La costante di Eulero-Mascheroni è irrazionale?
Buongiorno a tutti!
Come dicevo nel thread sulla dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov, ho un paio di questioni da rivolgervi estranee alla Congettura di Goldbach: una di queste è la questione se la Costante di Eulero-Mascheroni (γ) sia irrazionale: come saprete, non è appunto noto se tale costante sia razionale o irrazionale.
Ho riflettuto un po' sulla questione, e vi espongo quel che mi era venuto in mente.
Questo che sto per esporvi non è direttamente legato a come ho in mente di muovermi per far vedere che la costante di Eulero-mascheroni è irrazionale, diciamo che è un prodromo, o se preferite, una cosa interessante a sapersi.
Allora, come saprete meglio di me, quella che è nota come Costante di Eulero-mascheroni (γ), è solitamente intesa come quel numero che salta fuori se si fa a ripetizione infinite volte
$1 – ln 1$
$(1 + ½) – ln 2$
$(1 +1/2 + 1/3) – ln 3$
$…$
$(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n) – ln n.$
Come si può immaginare, qui ln indica il logaritmo naturale.
Hmm... A riguardo della questione in oggetto, si può dire qualcosa di interessante riguardo a questo modo di tirare fuori la Costante di Eulero-Mascheroni (sulla wiki inglese, ho letto anche che non è l'unico).
Banalmente, tutti i parziali che si vedono sopra, hanno una forma particolare: prima c'è $(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n)$, poi c'è la sottrazione per $(ln n)$.
Ora, nei parziali, $(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n)$ è sempre un numero razionale: stiamo sommando numeri razionali, che altro dovrebbe saltare fuori?
Cosa possiamo dire di $(ln n)$?
Beh, c'è il Teorema di Lindemann-Weierstrass.
O per meglio dire: c'è un risultato parziale e preparatorio, che Lindemann nel 1882 aveva dimostrato prima di arrivare al risultato generale, ora noto come Teorema di Lindemann-Weierstrass.
Ovvero che se prendiamo il numero di Nepero $e$, elevandolo ad un esponente x algebrico, allora $(e^x)$ è trascendente (così c'è scritto nella pagina omonima della Wiki inglese dedicata al Teorema di Lindemann-Weierstrass).
Quando facciamo a ripetizione
$1 – ln 1$
$(1 + ½) – ln 2$
$(1 +1/2 + 1/3) – ln 3$
$…$
$(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n) – ln n.$
Come si vede, dobbiamo sempre sottrarre per il logaritmo naturale di un numero intero.
Ma, in teoria, quando sottraiamo (ln n), appunto (ln n) non è equivalente a quel numero che, se prendiamo $(e^x = n)$?
In altre parole: $(ln n)$ non è equivalente per definizione a quel numero x tale per cui $(e^x = n)$?
Il risultato parziale di Lindemann ci dice che quel numero x a cui eleviamo e deve essere per forza non algebrico, no?
Infatti Lindemann ci dice che se prendiamo il numero di Nepero $e$, e lo eleviamo ad un esponente x algebrico, allora $(e^x)$ è trascendente: ma poiché $(A → B) → (~B → ~A)$, noi possiamo concludere che se $(e^x)$ non è trascendente, allora l'esponente x non è algebrico.
Ma se non è algebrico, tale numero x deve essere per forza irrazionale: non fosse così, cioè fosse irrazionale ed algebrico, come fa l'esponente x a non essere algebrico? Chiaramente l'esponente x deve per forza essere irrazionale.
Quindi, quando noi facciamo a ripetizione
$1 – ln 1$
$(1 + ½) – ln 2$
$(1 +1/2 + 1/3) – ln 3$
$…$
$(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n) – ln n.$
il numero (ln n) con cui noi sottraiamo è sempre un numero irrazionale: ciò significa che tutti questi parziali della Costante di Eulero-mascheroni sono irrazionali.
Interessante no? Comunque non è il modo che ho in mente per provare ad attaccare la questione.
Il team del sito amatoriale con cui parlavo pensavano che il mio ragionamento fosse corretto: voi cosa ne pensate?
Dopo vi espongo cosa mi è venuto in mente per poter affrontare meglio la questione, nel caso.
Come dicevo nel thread sulla dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov, ho un paio di questioni da rivolgervi estranee alla Congettura di Goldbach: una di queste è la questione se la Costante di Eulero-Mascheroni (γ) sia irrazionale: come saprete, non è appunto noto se tale costante sia razionale o irrazionale.
Ho riflettuto un po' sulla questione, e vi espongo quel che mi era venuto in mente.
Questo che sto per esporvi non è direttamente legato a come ho in mente di muovermi per far vedere che la costante di Eulero-mascheroni è irrazionale, diciamo che è un prodromo, o se preferite, una cosa interessante a sapersi.
Allora, come saprete meglio di me, quella che è nota come Costante di Eulero-mascheroni (γ), è solitamente intesa come quel numero che salta fuori se si fa a ripetizione infinite volte
$1 – ln 1$
$(1 + ½) – ln 2$
$(1 +1/2 + 1/3) – ln 3$
$…$
$(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n) – ln n.$
Come si può immaginare, qui ln indica il logaritmo naturale.
Hmm... A riguardo della questione in oggetto, si può dire qualcosa di interessante riguardo a questo modo di tirare fuori la Costante di Eulero-Mascheroni (sulla wiki inglese, ho letto anche che non è l'unico).
Banalmente, tutti i parziali che si vedono sopra, hanno una forma particolare: prima c'è $(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n)$, poi c'è la sottrazione per $(ln n)$.
Ora, nei parziali, $(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n)$ è sempre un numero razionale: stiamo sommando numeri razionali, che altro dovrebbe saltare fuori?
Cosa possiamo dire di $(ln n)$?
Beh, c'è il Teorema di Lindemann-Weierstrass.
O per meglio dire: c'è un risultato parziale e preparatorio, che Lindemann nel 1882 aveva dimostrato prima di arrivare al risultato generale, ora noto come Teorema di Lindemann-Weierstrass.
Ovvero che se prendiamo il numero di Nepero $e$, elevandolo ad un esponente x algebrico, allora $(e^x)$ è trascendente (così c'è scritto nella pagina omonima della Wiki inglese dedicata al Teorema di Lindemann-Weierstrass).
Quando facciamo a ripetizione
$1 – ln 1$
$(1 + ½) – ln 2$
$(1 +1/2 + 1/3) – ln 3$
$…$
$(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n) – ln n.$
Come si vede, dobbiamo sempre sottrarre per il logaritmo naturale di un numero intero.
Ma, in teoria, quando sottraiamo (ln n), appunto (ln n) non è equivalente a quel numero che, se prendiamo $(e^x = n)$?
In altre parole: $(ln n)$ non è equivalente per definizione a quel numero x tale per cui $(e^x = n)$?
Il risultato parziale di Lindemann ci dice che quel numero x a cui eleviamo e deve essere per forza non algebrico, no?
Infatti Lindemann ci dice che se prendiamo il numero di Nepero $e$, e lo eleviamo ad un esponente x algebrico, allora $(e^x)$ è trascendente: ma poiché $(A → B) → (~B → ~A)$, noi possiamo concludere che se $(e^x)$ non è trascendente, allora l'esponente x non è algebrico.
Ma se non è algebrico, tale numero x deve essere per forza irrazionale: non fosse così, cioè fosse irrazionale ed algebrico, come fa l'esponente x a non essere algebrico? Chiaramente l'esponente x deve per forza essere irrazionale.
Quindi, quando noi facciamo a ripetizione
$1 – ln 1$
$(1 + ½) – ln 2$
$(1 +1/2 + 1/3) – ln 3$
$…$
$(1 + ½ + 1/3 + … + 1/n) – ln n.$
il numero (ln n) con cui noi sottraiamo è sempre un numero irrazionale: ciò significa che tutti questi parziali della Costante di Eulero-mascheroni sono irrazionali.
Interessante no? Comunque non è il modo che ho in mente per provare ad attaccare la questione.
Il team del sito amatoriale con cui parlavo pensavano che il mio ragionamento fosse corretto: voi cosa ne pensate?
Dopo vi espongo cosa mi è venuto in mente per poter affrontare meglio la questione, nel caso.
Risposte
Sì tutti i parziali sono irrazionali. Quindi? Questo non implica che $gamma$ è irrazionale.
Una successione di numeri irrazionali può convergere a un numero razionale. Per esempio se prendo $1/pi^n$, che è irrazionale per ogni naturale $n ge 1$, se mando $n$ all'infinito il limite viene $0$, che invece è razionale.
Una successione di numeri irrazionali può convergere a un numero razionale. Per esempio se prendo $1/pi^n$, che è irrazionale per ogni naturale $n ge 1$, se mando $n$ all'infinito il limite viene $0$, che invece è razionale.
Giusto è anche giusto ma non c'è bisogno di tutto questo profluvio, e soprattutto non c'è bisogno di invocare un teorema così profondo come Lindemann-Weierstrass: $\ln(n)$ è irrazionale perchè se fosse razionale seguirebbe che $e=n^r$ per qualche $r$ razionale, ma $n^r$ è algebrico mentre $e$ è trascendente. Il fatto che $e$ sia trascendente si dimostra in maniera non banale ma elementare.
"hydro":
Giusto è anche giusto ma non c'è bisogno di tutto questo profluvio, e soprattutto non c'è bisogno di invocare un teorema così profondo come Lindemann-Weierstrass: $\ln(n)$ è irrazionale perchè se fosse razionale seguirebbe che $e=n^r$ per qualche $r$ razionale, ma $n^r$ è algebrico mentre $e$ è trascendente. Il fatto che $e$ sia trascendente si dimostra in maniera non banale ma elementare.
Corretto. In realtà, anche senza ridimostrarlo per conto proprio, è cosa nota che $pi$ ed $e$ siano stati provati essere trascendenti e basterebbe richiamare il relativo teorema. Addirittura, sappiamo persino che $e^{pi}$ è un irrazionale trascendente (dimostrazione del 1929 di David Wells), da cui la nota costante di Gel'fond (cfr. la sequenza A058287 della OEIS per il relativo sviluppo in frazioni continue).
P.S. Come riferimento/risultato da invocare per l'irrazionalità e poi la trascendenza di $e$, direi che possa andare benissimo il seguente articolo di Robert Hines: https://math.colorado.edu/~rohi1040/expository/eistranscendental.pdf
Grazie come sempre per le vostre risposte.
Prima di procedere oltre, qualche risposta ai precedenti commenti.
Martino mi chiede: sì, tutti i parziali sono irrazionali. Quindi?
Ammetto che la risposta più coerente con la domanda è la seguente: purtroppo, almeno io non sono in grado di tirarne fuori nulla. Come è facile immaginare, quando ho notato che i parziali sono tutti irrazionali, ho fatto dei tentativi per vedere se potevo trarre fuori qualcosa.
Almeno per questa strada, nulla ho trovato: ed infatti, come dicevo, mi sono dovuto muovere altrove. Anche il team del sito amatoriale con cui parlavo mi disse che, alla fine, tutti i parziali potrebbero essere irrazionali ma alla fine la Costante essere razionale: ulteriore motivo, almeno per me, per guardare altrove.
In linea di principio, però, il fatto che i parziali siano irrazionali potrebbe essere utile, chiaramente però insieme a qualcos'altro, ma come dicevo io in tal senso non sono in grado di dire di più (ahimè, non saranno poche le volte in cui vedrete che dirò che “non ne ho la più pallida idea”).
Hydro mi dice: ma non c'è bisogno di tirare in ballo il teorema di Lindemann-Weierstrass...
Ho letto con interesse le vostre risposte in materia: chiaramente non lo sapevo.
Come puoi immaginare, Hydro, mi sono limitato a esporre il ragionamento che avevo fatto, che inevitabilmente risente di quello che avevo avuto fra le mani nel mentre riflettevo sulla questione.
Nulla da obiettare sul fatto che il teorema di Lindemann-Weierstrass non serva per arrivare alla questione comunque.
Ora veniamo più precisamente a cosa mi era venuto in mente.
Segnalo che, se anche quanto leggete sia corretto, il massimo che sono riuscito a fare è arrivare a che la Costante non possa essere scritta come nessun numero del tipo $1/n$: magari però, se il ragionamento è corretto, il ragionamento si può generalizzare (io stesso, almeno mi sembra, forse sono riuscito a coprire anche il caso $2/n$).
Dopo un po' di indecisione (vorrei evitare di essere troppo prolisso), penso possa essere utile segnalare che questo ragionamento è una molto libera rielaborazione della originaria dimostrazione della irrazionalità di π da parte di Lambert, che ho visto esposta in alcuni video didattico-ricreativi su Youtube: davvero molto libera, solo alcune idee generali di fondo.
Andiamo diritti al sodo, dunque.
Da quanto ho letto, sembra che Eulero aveva presentato un modo per scrivere sin(x) come frazione continua: così dice la Wiki italiana (https://it.wikipedia.org/wiki/Seno_(matematica)).
In teoria, se assumiamo $γ$ come razionale $(γ = a/b)$, $sin (γ)$ dovrebbe essere per forza irrazionale, grazie all'uso della frazione continua, da quanto ricordo (purtroppo non sono riuscito a trovare rapidamente una conferma di ciò, ma mi pare di ricordare bene, fatemi sapere se mi sbaglio).
Se applicassimo ora il Teorema della corda (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_corda), con una corda in un cerchio di lunghezza esattamente γ, otterremo che
$γ = (2r) * (sin γ)$
Da cui
$γ div 2r = (sin γ)$
Ora, poiché per quanto abbiamo detto, $(sin γ)$ è irrazionale, ed abbiamo supposto che la Costante è razionale, dovremmo concludere che $2r$ sia irrazionale, no?
Supponiamo che $2r$ sia razionale: poiché anche la Costante è stata supposta razionale, abbiamo che un numero razionale che divide un numero razionale è uguale ad un numero irrazionale... Dovrebbe essere assurdo, no? Quindi, come dicevamo, $2r$ è irrazionale (ciò sempre supponendo che la Costante sia razionale, ovviamente).
Ai nostri scopi, però, è meglio se esprimiamo la Costante come rapporto fra due numeri irrazionali. Possiamo fare così:
$γ = 2r * Sin γ$
$a/b = 2r * Sin γ$
$b/a = 1/(2r * Sin γ)$
$b/a = (1/2r) * (1/Sin γ)$
Ma $(1 div Sin γ)$ dovrebbe essere equivalente alla Cosecante della Costante $(csc γ)$, quindi
$b div a = (1 div 2r) * (1 div Sin γ)$
$b div a = (1 div 2r) * (Csc γ)$
$b div a = (Csc γ) div 2r$
$a div b = (2r div Csc γ)$
$γ = (2r div Csc γ)$
A questo punto, supponiamo che la Costante sia un numero di tipo $1 div n$, cioè che $γ = 1 div n$.
Abbiamo che
$γ = 2r div Csc γ$
$1/b = 2r div Csc γ$
$1 = (2r * b) div Csc γ$
Quest'ultima operazione ci mostra che $(2r * b) = Csc γ$: questo infatti è l'unico modo affinché il rapporto fra $(2r * b)$ e $Csc γ$ sia uguale ad 1... No? Mi sbaglio?
A questo punto, per mettere in luce la contraddizione, farò riferimento ad un discorso geometrico, cosa aiutata dal fatto che ci si sta muovendo in ambito trigonometrico.
Possiamo immaginare $(2r * b)$ come l'area di un rettangolo: in altre parole, $2r$, che sarebbe il diametro del cerchio chiamato in causa dal Teorema della corda, è un lato del rettangolo, e $b$ è l'altro lato, quindi $(2r * b)$ è l'area totale di tale rettangolo.
Invece, $Csc γ$, è quello che dice di essere: la cosecante di $γ$, quindi un segmento.
Poiché
$1 = (2r * b) div Csc γ$
Ciò significa che l'area $(2r * b)$ del rettangolo i cui lati sono $2r$ e $b$, è uguale al segmento $Csc γ$.
Quindi ciò significa che
$(2r * b) = Csc γ$
Ma dato che il segmento $Csc γ$ è uguale all'area del rettangolo, ciò vuol dire che $Csc γ$ è scomponibile in due parti, una lunga quanto $2r$, e l'altra lunga quanto $b$, quindi ciò significa che
$(2r + b) = Csc γ$
Abbiamo concluso tanto che $(2r * b) = Csc γ$ quanto che $(2r + b) = Csc γ$.
Dovrebbe essere un assurdo, no? Voi cosa ne pensate?
Comunque qualcosa non dovrebbe quadrare, quando otteniamo $1 = (2r * b) div Csc γ$...
Almeno credo...
Edit: anche qui dovrei essere riuscito a migliorare la leggibilità. Grazie ancora a Marco per il suggerimento.
Prima di procedere oltre, qualche risposta ai precedenti commenti.
Martino mi chiede: sì, tutti i parziali sono irrazionali. Quindi?
Ammetto che la risposta più coerente con la domanda è la seguente: purtroppo, almeno io non sono in grado di tirarne fuori nulla. Come è facile immaginare, quando ho notato che i parziali sono tutti irrazionali, ho fatto dei tentativi per vedere se potevo trarre fuori qualcosa.
Almeno per questa strada, nulla ho trovato: ed infatti, come dicevo, mi sono dovuto muovere altrove. Anche il team del sito amatoriale con cui parlavo mi disse che, alla fine, tutti i parziali potrebbero essere irrazionali ma alla fine la Costante essere razionale: ulteriore motivo, almeno per me, per guardare altrove.
In linea di principio, però, il fatto che i parziali siano irrazionali potrebbe essere utile, chiaramente però insieme a qualcos'altro, ma come dicevo io in tal senso non sono in grado di dire di più (ahimè, non saranno poche le volte in cui vedrete che dirò che “non ne ho la più pallida idea”).
Hydro mi dice: ma non c'è bisogno di tirare in ballo il teorema di Lindemann-Weierstrass...
Ho letto con interesse le vostre risposte in materia: chiaramente non lo sapevo.
Come puoi immaginare, Hydro, mi sono limitato a esporre il ragionamento che avevo fatto, che inevitabilmente risente di quello che avevo avuto fra le mani nel mentre riflettevo sulla questione.
Nulla da obiettare sul fatto che il teorema di Lindemann-Weierstrass non serva per arrivare alla questione comunque.
Ora veniamo più precisamente a cosa mi era venuto in mente.
Segnalo che, se anche quanto leggete sia corretto, il massimo che sono riuscito a fare è arrivare a che la Costante non possa essere scritta come nessun numero del tipo $1/n$: magari però, se il ragionamento è corretto, il ragionamento si può generalizzare (io stesso, almeno mi sembra, forse sono riuscito a coprire anche il caso $2/n$).
Dopo un po' di indecisione (vorrei evitare di essere troppo prolisso), penso possa essere utile segnalare che questo ragionamento è una molto libera rielaborazione della originaria dimostrazione della irrazionalità di π da parte di Lambert, che ho visto esposta in alcuni video didattico-ricreativi su Youtube: davvero molto libera, solo alcune idee generali di fondo.
Andiamo diritti al sodo, dunque.
Da quanto ho letto, sembra che Eulero aveva presentato un modo per scrivere sin(x) come frazione continua: così dice la Wiki italiana (https://it.wikipedia.org/wiki/Seno_(matematica)).
In teoria, se assumiamo $γ$ come razionale $(γ = a/b)$, $sin (γ)$ dovrebbe essere per forza irrazionale, grazie all'uso della frazione continua, da quanto ricordo (purtroppo non sono riuscito a trovare rapidamente una conferma di ciò, ma mi pare di ricordare bene, fatemi sapere se mi sbaglio).
Se applicassimo ora il Teorema della corda (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_corda), con una corda in un cerchio di lunghezza esattamente γ, otterremo che
$γ = (2r) * (sin γ)$
Da cui
$γ div 2r = (sin γ)$
Ora, poiché per quanto abbiamo detto, $(sin γ)$ è irrazionale, ed abbiamo supposto che la Costante è razionale, dovremmo concludere che $2r$ sia irrazionale, no?
Supponiamo che $2r$ sia razionale: poiché anche la Costante è stata supposta razionale, abbiamo che un numero razionale che divide un numero razionale è uguale ad un numero irrazionale... Dovrebbe essere assurdo, no? Quindi, come dicevamo, $2r$ è irrazionale (ciò sempre supponendo che la Costante sia razionale, ovviamente).
Ai nostri scopi, però, è meglio se esprimiamo la Costante come rapporto fra due numeri irrazionali. Possiamo fare così:
$γ = 2r * Sin γ$
$a/b = 2r * Sin γ$
$b/a = 1/(2r * Sin γ)$
$b/a = (1/2r) * (1/Sin γ)$
Ma $(1 div Sin γ)$ dovrebbe essere equivalente alla Cosecante della Costante $(csc γ)$, quindi
$b div a = (1 div 2r) * (1 div Sin γ)$
$b div a = (1 div 2r) * (Csc γ)$
$b div a = (Csc γ) div 2r$
$a div b = (2r div Csc γ)$
$γ = (2r div Csc γ)$
A questo punto, supponiamo che la Costante sia un numero di tipo $1 div n$, cioè che $γ = 1 div n$.
Abbiamo che
$γ = 2r div Csc γ$
$1/b = 2r div Csc γ$
$1 = (2r * b) div Csc γ$
Quest'ultima operazione ci mostra che $(2r * b) = Csc γ$: questo infatti è l'unico modo affinché il rapporto fra $(2r * b)$ e $Csc γ$ sia uguale ad 1... No? Mi sbaglio?
A questo punto, per mettere in luce la contraddizione, farò riferimento ad un discorso geometrico, cosa aiutata dal fatto che ci si sta muovendo in ambito trigonometrico.
Possiamo immaginare $(2r * b)$ come l'area di un rettangolo: in altre parole, $2r$, che sarebbe il diametro del cerchio chiamato in causa dal Teorema della corda, è un lato del rettangolo, e $b$ è l'altro lato, quindi $(2r * b)$ è l'area totale di tale rettangolo.
Invece, $Csc γ$, è quello che dice di essere: la cosecante di $γ$, quindi un segmento.
Poiché
$1 = (2r * b) div Csc γ$
Ciò significa che l'area $(2r * b)$ del rettangolo i cui lati sono $2r$ e $b$, è uguale al segmento $Csc γ$.
Quindi ciò significa che
$(2r * b) = Csc γ$
Ma dato che il segmento $Csc γ$ è uguale all'area del rettangolo, ciò vuol dire che $Csc γ$ è scomponibile in due parti, una lunga quanto $2r$, e l'altra lunga quanto $b$, quindi ciò significa che
$(2r + b) = Csc γ$
Abbiamo concluso tanto che $(2r * b) = Csc γ$ quanto che $(2r + b) = Csc γ$.
Dovrebbe essere un assurdo, no? Voi cosa ne pensate?
Comunque qualcosa non dovrebbe quadrare, quando otteniamo $1 = (2r * b) div Csc γ$...
Almeno credo...
Edit: anche qui dovrei essere riuscito a migliorare la leggibilità. Grazie ancora a Marco per il suggerimento.
"Lathias":
(2r • b) = Csc γ
Ma dato che il segmento Csc γ è uguale all'area del rettangolo, ciò vuol dire che Csc γ è scomponibile in due parti, una lunga quanto 2r, e l'altra lunga quanto b, quindi ciò significa che
(2r + b) = Csc γ
Ma che dici?
dal fatto che un segmento è lungo $2r*b$ non puoi dedurre che è lungo $2r+b$. Non ti sembra?
"Lathias":
Ora veniamo più precisamente a cosa mi era venuto in mente.
Segnalo che, se anche quanto leggete sia corretto, il massimo che sono riuscito a fare è arrivare a che la Costante non possa essere scritta come nessun numero del tipo 1/n:
Per ogni $k$ fissato, dimostrare che la costante di Eulero-Mascheroni non si scrive come \(k/n\) per alcun $n$ è un conto finito e semplice, perchè \(k/n\to 0\) per $n\to \infty$ mentre $\sum 1/n-\log n$ è definitivamente crescente.
@hydro: in che senso? Se $k=1$ ok, perché si sa che $gamma$ è compreso tra $0.57$ e $0.58$, quindi $gamma$ non può essere uguale a una frazione del tipo $1//n$. E probabilmente si riesce a fare anche $k=2$ e altri valori piccoli di $k$, ma non mi sembra che il ragionamento funzioni per $k$ fissato ma arbitrario.
"Martino":
@hydro: in che senso? Se $k=1$ ok, perché si sa che $gamma$ è compreso tra $0.57$ e $0.58$, quindi $gamma$ non può essere uguale a una frazione del tipo $1//n$. E probabilmente si riesce a fare anche $k=2$ e altri valori piccoli di $k$, ma non mi sembra che il ragionamento funzioni per $k$ fissato ma arbitrario.
Edit: Certo scusami hai ragione, stavo pensando la cosa sbagliata.
"Martino":Oppure al contrario: una successione di numeri razionali può convegere a un numero irrazionale; ad esempio la successione \(\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) ha supporto in \(\displaystyle\mathbb{Q}\) ma converge ad \(\displaystyle e\) il quale è irrazionale (trascendente, per giunta)!
[...] Una successione di numeri irrazionali può convergere a un numero razionale. [...]
Facci caso Lathias...
@hydro: Sì, ma questo dimostra che esiste $N$ (che dipende da $k$) tale che $gamma > k/n$ per ogni $n > N$. Sì certo su questo siamo d'accordo (tra l'altro basta scegliere $N=2k$ per avere $gamma > k/n$ per ogni $n > N$). Avevo capito che tu volessi mostrare che fissato $k$, $gamma ne k/n$ per ogni $n$.
Sisi hai ragione, ho editato.
"marcokrt":
[quote="hydro"]Giusto è anche giusto ma non c'è bisogno di tutto questo profluvio, e soprattutto non c'è bisogno di invocare un teorema così profondo come Lindemann-Weierstrass: $\ln(n)$ è irrazionale perchè se fosse razionale seguirebbe che $e=n^r$ per qualche $r$ razionale, ma $n^r$ è algebrico mentre $e$ è trascendente. Il fatto che $e$ sia trascendente si dimostra in maniera non banale ma elementare.
Corretto. In realtà, anche senza ridimostrarlo per conto proprio, è cosa nota che $pi$ ed $e$ siano stati provati essere trascendenti e basterebbe richiamare il relativo teorema. Addirittura, sappiamo persino che $e^{pi}$ è un irrazionale trascendente (dimostrazione del 1929 di David Wells), da cui la nota costante di Gel'fond (cfr. la sequenza A058287 della OEIS per il relativo sviluppo in frazioni continue).[/quote]
Come al solito non hai capito niente dello spirito matematico. Guarda che la quotidianità della matemtica non è uno show-off di etichette di risultati da citare. Lo sai dimostrare che $e$ è irrazionale o no? Visto che nel tuo caso è no, la dimostrazione ti sarà istruttiva, per quanto possa essere "banale" da un punto di vista superiore.
Che citi allora? Che sei un archiviario? Con questa tua saccenza di facciata, vorrei vederti banalmente all'opera in uno degli orali del primo anno di Dvornicich. Primo anno eh!
C'è da sperare che nessun ragazzo o principiante segua i tuoi "consigli metodologici" o le tue "dritte".
E' noto che l'irrazionalità di $\gamma $ è un problema ancora aperto, come altri:
Waldschmidt, Michel (2023). "Some of the most famous open problems in number theory"
Non credo che sia così semplice da dimostrare, ma qualcuno di voi giovani ci può sempre provare...
Waldschmidt, Michel (2023). "Some of the most famous open problems in number theory"
Non credo che sia così semplice da dimostrare, ma qualcuno di voi giovani ci può sempre provare...
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