dedurre il teorema di Vinogradov, infatti il metodo utilizzato è ispirato al metodo di Vinogradov del major e minor arc. Semplicemente ha migliorato questa tecnica stimando gli zeri di \(L(s,\chi)\) in una regione diversa dal metodo usato di solito, dove \(\chi \) è un carattere modulo \(q \leq P \). Il paper che ho linkato è il miglior bound fino ad ora conosciuto (il teorema 1 nel paper per intenderci, e se vuoi fare qualcosa di nuovo in questa direzione devi migliorare questo bound, i.e. migliorare \( E(x) \ll x^{0.72} \), e per fare questo è necessario ma non sufficiente studiare parecchio). Inoltre nota che tutti questi risultati seguono dai lavori di Vinogradov. Già un anno dopo i lavori di Vinorgadov, Estermann, van der Corput, Chudakov dimostrarono che
\[ E(x) \ll_A \frac{x}{(\log x)^A} \]
per ogni \(A >0 \). Dove \( E(x)\) rappresenta il numero di numeri pari minori di \(x\) non scrivibili come somma di due numeri primi.
Edit:
Se vogliamo quindi riassumere, diciamo che quello che hai fatto è capire in modo intuitivo la seguente implicazione:
Se
\[E(2N) < \pi(2N) - 1 \]
implica che ogni numero dispari sufficientemente grande è scrivibile come somma di 3 numeri primi.
Nulla di nuovo o sorprendete, ma dovresti andarne fiero in quanto amatoriale
https://arxiv.org/pdf/1804.09084
Ed è immediato che Vinogradov segua.
Non è sorprendente che il risultato di Vinogradov segua da un bound del genere. Difatti il risultato di Chao Lu è più forte della disuguaglianza (1.4). Nota che direttamente dal paper di C. Lu puoi dedurre il teorema di Vinogradov, infatti il metodo utilizzato è ispirato al metodo di Vinogradov del major e minor arc. Semplicemente ha migliorato questa tecnica stimando gli zeri di \(L(s,\chi)\) in una regione diversa dal metodo usato di solito, dove \(\chi \) è un carattere modulo \(q \leq P \). Il paper che ho linkato è il miglior bound fino ad ora conosciuto (il teorema 1 nel paper per intenderci, e se vuoi fare qualcosa di nuovo in questa direzione devi migliorare questo bound, i.e. migliorare \( E(x) \ll x^{0.72} \), e per fare questo è necessario ma non sufficiente studiare parecchio). Inoltre nota che tutti questi risultati seguono dai lavori di Vinogradov. Già un anno dopo i lavori di Vinorgadov, Estermann, van der Corput, Chudakov dimostrarono che
\[ E(x) \ll_A \frac{x}{(\log x)^A} \]
per ogni \(A >0 \). Dove \( E(x)\) rappresenta il numero di numeri pari minori di \(x\) non scrivibili come somma di due numeri primi.
Edit:
Se vogliamo quindi riassumere, diciamo che quello che hai fatto è capire in modo intuitivo la seguente implicazione:
Se
\[E(2N) < \pi(2N) - 1 \]
implica che ogni numero dispari sufficientemente grande è scrivibile come somma di 3 numeri primi.
Nulla di nuovo o sorprendete, ma dovresti andarne fiero in quanto amatoriale
Mi sembra un ottimo achievement personale, anche se non migliorativo dei bound noti.
Il mio consiglio resta a maggior ragione valido: perché non dedicarsi a cercare di ottenere qualche risultato inedito su problemi meno inflazionati o fare qualcosa di totalmente originale? Non è impossibile ottenere qualcosa degno di un articolo scientifico, poi sulla forma ci si può lavorare... ma attaccare problemi così famosi lascia davvero pochi spazi di manovra a chi non dispone di strumenti altrettanto potenti rispetto ai professionisti che ci si sono già buttati in massa nei decenni.
Il mio consiglio resta a maggior ragione valido: perché non dedicarsi a cercare di ottenere qualche risultato inedito su problemi meno inflazionati o fare qualcosa di totalmente originale? Non è impossibile ottenere qualcosa degno di un articolo scientifico, poi sulla forma ci si può lavorare... ma attaccare problemi così famosi lascia davvero pochi spazi di manovra a chi non dispone di strumenti altrettanto potenti rispetto ai professionisti che ci si sono già buttati in massa nei decenni.
Scusa Marco ma uno sarà libero di pensare a quello che vuole, non ti sembra?
"marcokrt":
Non è impossibile ottenere qualcosa degno di un articolo scientifico, poi sulla forma ci si può lavorare... ma attaccare problemi così famosi lascia davvero pochi spazi di manovra a chi non dispone di strumenti altrettanto potenti rispetto ai professionisti che ci si sono già buttati in massa nei decenni.
Reputo altamente improbabile che una persona con conoscenze amatoriali in matematica possa ottenere risultati degni di un articolo scientifico oggi giorno. Pertanto a maggior ragione condivido le parole di Martino, se una persona si diverte a pensare a dei problemi per passione, indipendentemente da quanto possano essere difficili: che lo faccia! Anzi può alimentare l'interesse verso la matematica. L'importante è essere consci che molto probabilmente non si otterrà nulla, se non la soddisfazione e il piacere di pensare a qualcosa.
"3m0o":Anche su questo non è che io sia proprio d'accordo... c'è sempre la probabilità di ottenere qualcosa. Altrimenti uno cosa fa ricerca a fare? Un pensiero costante in mente del tipo "non otterrò niente" non mi sembra il massimo, anzi. L'entusiasmo è una cosa positiva, ed è alimentato dalla speranza di ottenere qualcosa. Poi purtroppo quello che molta gente inesperta fa è di scrivere delle cose collegate a grandi congetture e spacciarle per grandi scoperte quando molto spesso sono rimescolamenti di cose (nel migliore dei casi) già note oppure (nella maggior parte dei casi) del tutto elementari. Questo bisognerebbe evitarlo, le manie di grandezza non sono mai produttive. Ma in generale pensare a un problema che piace è ottimo, fa bene alla salute.
L'importante è essere consci che molto probabilmente non si otterrà nulla, se non la soddisfazione e il piacere di pensare a qualcosa.
Con questo
Volevo esprimere questo:
Però sono d'accordo con questo
"3m0o":
L'importante è essere consci che molto probabilmente non si otterrà nulla, se non la soddisfazione e il piacere di pensare a qualcosa.
Volevo esprimere questo:
"Martino":
Poi purtroppo quello che molta gente inesperta fa è di scrivere delle cose collegate a grandi congetture e spacciarle per grandi scoperte quando molto spesso sono rimescolamenti di cose (nel migliore dei casi) già note oppure (nella maggior parte dei casi) del tutto elementari. Questo bisognerebbe evitarlo, le manie di grandezza non sono mai produttive. Ma in generale pensare a un problema che piace è ottimo, fa bene alla salute.
Però sono d'accordo con questo
"Martino":
Anche su questo non è che io sia proprio d'accordo... c'è sempre la probabilità di ottenere qualcosa. Altrimenti uno cosa fa ricerca a fare? Un pensiero costante in mente del tipo "non otterrò niente" non mi sembra il massimo, anzi. L'entusiasmo è una cosa positiva, ed è alimentato dalla speranza di ottenere qualcosa.
"3m0o":[/quote]
Però sono d'accordo con questo
[quote="Martino"]Anche su questo non è che io sia proprio d'accordo... c'è sempre la probabilità di ottenere qualcosa.
Anzi, aggiungerei pure che è molto più probabile ottenere qualcosa di interessante iniziando a pensare a questioni di una certa rilevanza, anziché inventandosi dei problemi a caso e risolvendoli. O meglio, inventarsi dei problemi è cosa buona e giusta, ma va fatto con delle basi molto solide in merito.
"Martino":
Scusa Marco ma uno sarà libero di pensare a quello che vuole, non ti sembra?
Temo tu non abbia ben compreso il senso di ciò che ho scritto: il mio è stato il commento più ottimistico, giacché ho riconosciuto all'autore la capacità di poter produrre un contributo, almeno a livello di contenuto, potenzialmente degno di una pubblicazione su journal. Un attestato di stima in cui ho omesso di scrivere in modo esplicito "complimenti", ma in sostanza glieli ho fatti.
"3m0o":
Reputo altamente improbabile che una persona con conoscenze amatoriali in matematica possa ottenere risultati degni di un articolo scientifico oggi giorno. Pertanto a maggior ragione condivido le parole di Martino, se una persona si diverte a pensare a dei problemi per passione, indipendentemente da quanto possano essere difficili: che lo faccia! Anzi può alimentare l'interesse verso la matematica. L'importante è essere consci che molto probabilmente non si otterrà nulla, se non la soddisfazione e il piacere di pensare a qualcosa.
Non concordo sull'aggettivo che precede "improbabile" e dipende dalla persona... di contro, io reputo altamente improbabile che qualcuno di noi che commentiamo riesca a dimostrare un problema del millennio (personalmente non ci ho proprio mai provato sapendo che avrei solo perso tempo).
"hydro":
Anzi, aggiungerei pure che è molto più probabile ottenere qualcosa di interessante iniziando a pensare a questioni di una certa rilevanza, anziché inventandosi dei problemi a caso e risolvendoli. O meglio, inventarsi dei problemi è cosa buona e giusta, ma va fatto con delle basi molto solide in merito.
Non so bene cosa tu intenda con l'inventarsi problemi a caso, ma in generale direi il contrario... l'esercizio creativo ti apre molte più possibilità che cercare tesori con la paletta e gli occhiali percorrendo sentieri già battuti da gente con cani da tartufo e metal detector vari. Proprio grazie a della sana creatività usata in modo "logico", quest'anno ho parzialmente confutato la validità dell'asserto del Teorema 3 di questo paper del 2012 https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v19i4p9 (per scoprire come, basta leggere la mia firma qui sotto).
Ora, per dire (e senza doversi "inventare" alcunché), su Open Problem Garden sono listati circa 700 problemi rilevanti, non solo la solita decina di quelli super famosi...
Scusa Marco, i tuoi articoli sono molto interessanti come sempre, ma cerchiamo di non andare fuori tema, grazie.
"3m0o":
Non ho controllato tutto ciò che hai detto perché è abbastanza confusionario. Detto ciò, in linea di massima, sono abbastanza d'accordo con l'idea. Quello che stai dicendo tu essenzialmente è la disuguaglianza (1.4) a pagina 2 nel seguente paper:
https://arxiv.org/pdf/1804.09084
Ed è immediato che Vinogradov segua.
Non è sorprendente che il risultato di Vinogradov segua da un bound del genere. Difatti il risultato di Chao Lu è più forte della disuguaglianza (1.4). Nota che direttamente dal paper di C. Lu puoi dedurre il teorema di Vinogradov, infatti il metodo utilizzato è ispirato al metodo di Vinogradov del major e minor arc. Semplicemente ha migliorato questa tecnica stimando gli zeri di \(L(s,\chi)\) in una regione diversa dal metodo usato di solito, dove \(\chi \) è un carattere modulo \(q \leq P \). Il paper che ho linkato è il miglior bound fino ad ora conosciuto (il teorema 1 nel paper per intenderci, e se vuoi fare qualcosa di nuovo in questa direzione devi migliorare questo bound, i.e. migliorare \( E(x) \ll x^{0.72} \), e per fare questo è necessario ma non sufficiente studiare parecchio). Inoltre nota che tutti questi risultati seguono dai lavori di Vinogradov. Già un anno dopo i lavori di Vinorgadov, Estermann, van der Corput, Chudakov dimostrarono che
\[ E(x) \ll_A \frac{x}{(\log x)^A} \]
per ogni \(A >0 \). Dove \( E(x)\) rappresenta il numero di numeri pari minori di \(x\) non scrivibili come somma di due numeri primi.
Edit:
Se vogliamo quindi riassumere, diciamo che quello che hai fatto è capire in modo intuitivo la seguente implicazione:
Se
\[E(2N) < \pi(2N) - 1 \]
implica che ogni numero dispari sufficientemente grande è scrivibile come somma di 3 numeri primi.
Nulla di nuovo o sorprendete, ma dovresti andarne fiero in quanto amatoriale
Direi che questo commento sia illuminante per contestualizzare il risultato dell'OP nell'ambito della ricerca corrente. Noto che il riferimento linkato di Pintz (arXiv, 2018) non riporta un journal su cui sarebbe stato pubblicato, ma facendo una ricerca online ho trovato questo: https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/acta-arithmetica/all/210/0/115148/a-new-explicit-formula-in-the-additive-theory-of-primes-with-applications-i-the-explicit-formula-for-the-goldbach-problem-and-the-generalized-twin-prime-problem.
Dunque, possiamo essere ragionevolmente certi che sia corretto e anche attuale, essendo la relativa pubblicazione peer-review del 2023 (cfr. Acta Arithmetica 210 (2023), 53-94 MSC: Primary 11P32; Secondary 11P55. DOI: 10.4064/aa220728-31-3 Published online: 7 June 2023).
La domanda quindi sarebbe: l'approccio personale dell'OP ha qualcosa di potenzialmente migliorativo rispetto alle tecniche usate (e ai risultati eventualmente richiamati) dall'autore del paper citato?
Grazie a tutti per le vostre risposte!
A grandi linee, proverò ad essere responsivo se non a tutti voi che mi avete risposto, almeno ai temi principali che mi avete esposto.
Come 3m0o e marcokrt hanno segnalato, sono conscio di cosa sto facendo, ed anche della probabilità piuttosto alta di non tirare fuori molto: ho comunque passato quattro anni a riflettere sulla questione, ed alla fine tanto vale la pena chiedere un po' parere a chi ne sa più di me. Non ho particolari sogni di gloria o accademici, anche se l'obiettivo che ho in mente è molto ambizioso, ma comunque necessario (ne parliamo un po' di più tra poco).
La Congettura di Goldbach ha attratto maggiormente il mio interesse, ed il grosso delle mie riflessioni sono andate in questo senso, ma ho almeno un paio di altre questioni distinte su cui mi piacerebbe chiedervi un parere, riguardanti un possibile metodo alternativo per fare le derivate (sola idea, nulla di più), ed alcuni tentativi che ho fatto per dimostrare che la Costante di Eulero-mascheroni è irrazionale: su quest'ultimo aspetto, se riesco, entro oggi apro un altro thread per chiedervi un parere.
Grazie ancora a 3m0o per avermi segnalato l'articolo di Pintz: il nome non mi era nuovo, ed infatti, era il risultato immediatamente precedente a quello di Wen Chao Lu (voglio dire che nel suo articolo Wen Chao Lu cita in rassegna proprio Pintz come miglior risultato immediatamente precedente al suo). Ricordo di aver dato un occhiata a quel testo, per curiosità; molto probabilmente ho guardato la formula, ma le mie capacità non mi permettevano di capirla.
Non mi stupisce, comunque, che io possa aver avuto un idea che anche altri hanno avuto: per ovvi motivi io non ne sapevo nulla, ma anche come marcokrt ha detto, questo comunque indica che il discorso ha un capo ed una coda.
Ora voglio focalizzarmi su un punto che anche marcokrt ha giustamente segnalato: esattamente, dove andiamo a parare?
Posso dirvi che ho sviluppato questo ragionamento tentando di dimostrare quella che è nota come Congettura di Lemoine-Levy, quella che afferma che tutti i numeri dispari Nd possono essere scritti come Nd = 2 Px +Py (io preferisco però la forma leggermente più forte Nd = 2 P1 + P2).
I miei sforzi, in questi anni, sono stati direzionati in tal senso: e credo che questa dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov (non importa chi per primo l'ha proposta) sia fondamentale in tal senso.
Un primo passo in tal senso, è che col mio ragionamento ci si può dimostrare che è quasi sempre vero che Npa = 2 P1 + (Px + Py), chiaramente collegata con la Congettura di Lemoine-Levy.
Come accenanvo, i mei sforzi sono stati rivolti proprio a cercare di trasformare Npa = 2 P1 + (Px + Py) in Nd = 2 P1 + P2. Pian piano ve li espongo, appunto per chiedere un parere.
Ma andiamo con ordine.
Molti di voi mi hanno parlato di bounds, se ben ricordo...
Con questo termine, se ho ben capito, voi fate riferimento al numero delle scritture che un numero Nd può avere come Nd = Px + Py + Pz?
Molto probabilmente sì: originariamente I. M. Vinogradov (così dice lui stesso in “The Method of Trigonometric Sums in the Theory of Numbers”, cap 9, questo testo lo si trova gratuitamente su Internet) aveva dimostrato così che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero, proprio facendo vedere che le scritture di un numero Nd come Nd = Px + Py + Pz tendono ad infinito.
Per fare questo, aveva proposto un metodo per calcolare in quanti modi un numero Nd potesse essere scritto come Nd = Px + Py + Pz. Da quanto mi è stato detto dal Team del sito amatoriale con cui parlavo in passato, sostanzialmente, Vinogradov stimava che un numero Nd avesse ad infinito un numero di scritture di poco inferiore al quadrato di tale numero preso in considerazione (tenendo magari in conto gli allievi di Vinogradov e successivi miglioramenti: se voi vedete la formula che presenta I. M. Vinogradov nel suo testo, e la confrontate con quella che trovate sulla pagina omonima della Wiki inglese, non è proprio identica).
Sì, mi sono reso conto anche io che, se si usa la mia dimostrazione alternativa, molto probabilmente le scritture che stimiamo sono inferiori rispetto a quelle di Vinogradov ed allievi: oltre a cercare di capire grosso modo quante sono, posso anche portare dei motivi che giustifichino questo fatto, rendendo comunque un minimo utile l'approccio, al di là della Congettura di Lemoine-Levy.
Sia per non fare il post troppo lungo, sia per essere sicuro di aver capito quello che mi dicevate, mi fermo qui, appunto per capire se ho ben intese quello che mi volevate dire.
In caso, nel prossimo post entro più nel dettaglio.
A grandi linee, proverò ad essere responsivo se non a tutti voi che mi avete risposto, almeno ai temi principali che mi avete esposto.
Come 3m0o e marcokrt hanno segnalato, sono conscio di cosa sto facendo, ed anche della probabilità piuttosto alta di non tirare fuori molto: ho comunque passato quattro anni a riflettere sulla questione, ed alla fine tanto vale la pena chiedere un po' parere a chi ne sa più di me. Non ho particolari sogni di gloria o accademici, anche se l'obiettivo che ho in mente è molto ambizioso, ma comunque necessario (ne parliamo un po' di più tra poco).
La Congettura di Goldbach ha attratto maggiormente il mio interesse, ed il grosso delle mie riflessioni sono andate in questo senso, ma ho almeno un paio di altre questioni distinte su cui mi piacerebbe chiedervi un parere, riguardanti un possibile metodo alternativo per fare le derivate (sola idea, nulla di più), ed alcuni tentativi che ho fatto per dimostrare che la Costante di Eulero-mascheroni è irrazionale: su quest'ultimo aspetto, se riesco, entro oggi apro un altro thread per chiedervi un parere.
Grazie ancora a 3m0o per avermi segnalato l'articolo di Pintz: il nome non mi era nuovo, ed infatti, era il risultato immediatamente precedente a quello di Wen Chao Lu (voglio dire che nel suo articolo Wen Chao Lu cita in rassegna proprio Pintz come miglior risultato immediatamente precedente al suo). Ricordo di aver dato un occhiata a quel testo, per curiosità; molto probabilmente ho guardato la formula, ma le mie capacità non mi permettevano di capirla.
Non mi stupisce, comunque, che io possa aver avuto un idea che anche altri hanno avuto: per ovvi motivi io non ne sapevo nulla, ma anche come marcokrt ha detto, questo comunque indica che il discorso ha un capo ed una coda.
Ora voglio focalizzarmi su un punto che anche marcokrt ha giustamente segnalato: esattamente, dove andiamo a parare?
Posso dirvi che ho sviluppato questo ragionamento tentando di dimostrare quella che è nota come Congettura di Lemoine-Levy, quella che afferma che tutti i numeri dispari Nd possono essere scritti come Nd = 2 Px +Py (io preferisco però la forma leggermente più forte Nd = 2 P1 + P2).
I miei sforzi, in questi anni, sono stati direzionati in tal senso: e credo che questa dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov (non importa chi per primo l'ha proposta) sia fondamentale in tal senso.
Un primo passo in tal senso, è che col mio ragionamento ci si può dimostrare che è quasi sempre vero che Npa = 2 P1 + (Px + Py), chiaramente collegata con la Congettura di Lemoine-Levy.
Come accenanvo, i mei sforzi sono stati rivolti proprio a cercare di trasformare Npa = 2 P1 + (Px + Py) in Nd = 2 P1 + P2. Pian piano ve li espongo, appunto per chiedere un parere.
Ma andiamo con ordine.
Molti di voi mi hanno parlato di bounds, se ben ricordo...
Con questo termine, se ho ben capito, voi fate riferimento al numero delle scritture che un numero Nd può avere come Nd = Px + Py + Pz?
Molto probabilmente sì: originariamente I. M. Vinogradov (così dice lui stesso in “The Method of Trigonometric Sums in the Theory of Numbers”, cap 9, questo testo lo si trova gratuitamente su Internet) aveva dimostrato così che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero, proprio facendo vedere che le scritture di un numero Nd come Nd = Px + Py + Pz tendono ad infinito.
Per fare questo, aveva proposto un metodo per calcolare in quanti modi un numero Nd potesse essere scritto come Nd = Px + Py + Pz. Da quanto mi è stato detto dal Team del sito amatoriale con cui parlavo in passato, sostanzialmente, Vinogradov stimava che un numero Nd avesse ad infinito un numero di scritture di poco inferiore al quadrato di tale numero preso in considerazione (tenendo magari in conto gli allievi di Vinogradov e successivi miglioramenti: se voi vedete la formula che presenta I. M. Vinogradov nel suo testo, e la confrontate con quella che trovate sulla pagina omonima della Wiki inglese, non è proprio identica).
Sì, mi sono reso conto anche io che, se si usa la mia dimostrazione alternativa, molto probabilmente le scritture che stimiamo sono inferiori rispetto a quelle di Vinogradov ed allievi: oltre a cercare di capire grosso modo quante sono, posso anche portare dei motivi che giustifichino questo fatto, rendendo comunque un minimo utile l'approccio, al di là della Congettura di Lemoine-Levy.
Sia per non fare il post troppo lungo, sia per essere sicuro di aver capito quello che mi dicevate, mi fermo qui, appunto per capire se ho ben intese quello che mi volevate dire.
In caso, nel prossimo post entro più nel dettaglio.
Ciao, purtroppo non ho adesso il tempo per leggere il tutto e ragionarci un attimo, ma voglio comunque segnalarti un risultato relativamente recente (di questo millennio, almeno) che potrebbe tornarti utile nella tua ricerca sulla congettura di Lemoine.
Parlo del paper di D.K.L. Shiu intitolato "Strings of Congruent Primes" (cfr. https://doi.org/10.1112/S0024610799007863).
Parlo del paper di D.K.L. Shiu intitolato "Strings of Congruent Primes" (cfr. https://doi.org/10.1112/S0024610799007863).
"marcokrt":
Non concordo sull'aggettivo che precede "improbabile" e dipende dalla persona...
Sei ovviamente libero di pensare a quello che vuoi.
La ricerca è una conversazione al interno della comunità di ricercatori. Per partecipare alla conversazione è necessario sapere ciò che è già stato detto, ciò che interessa alle persone ed è anche necessario avere qualcosa da dire ed esprimersi nel linguaggio corretto. Altrimenti le persone ti ignorano e continueranno a parlare tra di loro.
Il bachelor ti mette al corrente della conversazione, circa fino al 1900-1950. Si inizia a parlare il linguaggio. Il master ti fornisce le basi di ciò di cui i ricercatori parlano e ti porta ad aggiornarti sulla conversazione dopo il 1950. Delle volte, se il programma del università è buono, con il lavoro di tesi si affronta una prima piccola ricerca in matematica provando a rispondere ad una domanda presente in un paper.
Con il PhD, si sceglie una conversazione e la si approfondisce. Si studiano articoli, papers e si raggiunge il livello della conversazione scelta. L'idea è avere un mentore che ti aiuti a imparare ciò che è interessante e ti presenti altri ricercatori. Immergendoti nella conversazione ti renderai conto di quali problemi sono interessanti, e di come potresti sfruttare le tue conoscenze per risolverli. Dopo aver lavorato molto si risponde a una o più di queste domande e si inizia a parlare della propria risposta a conferenze, con altre persone, via e-mail, pubblicando, etc.
Se hai detto qualcosa di interessante, gli altri ricercatori si interessano a ciò che hai da dire e sei sulla buona strada per unirti alla conversazione. Direi che è necessario un dottorato per poter fare ricerca interessante.
Un dilettante difficilmente partecipa alla conversazione, inoltre spesso non la capisce nemmeno, molto spesso non comprende neppure il linguaggio. Se poi per dilettante si intende: qualcuno con un bachelor, master o un Phd in matematica che ha lasciato il cammino del accademia ed è andato a lavorare in azienda, ad insegnare, o a fare altro, sì, non è impossibile che pubblichi qualcosa di interessante, e l'impedimento maggiore è il tempo a disposizione che uno possiede. In azienda si pubblicano spesso papers, di interessa per l'azienda, ma non direi che sono dilettanti. Qualcuno senza un dottorato? E' improbabile che possa fare ricerca. Qualcuno senza neanche un master?! E' davvero molto difficile che avrà qualcosa di interessante da aggiungere alla conversazione. Figurarsi qualcuno che non possiede nemmeno un bachelor... non sto dicendo che non ci sono controesempi, ma i pochi controesempi tra le miliardi di persone nel mondo, non è un argomento molto convincente.
Pertanto sì, è altamente improbabile che senza il giusto allenamento una persona possa fare ricerca, e indipendentemente dalle capacità della persona.
Detto questo, chiunque può fare matematica, sia per divertimento che per imparare cose nuove e non c'è assolutamente nulla che ti impedisce nel farla.
Detto questo:
"marcokrt":
Direi che questo commento sia illuminante per contestualizzare il risultato dell'OP nell'ambito della ricerca corrente.
Macché! Il "risultato" dell'OP è ad anni luce di distanza dal inserirsi nella ricerca corrente.
"marcokrt":
La domanda quindi sarebbe: l'approccio personale dell'OP ha qualcosa di potenzialmente migliorativo rispetto alle tecniche usate (e ai risultati eventualmente richiamati) dall'autore del paper citato?
Seriamente questa domanda?! Direi proprio di no!
"Lathias":
ho comunque passato quattro anni a riflettere sulla questione, ed alla fine tanto vale la pena chiedere un po' parere a chi ne sa più di me.
Vale sempre la pena chiedere.
"Lathias":
Grazie ancora a 3m0o per avermi segnalato l'articolo di Pintz: il nome non mi era nuovo, ed infatti, era il risultato immediatamente precedente a quello di Wen Chao Lu (voglio dire che nel suo articolo Wen Chao Lu cita in rassegna proprio Pintz come miglior risultato immediatamente precedente al suo). Ricordo di aver dato un occhiata a quel testo, per curiosità; molto probabilmente ho guardato la formula, ma le mie capacità non mi permettevano di capirla.
L'articolo di W.C. Lu è precedente a quello di J. Pintz, per cui dubito che tu abbia letto qualcosa in merito a questo risultato nel suo articolo. Si sarà riferito ad altro.
"Lathias":
I miei sforzi, in questi anni, sono stati direzionati in tal senso: e credo che questa dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov (non importa chi per primo l'ha proposta)
E' un risultato noto, puoi usarlo tranquillamente.
"Lathias":
Un primo passo in tal senso, è che col mio ragionamento ci si può dimostrare che è quasi sempre vero che Npa = 2 P1 + (Px + Py), chiaramente collegata con la Congettura di Lemoine-Levy.
Come?
"Lathias":
Molti di voi mi hanno parlato di bounds, se ben ricordo...
Con questo termine, se ho ben capito, voi fate riferimento al numero delle scritture che un numero Nd può avere come Nd = Px + Py + Pz?
Molto probabilmente sì:
No! Si parla di O-grande. E quello che si intende è una stima della cardinalità del seguente insieme: \( E(x)=\{ 2n \leq x: \not\exists p,q \text{ primi tale che } p+q = 2n \} \)
"Lathias":
originariamente I. M. Vinogradov (così dice lui stesso in “The Method of Trigonometric Sums in the Theory of Numbers”, cap 9, questo testo lo si trova gratuitamente su Internet) aveva dimostrato così che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero, proprio facendo vedere che le scritture di un numero Nd come Nd = Px + Py + Pz tendono ad infinito.
Non esattamente.
"Lathias":
Per fare questo, aveva proposto un metodo per calcolare in quanti modi un numero Nd potesse essere scritto come Nd = Px + Py + Pz. Da quanto mi è stato detto dal Team del sito amatoriale con cui parlavo in passato, sostanzialmente, Vinogradov stimava che un numero Nd avesse ad infinito un numero di scritture di poco inferiore al quadrato di tale numero preso in considerazione.
Circa.
"Lathias":
Sì, mi sono reso conto anche io che, se si usa la mia dimostrazione alternativa, molto probabilmente le scritture che stimiamo sono inferiori rispetto a quelle di Vinogradov ed allievi:
Forse mi hai frainteso. Hai notato che il risultato di Lu implica il teorema di Vinogradov. E quindi? Cosa vuol dire "dimostrazione alternativa" ?
Ciao marcokrt, come suggeritomi, ho dato un occhiata all'articolo, precisamente all'abstract, ma purtroppo le mie capacità sono troppo scarse per capirci qualcosa.
Ciao 3m0o, riguardo questa parte del tuo post, cioè da “La ricerca è una conversazione al interno della comunità di ricercatori...”, fino a “Pertanto sì, è altamente improbabile che senza il giusto allenamento una persona possa fare ricerca, e indipendentemente dalle capacità della persona.”, mi trovi pienamente concorde: quel che dici è la pura e semplice verità.
Inoltre si, 3m0o, ho effettivamente controllato l'articolo di Wen Chao Lu: egli fa riferimento a J. Pintz, non citando però un articolo, ma, credo, una sorta di esposizione verbale che egli aveva fatto al VIII Metting of the Canadian number theory association, Toronto, Canada, Giugno 20-25, 2004, ed il risultato era ancora non pubblicato (leggo da p.2 dell'articolo di Wen Chao Lu).
Ah, quando dici $“E(x)={2n≤x:∄ p,q primi tale che p+q=2n}”$, se ho ben capito, ti riferisci all'insieme delle eccezioni alla Congettura di Goldbach, vero?
Se è così, ammetto che questa dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov non dice nulla di più di quanto ci ha detto Wen Chao Lu: o per meglio dire, non lo farà prima di poter riuscire a dimostrare che è vero/quasi sempre vero che $Nd = 2 P1 + P2$, perché possiamo banalmente (ma decisivamente) concludere che è vero/quasi sempre vero che $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$.
Questo risultato, cioè che è vero/quasi sempre vero che $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$, è più potente del Teorema di Chen, ed è molto probabile che possa essere usato per poter migliorare il risultato di Wen Chao Lu.
A grandi linee questo potrebbe essere il perché: una volta ho fatto un controllo empirico dei numeri pari da 8 fino a 100, per vedere se si potevano scrivere come $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$, non ho trovato casi contrari (cioè tutti i numeri pari che ho controllato si possono effettivamente scrivere come $Npa = P1 + (2 P1 + 1)$, ma ho notato che per i numeri 32, 56, 62, 92 e 98 il $(2P2 + 1)$ di $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$ non è un numero primo, ma un semplice numero dispari.
Una volta, dando uno sguardo alla lista che avevo compilato, mi è venuto in mente: ma non sono meno di quanto si stimerebbe col risultato di Wen Chao Lu? Così mi sono chiesto: non è che magari, se è vero/quasi sempre vero che $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$, è possibile migliorare il risultato di Wen Chao Lu?
Chiesi un parere al Team del sito amatoriale con cui parlavo, e loro mi dissero che il ragionamento era possibile, ma che era mettere troppa carne al fuoco, visto che ancora non sappiamo se è vero/quasi sempre vero che $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$. Effettivamente, 3m0o, questo aspetto della questione sarebbe un aspetto che mi piacerebbe affrontare, ma credo anche io che sia ancora presto per affrontarlo.
In un altro punto del tuo post, 3m0o, mi chiedi cosa voglio intendere con “dimostrazione alternativa”. Grazie della domanda, perché mi hai fatto notare che sono stato impreciso: effettivamente, a rigore, la mia dimostrazione non è una dimostrazione alternativa del teorema di Vinogradov.
A rigore, il Teorema di Vinogradov, dovrebbe essere una sorta di stima di quante sono le scritture di un numero Nd come $Nd = Px + Py + Pz$. Ora, poiché Vinogradov riesce a far vedere che tali scritture tendono ad infinito, si conclude come corollario che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero.
Il mio ragionamento qui esposto nulla dice riguardo la stima di quante sono le scritture di un numero Nd come $Nd = Px + Py + Pz$, si limita a dimostrare che il teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero.
Chiaramente questa non può essere, a rigore, una dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov (peraltro, credo che col mio approccio, le scritture che risultano siano minori di quelle stimate da Vinogradov, quindi decisamente non è corretto parlare di una dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov).
Vogliate perdonare l'inesattezza. Per concludere, a questo punto per “dimostrazione alternativa” del fatto che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero intendo semplicemente alludere ad una dimostrazione che, rispetto a quella di Vinogradov, usa tecniche diverse.
Per usare una metafora: è come se si andasse allo stesso posto, ma passando da due strade diverse.
C'è un ultimo punto del tuo post, 3m0o, a cui devo dare risposta, ovvero di come fare a dimostrare, sempre tramite il ragionamento che qui ho esposto, che è quasi sempre vero che $Npa = 2 P1 + (Px + Py)$.
Originariamente, questo ragionamento che vi ho esposto non l'avevo pensato per dimostrare che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero, ma proprio per dimostrare che è quasi sempre vero che $Npa = 2 P1 + (Px + Py)$, solo dopo mi resi conto che si poteva usare anche per dimostrare che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero.
Alla fine, cosa ci vieta di ripetere lo stesso ragionamento, cioè di fare tentativi di scomposizione di un numero, usando i numeri 2 P1 invece dei numeri primi? Vi ricorderete l'esempio. Prendiamo 21: noi sappiamo che fra 21 e 0 ci sono 8 numeri primi
$21 - 2 = Npa1$
$21 - 3 = Npa2$
$21 - 5 = Npa3$
$21 - 7 = Npa4$
$21 - 11 = Npa5$
$21 - 13 = Npa6$
$21 – 17 = Npa7$
$21 – 19 = Npa8$
Domanda: almeno una di queste scomposizione va in porto?
Facciamo $(x/ln x)$ tentativi di scomposizione, e ci sono al massimo $(x^0,879)$ eccezioni: per numeri sufficientemente grandi, $(x/ln x)$ è sempre più grande di $(x^0,879)$, quindi si.
Ma alla fine, $(x/ln x)$ può contare anche i numeri 2 P1, no?
Semplificando un po' non ci sono sempre $(x/ln x)$ o giù di lì numeri 2 P1 compresi fra 0 ed x?
Non possiamo fare quindi anche
$21 - 4 = Npa1$
$21 - 6 = Npa2$
$21 - 10 = Npa3$
$21 - 14 = Npa4$
E chiederci anche qui se i nostri tentativi di scomposizione vanno in porto almeno una volta? La risposta è di nuovo sì: fondamentalmente non cambia nulla. Chiesi un parere sull'argomento al Team del sito amatoriale con cui parlavo, ed anche loro credevano che il mio ragionamento andasse bene per dimostrare che è quasi sempre vero che $Npa = 2 P1 + (Px + Py)$. Voi cosa ne pensate?
Chiaramente, così fosse, questo significa che possiamo dimostrare anche che è quasi sempre vero che $Npa = (P1 + P') + (Px + Py)$, come $Npa = (P1 + 1) + (Px + Py)$, anzi, potremmo persino dimostrare è quasi sempre vero che $Nd = P(1) + (Px + Py)$, dove con P(1) intendo alludere ad un numero primo che termina in 1. Come fare?
Beh, in teoria, secondo il Teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche, $10x + 1$ ha infiniti numeri primi: ho letto che esiste anche una versione potenziata di tale teorema, che ci dice anche quanti primi ci sono in queste serie, e tenderebbero a $π(x) div φ(x)$, dove $π(x)$ è la funzione che conta i primi fra 0 ed x, e $φ(x)$ è la funzione che conta i coprimi di un determinato numero x.
Credo che alla fine ci si stia dicendo che, in pratica, purché rispettiamo i limiti del Teorema di Dirichlet, poco conta che contiamo facendo $1, 2, 3, 4, …, n$, o che contiamo facendo $1, 11, 21, 31, …, 10x + 1$, tanto ci ritroveremo sempre tra le mani lo stesso numero di primi, cioè sempre $(x/ln x)$.
Quindi, tra chiedersi se prendiamo 21, e facciamo
$21 - 2 = Npa1$
$21 - 3 = Npa2$
$21 - 5 = Npa3$
$21 - 7 = Npa4$
$21 - 11 = Npa5$
$21 - 13 = Npa6$
$21 – 17 = Npa7$
$21 – 19 = Npa8$
Chiedendosi se almeno un tentativo di scomposizione va in porto, e chiedersi se facciamo
$31 – 1 = Npa'$
$31 – 11 = Npa''$
$31 – 21 = Npa'''$
Scomponendo i numeri dispari usando solamente i numeri primi che finiscono in 1, nulla cambia, e la risposta è sempre positiva. Voi cosa ne pensate?
Edit: su richiesta di marco, ho provato a migliorare la lettura delle formule, d'ora in poi ne terrò conto. Grazie mille, spero che sia più leggibile.
Ciao 3m0o, riguardo questa parte del tuo post, cioè da “La ricerca è una conversazione al interno della comunità di ricercatori...”, fino a “Pertanto sì, è altamente improbabile che senza il giusto allenamento una persona possa fare ricerca, e indipendentemente dalle capacità della persona.”, mi trovi pienamente concorde: quel che dici è la pura e semplice verità.
Inoltre si, 3m0o, ho effettivamente controllato l'articolo di Wen Chao Lu: egli fa riferimento a J. Pintz, non citando però un articolo, ma, credo, una sorta di esposizione verbale che egli aveva fatto al VIII Metting of the Canadian number theory association, Toronto, Canada, Giugno 20-25, 2004, ed il risultato era ancora non pubblicato (leggo da p.2 dell'articolo di Wen Chao Lu).
Ah, quando dici $“E(x)={2n≤x:∄ p,q primi tale che p+q=2n}”$, se ho ben capito, ti riferisci all'insieme delle eccezioni alla Congettura di Goldbach, vero?
Se è così, ammetto che questa dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov non dice nulla di più di quanto ci ha detto Wen Chao Lu: o per meglio dire, non lo farà prima di poter riuscire a dimostrare che è vero/quasi sempre vero che $Nd = 2 P1 + P2$, perché possiamo banalmente (ma decisivamente) concludere che è vero/quasi sempre vero che $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$.
Questo risultato, cioè che è vero/quasi sempre vero che $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$, è più potente del Teorema di Chen, ed è molto probabile che possa essere usato per poter migliorare il risultato di Wen Chao Lu.
A grandi linee questo potrebbe essere il perché: una volta ho fatto un controllo empirico dei numeri pari da 8 fino a 100, per vedere se si potevano scrivere come $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$, non ho trovato casi contrari (cioè tutti i numeri pari che ho controllato si possono effettivamente scrivere come $Npa = P1 + (2 P1 + 1)$, ma ho notato che per i numeri 32, 56, 62, 92 e 98 il $(2P2 + 1)$ di $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$ non è un numero primo, ma un semplice numero dispari.
Una volta, dando uno sguardo alla lista che avevo compilato, mi è venuto in mente: ma non sono meno di quanto si stimerebbe col risultato di Wen Chao Lu? Così mi sono chiesto: non è che magari, se è vero/quasi sempre vero che $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$, è possibile migliorare il risultato di Wen Chao Lu?
Chiesi un parere al Team del sito amatoriale con cui parlavo, e loro mi dissero che il ragionamento era possibile, ma che era mettere troppa carne al fuoco, visto che ancora non sappiamo se è vero/quasi sempre vero che $Npa = P1 + (2 P2 + 1)$. Effettivamente, 3m0o, questo aspetto della questione sarebbe un aspetto che mi piacerebbe affrontare, ma credo anche io che sia ancora presto per affrontarlo.
In un altro punto del tuo post, 3m0o, mi chiedi cosa voglio intendere con “dimostrazione alternativa”. Grazie della domanda, perché mi hai fatto notare che sono stato impreciso: effettivamente, a rigore, la mia dimostrazione non è una dimostrazione alternativa del teorema di Vinogradov.
A rigore, il Teorema di Vinogradov, dovrebbe essere una sorta di stima di quante sono le scritture di un numero Nd come $Nd = Px + Py + Pz$. Ora, poiché Vinogradov riesce a far vedere che tali scritture tendono ad infinito, si conclude come corollario che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero.
Il mio ragionamento qui esposto nulla dice riguardo la stima di quante sono le scritture di un numero Nd come $Nd = Px + Py + Pz$, si limita a dimostrare che il teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero.
Chiaramente questa non può essere, a rigore, una dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov (peraltro, credo che col mio approccio, le scritture che risultano siano minori di quelle stimate da Vinogradov, quindi decisamente non è corretto parlare di una dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov).
Vogliate perdonare l'inesattezza. Per concludere, a questo punto per “dimostrazione alternativa” del fatto che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero intendo semplicemente alludere ad una dimostrazione che, rispetto a quella di Vinogradov, usa tecniche diverse.
Per usare una metafora: è come se si andasse allo stesso posto, ma passando da due strade diverse.
C'è un ultimo punto del tuo post, 3m0o, a cui devo dare risposta, ovvero di come fare a dimostrare, sempre tramite il ragionamento che qui ho esposto, che è quasi sempre vero che $Npa = 2 P1 + (Px + Py)$.
Originariamente, questo ragionamento che vi ho esposto non l'avevo pensato per dimostrare che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero, ma proprio per dimostrare che è quasi sempre vero che $Npa = 2 P1 + (Px + Py)$, solo dopo mi resi conto che si poteva usare anche per dimostrare che il Teorema debole di Goldbach è quasi sempre vero.
Alla fine, cosa ci vieta di ripetere lo stesso ragionamento, cioè di fare tentativi di scomposizione di un numero, usando i numeri 2 P1 invece dei numeri primi? Vi ricorderete l'esempio. Prendiamo 21: noi sappiamo che fra 21 e 0 ci sono 8 numeri primi
$21 - 2 = Npa1$
$21 - 3 = Npa2$
$21 - 5 = Npa3$
$21 - 7 = Npa4$
$21 - 11 = Npa5$
$21 - 13 = Npa6$
$21 – 17 = Npa7$
$21 – 19 = Npa8$
Domanda: almeno una di queste scomposizione va in porto?
Facciamo $(x/ln x)$ tentativi di scomposizione, e ci sono al massimo $(x^0,879)$ eccezioni: per numeri sufficientemente grandi, $(x/ln x)$ è sempre più grande di $(x^0,879)$, quindi si.
Ma alla fine, $(x/ln x)$ può contare anche i numeri 2 P1, no?
Semplificando un po' non ci sono sempre $(x/ln x)$ o giù di lì numeri 2 P1 compresi fra 0 ed x?
Non possiamo fare quindi anche
$21 - 4 = Npa1$
$21 - 6 = Npa2$
$21 - 10 = Npa3$
$21 - 14 = Npa4$
E chiederci anche qui se i nostri tentativi di scomposizione vanno in porto almeno una volta? La risposta è di nuovo sì: fondamentalmente non cambia nulla. Chiesi un parere sull'argomento al Team del sito amatoriale con cui parlavo, ed anche loro credevano che il mio ragionamento andasse bene per dimostrare che è quasi sempre vero che $Npa = 2 P1 + (Px + Py)$. Voi cosa ne pensate?
Chiaramente, così fosse, questo significa che possiamo dimostrare anche che è quasi sempre vero che $Npa = (P1 + P') + (Px + Py)$, come $Npa = (P1 + 1) + (Px + Py)$, anzi, potremmo persino dimostrare è quasi sempre vero che $Nd = P(1) + (Px + Py)$, dove con P(1) intendo alludere ad un numero primo che termina in 1. Come fare?
Beh, in teoria, secondo il Teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche, $10x + 1$ ha infiniti numeri primi: ho letto che esiste anche una versione potenziata di tale teorema, che ci dice anche quanti primi ci sono in queste serie, e tenderebbero a $π(x) div φ(x)$, dove $π(x)$ è la funzione che conta i primi fra 0 ed x, e $φ(x)$ è la funzione che conta i coprimi di un determinato numero x.
Credo che alla fine ci si stia dicendo che, in pratica, purché rispettiamo i limiti del Teorema di Dirichlet, poco conta che contiamo facendo $1, 2, 3, 4, …, n$, o che contiamo facendo $1, 11, 21, 31, …, 10x + 1$, tanto ci ritroveremo sempre tra le mani lo stesso numero di primi, cioè sempre $(x/ln x)$.
Quindi, tra chiedersi se prendiamo 21, e facciamo
$21 - 2 = Npa1$
$21 - 3 = Npa2$
$21 - 5 = Npa3$
$21 - 7 = Npa4$
$21 - 11 = Npa5$
$21 - 13 = Npa6$
$21 – 17 = Npa7$
$21 – 19 = Npa8$
Chiedendosi se almeno un tentativo di scomposizione va in porto, e chiedersi se facciamo
$31 – 1 = Npa'$
$31 – 11 = Npa''$
$31 – 21 = Npa'''$
Scomponendo i numeri dispari usando solamente i numeri primi che finiscono in 1, nulla cambia, e la risposta è sempre positiva. Voi cosa ne pensate?
Edit: su richiesta di marco, ho provato a migliorare la lettura delle formule, d'ora in poi ne terrò conto. Grazie mille, spero che sia più leggibile.
"3m0o":
Sei ovviamente libero di pensare a quello che vuoi.
Ovvio, è questo il bello di conversare e confrontarsi partendo da punti di vista differenti... diciamo che non credo di parlare soltanto per massimi sistemi, ma restano mie opinioni e in matematica/statistica le unità di misura degli aggettivi, grande e piccolo, sono piuttosto relative (per dire, abbiamo il 100% di probabilità di pescare un numero naturale a caso e sceglierne proprio uno più grande persino del numero di Graham). Sul fatto che non sia cosa comune che qualcuno che non ha mai frequentato un giorno la facoltà di matematica risolva un qualche problema aperto, sono d'accordo e sul fatto che sia del tutto impossibile, sono parimenti in disaccordo.
La ricerca è una conversazione al interno della comunità di ricercatori. Per partecipare alla conversazione è necessario sapere ciò che è già stato detto, ciò che interessa alle persone ed è anche necessario avere qualcosa da dire ed esprimersi nel linguaggio corretto. Altrimenti le persone ti ignorano e continueranno a parlare tra di loro.
Il bachelor ti mette al corrente della conversazione, circa fino al 1900-1950 (...)
IMHO, La ricerca è un percorso personale in cui si spinge un po' più in là il confine di ciò che da ignoto diventa noto e non credo che usare la logica necessiti di un patentino... ragionamento (comunque discriminatorio) che magari un qualche Editor può invece fare, penalizzando chi invia un manoscritto privo di affiliazione accademica (a volte mi è pure stato impedito in toto in quanto richiesta come conditio sine qua non per la submission) o nella migliore delle ipotesi devi fare una scalata a mani nude su una ripida parete solo per poter arrivare a uppare un qualche preprint su arXiv (che il sistema ti metterà di default "on hold"), ma non concordo sul fatto di generalizzare.
Che poi io non sia degno di partecipare a conversazioni matematiche perché non ho mai frequentato un giorno la facoltà relativa e non ho proseguito gli studi con il miraggio di un pezzo di carta è un altro discorso... confido nel fatto che esista gente più brava, motivata e più intelligente, tanto pazza da non ascoltare opinioni altrui e far parlare i priori risultati con un bel DOI impresso sopra.
Macché! Il "risultato" dell'OP è ad anni luce di distanza dal inserirsi nella ricerca corrente.
Mi riferivo al fatto che tu abbia constestualizzato il tentativo dell'OP in relazione ai risultati più recenti noti, infatti il mio consiglio spassionato è stato quello di provare a cimentarsi in qualche sfida meno inflazionata e proibitiva. Poi, non ho seguito per mancanza di tempo; tuttavia, per esperienza, noto che la maggior parte degli amatori i risultati corretti ma superati nemmeno arriva a produrli... o sono immediatamente deducibili da semplici considerazioni o sono proprio errati. I complimenti da parte mia restano, così come l'invito a fare qualcosa di più semplice (almeno all'inizio), che richieda meno formalismo e dunque gratificante (che so, iniziare con qualche sequenza derivata sulla OEIS).
Come regola di massima, sono convinto che iniziare a scrivere il primo articolo senza aver letto almeno $50$ paper nella stessa branca sia troppo affrettato.
P.S. Se si riuscisse a scrivere le formule con i dollari, in TeX, la lettura per chi porta gli occhiali come il sottoscritto sarebbe più agevole.
"3m0o":
Qualcuno senza un dottorato? E' improbabile che possa fare ricerca. Qualcuno senza neanche un master?! E' davvero molto difficile che avrà qualcosa di interessante da aggiungere alla conversazione. Figurarsi qualcuno che non possiede nemmeno un bachelor...
Ahi! Brutto colpo. Discutere di titoli accademici con Marco Ripà è come parlare di corda in casa dell'impiccato...
"3m0o":
[quote="marcokrt"]
Direi che questo commento sia illuminante per contestualizzare il risultato dell'OP nell'ambito della ricerca corrente.
Macché! Il "risultato" dell'OP è ad anni luce di distanza dal inserirsi nella ricerca corrente.[/quote]
@3m0o Stai parlando con marcokrt, uno che non è interessato a un dibattito nel merito delle questioni. Non gli interessa la matematica in sè, ma di "apparire" come un matematico.
Vuole far credere di fare ricerca matematica con under the belt 1 anno di Fisica e 14 anni di "paper" (0 citazioni, molte autocitazioni) privi di contenuti su giornali indonesiani o bulgari a impatto 0.
Fosco (che qua talvolta è eccessivamente tacciato di estremismo, ma che io apprezzo molto dai tempi del forum dell'Unipd) ha generosamente riassunto 14 anni di "paper" di marcokrt in un post di 5 righe, con domanda finale.
(Che voglia di leggersi tutto quel filler-text su giornali bulgari con peer-review di facciata! su un argomento già di scarsissimo interesse di suo...)
Ma a grande sorpresa non ha ricevuto risposta nel merito, perché marcokrt non avendo neanche la triennale, non ha gli strumenti per rispondere, se non a walltext di prosa mista a battute da Big Bang Theory.
E' questo a cui mi riferisco quando critico ironizzando questo utente: ha tutte le risposte finché le dà lui le carte, cita le sue 100 sequenze oeis (!??), la sua appartenenza a esclusive societies di alto QI (Giga Society ?!), premi vari che avrebbe vinto (Genius of the Year Europe ?!)... MA non appena si entra nel merito delle questioni, anche dei SUOI temi "fringe" come la rilevantissima "tetrazione", non ha gli strumenti per sostenere una discussione matematica e manda tutto alle ortiche.
Forse una triennale in Fisica avrebbe giovato, chissà. Lui dice di no...
"FLovini":
[quote="3m0o"] Qualcuno senza un dottorato? E' improbabile che possa fare ricerca. Qualcuno senza neanche un master?! E' davvero molto difficile che avrà qualcosa di interessante da aggiungere alla conversazione. Figurarsi qualcuno che non possiede nemmeno un bachelor...
Ahi! Brutto colpo. Discutere di titoli accademici con Marco Ripà è come parlare di corda in casa dell'impiccato...
"3m0o":
[quote="marcokrt"]
Direi che questo commento sia illuminante per contestualizzare il risultato dell'OP nell'ambito della ricerca corrente.
Macché! Il "risultato" dell'OP è ad anni luce di distanza dal inserirsi nella ricerca corrente.[/quote]
@3m0o Stai parlando con marcokrt, uno che non è interessato a un dibattito nel merito delle questioni. Non gli interessa la matematica in sè, ma di "apparire" come un matematico.
Vuole far credere di fare ricerca matematica con under the belt 1 anno di Fisica e 14 anni di "paper" (0 citazioni, molte autocitazioni) privi di contenuti su giornali indonesiani o bulgari a impatto 0.
Fosco (che qua talvolta è eccessivamente tacciato di estremismo, ma che io apprezzo molto dai tempi del forum dell'Unipd) ha generosamente riassunto 14 anni di "paper" di marcokrt in un post di 5 righe, con domanda finale.
(Che voglia di leggersi tutto quel filler-text su giornali bulgari con peer-review di facciata! su un argomento già di scarsissimo interesse di suo...)
Ma a grande sorpresa non ha ricevuto risposta nel merito, perché marcokrt non avendo neanche la triennale, non ha gli strumenti per rispondere, se non a walltext di prosa mista a battute da Big Bang Theory.
E' questo a cui mi riferisco quando critico ironizzando questo utente: ha tutte le risposte finché le dà lui le carte, cita le sue 100 sequenze oeis (!??)... MA non appena si entra nel merito delle questioni, anche dei SUOI temi "fringe" come la rilevantissima "tetrazione", non ha gli strumenti per sostenere una discussione matematica e manda tutto alle ortiche.
Forse una triennale in Fisica avrebbe giovato, chissà. Lui dice di no...
[/quote]Screennato tutto e archiviato, passiamo a distribuire un po' di figure di palta su gentile invito dell'anonimo incompetente che alle 3 e passa di notte posta deliri e fake news all'indirizzo della mia persona, nascondendosi codardamente dietro l'ennesimo account creato per stalkerizzarmi, molestarmi e diffamarmi a mezzo stampa (nella - mi spiace dirlo - completa indifferenza dei moderatori di questo forum che per la seconda volta non ne hanno bannato l'artefice).
Ora, dunque, permettetemi di divertirmi a rispondere nel merito con un ottimo yugurt al caffè senza glutine accanto:
1) "Fosco (che qua talvolta è eccessivamente tacciato di estremismo, ma che io apprezzo molto dai tempi del forum dell'Unipd) ha generosamente riassunto 14 anni di "paper" di marcokrt in un post di 5 righe, con domanda finale.
(Che voglia di leggersi tutto quel filler-text su giornali bulgari con peer-review di facciata! su un argomento già di scarsissimo interesse di suo...)".
In teoria quest'ennesimo, delirante, travaso di bile del simpatico anonimo, che chiamerò affettuosamente con un nome di fantasia (vediamo... boh, scelgo a caso: "Mirkaccio-sei-tu?"), testimonia una totale incapacità di comprensione da parte sua.
Immagino il riferimento sia a un commento di un utente postato in questa discussione in risposta alla mia curiosità circa la possibilità che qui qualcuno fosse in grado di migliorare/confutare/provare una delle mie tante congetture pubblicate (ovviamente, avendo una conoscenza assai più profonda dell'argomento di chiunque altro, essendone l'autore, sarei rimasto stupito del contrario): https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=240875
Mi ha fatto piacere apprendere che una persona competente abbia dedicato sforzi e tempo a cercare di comprendere i miei risultati sulla velocità di congruenza e che in 5 righe abbia (non so se in modo indipendente o meno) tratteggiato
dei risultati già noti quando mi accingevo a scrivere il primo, rudimentale, abbozzo di lavoro su ciò che poi sarebbe diventata la formula della velocità di congruenza costante della tetrazione... risultati di nomi non proprio di poco conto, eccoli qui listati alla fine del primo periodo del Problema aperto 6.1 (See H. N. Shapiro [25] , Parnami [21] and Erdős and Graham [12] pp. 80-81 for related questions.): https://math.colgate.edu/%7Eintegers/h23/h23.pdf
Ciò che si può dedurre da questo paper, in cui sono "incappato" da pochi giorni e che sto guardandomi giusto adesso in quanto indicato come "remarkable" da un utente di MSE, è che in modo indipendente e IMHO geniale ho trovato da solo che la strada giusta per superare il problema dello sdoppiamento della funzione nei decimali era trasporre il problema nell'anello $\mathbb{Z}_p$ degli interi $p$-adici sfruttando un noto omomorfismo... gli autori di questo paper qui parlano appunto di $p$-adici, ma non forniscono la soluzione esatta perché lavorano genericamente in modulo $k$, mentre io mi sono conentrato sul problema specifico (assai più difficile che usare sistemi di numerazione radix-$p$ - con $p$ primo) di $g=p_1\cdot p_3$ con $p_1=2$ e $p_3=5$ che è uno dei più problematici in assoluto, giacché nel relativo anello commutativo non vale più la legge di annullamento del prodotto, abbiamo una paccata di soluzioni (a differenza di $g=p_1 \cdot p_2 = 6$, in cui immagino basterà arrivare all'equazione di terzo grado relativa che ammette, poniamo, 6-8 soluzioni anziché 15 e altrettanti numeri decadici da gestire nella relativa formula esplicita). Poi ok, somma diretta, proiezioni ortogonali e simmetrie... ma ho/abbiamo infine risolto il problema in modo esatto nel sistema di numerazione più interessante, quello decimale, fornendo la formula esplicita che risponde nel relativo sistema di numerazione anche agli altri problemi posti dagli autori. La metrica che ci si chiede di trovare è quella della valutazione p-adica (o ordine) sdoppiata nelle sue accezioni descritte da $g$, ovvero i suoi fattori primi distinti (ignoro se il tutto tenga anche per $g$ NON squarefree), ma ciò che ho fatto lo possiamo esportare pari pari che so, in base $6$, in base $15$, etc... se $p$ è primo è tutto relativamente immediato e in questo caso il lavoro degli autori del "remarkable" paper scoperto è già un pezzo avanti.
Avrei volentieri evitato questo achievement in modo tanto volgare, ma ubi maior... hater cessat
Giusto per curiosità, segnalo che a fine pag. 12 del paper, si va persino oltre le 3 condizioni che descrivono gli spazi metrici (cosa di cui mi sono tra l'altro occupato recentemente qui: https://arxiv.org/pdf/2311.00016) e torna tutto, passando per il mitico teorema di Ostrowski (cfr. https://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem).
Secondo me qui nessuno si è ben reso conto di quanto complicata sia la struttura descritta dalle cifre delle tetrazioni intere con iperesponente a crescita unitaria... lo sfasamento asintotico è un concetto avanzato che non può prescindere dalla perfetta determinazione del minimo iperesponente per cui la velocità di congruenza si stabilizza. Nel paper ciò che si arriva a tratteggiare è la rozza condizione iperesponente > base$+1$, noi (con Luca) abbiamo fornito lo strettissimo upper bound $\tilde{\nu}(a)+2$ (per capirci, prendi come base $123456789$ e in un caso ti servirebbero $123456790$ iterazioni, nel nostro $\nu_5(123456790)+2$, cioè $3$. $3$ anziché $123456790$... passo e chiudo.
La nostra condizione sufficiente che assicura, per qualsiasi base non multipla di $10$, che la velocità di congruenza si stabilizzi per tutti gli iperesponenti pari o superiori a $\tilde{\nu}(a)+2$ è data da
$$
\tilde{v}(a) := \begin{cases}v_{5}(a-1) && if & a \equiv 1 \pmod{5} \\ v_{5}\left(a^{2}+1\right) && if & a \equiv 2,3 \pmod{5} \\ v_{5}(a+1) && if & a \equiv 4 \pmod{5} \\ v_{2}\left(a^{2}-1\right)-1 && if & a \equiv 5 \pmod{10} \end{cases}.
$$
Anzi no... mostro al rosicone di turno una dura realtà portando un esempio random, guardati il Teorema 4.4 qui https://arxiv.org/pdf/2208.02622 in cui uso il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche per dimostrare l'esistenza di infiniti numeri primi che sono contraddistinti da una certa proprietà... spiegamela tu che ci facciamo due risate.
Sayonara.
P.S.
Chi pensa di aver compreso come funziona davvero la velocità di congruenza costante (cioè il pezzetto più facile e tranquillo del mio lavoro), può provare a rispondere a questa domanda entry-level: quanto vale $V(31415934838576212137588152996418333704193)$, dove $V()$ indica la velocità di congruenza costante dell'argomento? OPS, che succede... non si stabilizza... ma di sicuro in $5$ righe sarà tutto spiegabile in modo indipendente dall'utente di recente iscrizione che continua a chiamarmi in causa anziché parlare di matematica (questa sconosciuta...).
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