Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Penso sia carino avere, da qualche parte in un forum che si rispetti, un esempio siffatto.
Richiamo un paio di definizioni.
Definizione 1. Sia \( \mathcal{H} \) uno spazio lineare. Una mappa \( \langle \cdot , \cdot \rangle \to \mathbb{K}\) si dice prodotto interno su \( \mathcal{H}\) se le seguenti condizioni sono soddisfatte:
(i) \( \langle x ,x \rangle \ge 0 \) per ogni \( x \in \mathcal{H}\);
(ii) \( \langle x ,x \rangle = 0 \) se e solo se \( x= 0\);
(iii) \( \langle \alpha x + \beta y , ...
Esercizio. Per \(t>0\) si consideri la seguente equazione differenziale di Bessel \[ t^2 x'' (t) + 2t x'(t) + t^2 x(t) =0 \qquad (*). \]
(i) Calcolare una soluzione \(x_1 (t) \) di \( (*)\) nella forma \( x_1 (t) = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n \);
(ii) Scrivere \( x_1 (t)\) in "forma chiusa";
(iii) Calcolare una seconda soluzione \(x_2(t)\) di \( (*)\), linearmente indipendente da \( x_1(t) \), nella forma \( x_2(t)=v(t) x_1(t)\) per una certa funzione \( v(t)\).
Calcolare \[ \int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2} \, dx. \]
Sia ABCD un tetraedro le lunghezze dei cui sei spigoli siano note.
Quesito:
[size=120]Descrivere una procedura atta a determinare il raggio della sfera circoscritta[/size] (sfruttando la conoscenza delle lunghezze degli spigoli).
Metto una figura illustrativa in cui c'è anche un esempio delle sei lunghezze degli spigoli.
–––> Figura illustrativa
[Ovviamente "u" sta a significare una arbitraria unità di misura di lunghezze].
Quesiti aggiuntivi:
a) Quanto vale il volume del tetraedro ...
Esercizio. Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua tale che il suo integrale improprio (nel senso di Riemann) \( \int_\mathbb{R} |f(x)| \, dx \) è convergente. Mostrare che la funzione \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[F(y) = \int_\mathbb{R} f(x) \cos (xy) \, dx \] è continua.
Nota. Considerando l'integrale nel senso di Lebesgue si potrebbero usare teorema della convergenza dominata e affini, ma sarebbe troppo facile. Vorrei vedere una soluzione che usi la convergenza ...
salve,
avrei bisogno di un suggerimento , un aiuto , per quanto riguarda la descrizione della forma del cervello.
In pratica sto facendo un progetto in cui avendo uno schema 3d di alcune molecole del cervello ,devo poi simulare delle connessioni celebrali. Per iniziare ho usato dei punti(in realtà piccole sfere) equispaziati su una sfera, ma volendo rendere più realistico il progetto vorrei la forma del cervello. Quello che dovrei fare è posizionare dei punti più o meno equispaziati in modo ...
Se \(X\) è uno spazio normato, indico con \( L(X) \) lo spazio degli operatori lineari e continui \( X \to X\).
Problema. Esibire un'isometria \( \ell^\infty \to L(L^p ([0,1])) \).
Esercizio. Sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione continua, strettamente positiva e tale che \( f(x + 1)=f(x) \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \). Mostrare che \[ \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx \ge 1.\]
Soluzione in spoiler.
Preliminarmente osservo che la funzione \(g: x \mapsto x + 1/x \) è tale che \(g(x) \ge 2 \) per ogni \(x > 0 \). Poi \[ \begin{split} \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx & = \int_0^{1/2}\frac{f(x)}{f(x+ 1/2)} \, dx + \int_{1/2}^1 \frac{f(x)}{f(x+ ...
Calcolare distanze di punti da sottospazi è in generale un problema non banale, specie in spazi non uniformemente convessi. Propongo una lezioncina.
Lemma (Riesz). Siano \( X\) uno spazio normato e \( G \subset X\) un suo sottospazio lineare chiuso proprio. Allora per ogni \( \epsilon \in (0,1)\) esiste un \(x_\epsilon \notin G\) con \( \| x_\epsilon \| = 1 \) e \( d(x_\epsilon ,G) \ge 1 - \epsilon \).
Con il precedente si può dimostrare il seguente
Teorema. Siano \(X\) uno spazio normato, ...
Determinare tutte le coppie $(x, y) in ZZ^2$ tali che
$x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006$
Sto provando a svolgere questo problema, senza riuscirci però. Non so proprio da dove partire. Ho provato a scomporre il primo polinomio in qualche modo ma non ho trovato nulla. Qualcuno ha qualche suggerimento almeno per partire? Grazie
Ciao! Parlando del problema 2 dell'esame di maturità (sessione ordinaria), il punto 4 è il seguente.
Parlo della parte sottolineata in rosso.
Ricordo velocemente l'argomento: se un punto $t$ verifica la condizione detta allora la retta normale al grafico [tex]Y-f(t) = -\frac{1}{f'(t)} (X-t)[/tex] passa per l'origine, quindi $f(t)f'(t)+t=0$ e, siccome $f'(t)$ ha grado $n-1$, questa equazione ha al massimo ...
Considerata la serie di potenze a valori complessi
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n^2};
\]
determinare il suo insieme di convergenza \(\displaystyle S\). Denominata \(\displaystyle f(z)\) la sua funzione somma:
[list=1]
[*:1wxotzhe] determinare una sua forma esplicita,[/*:m:1wxotzhe]
[*:1wxotzhe] determinare il suo dominio di olomorfia \(\displaystyle\Omega\).[/*:m:1wxotzhe][/list:o:1wxotzhe]
Definita la successione di funzioni a valori complessi
\[
\forall ...
Esercizio. Sia \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) una successione di numeri positivi tale che \( \sum a_n < \infty\). Mostrare che esiste una successione di numeri positivi \( \{c_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) con \( \lim_n c_n = \infty\) tale che \[ \sum a_n c_n < \infty. \]
Magari è pure banale, ma sarei curioso di vedere una costruzione dei \( c_n \) in termini degli \( a_n \) (a me non ne è venuta in mente nessuna). Io credo di avere un soluzione (un po' artificiosa).
Ciao a tutti!
[Perdonatemi per il post chilometrico che segue, mi sono reso conto solo dopo di aver scritto così tanto.
Spero almeno possa nascerne una discussione che sia utile a quelli che investiranno un pò del loro tempo nel leggerla.
Vi anticipo che il post riguarda la modellizzazione e lo studio di un problema reale di calcolo delle probabilità; mi son reso conto infatti che ciò non è mai così semplice come potrebbe sembrare e si finisce spesso o per iper semplificare o (come ne mio ...
Problema. Per \( M \subseteq \mathbb{N}\) denotiamo con \( \chi_M \in \ell^\infty\) la "successione caratteristica" di \( M\), i.e. \[\chi_M (k) = \begin{cases} 1 & \text{se } k \in M \\ 0 & \text{se } k \notin M. \end{cases} \]Mostrare che \[ \overline{\text{Span} \{ \chi_M \, : \, M \in \mathcal{P}(\mathbb{N}) \} } = \ell^\infty (\mathbb{N}). \]
Propongo questo esercizio che ho trovato veramente difficile e di cui non possiedo una soluzione completa, almeno per il secondo punto:
Sia \( f: (0, + \infty) \to \mathbb{R} \) continua e tale che per ogni $x \in (0, +\infty)$ si ha
\[ \lim_{n \to \infty , n \in \mathbb{N}} f(nx) = 0 \]
Dimostrare che
(a) \( \lim_{x \to \infty} f(x)=0 \)
(b) Se si assume solo che per ogni $x \in (0, +\infty)$ si ha
\[ \lim_{n \to \infty , n \in \mathbb{N}} f(2^n x) = 0 \]
allora la conclusione (a) è falsa.
Buonasera a tutti,
Vi pongo un quesito a cui non so dare risposta.
Io ho una equazione differenziale che mi descrive un gioco:
$\dot{y_1}=y_1(1-y_1)(y_2(\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_2)$.
Trovo gli stati stazionari che sono $y_1=0$, $y_1=1$ e $y_2=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$.
Come faccio adesso a studiare la dinamica di questa equazione? Cosa devo fare? Grazie a chi mi aiuterà.
Anche questi due esercizi sono presi dall'ammissione al dottorato in Sissa. Il primo l'ho risolto e trovato carino e volevo proporlo ai (pochi) frequentatori della sezione. Del secondo invece non riesco a venire a capo del punto 2.
Esercizio 1
Sia \( \{T_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di operatori non nulli, auto aggiunti, ovunque definiti su uno spazio di Hilbert \( H \) tali per cui per ogni \( n \in \mathbb{N} \):
\[ T^2_n = \biggl ( 1+\frac{1}{n} \biggr ) T_n \quad \quad \quad ...
Esercizio. sia \( f \in C^2 ( D) \) ove \( D \subseteq \mathbb{R}^2\) è il disco unitario chiuso centrato nell'origine; se \( f(0,0)=A\) e \( \int_{\partial D } f =B\), calcolare \[ \int_D \Delta f(x,y) \cdot \log(x^2 + y^2) \, dx \, dy. \]
Hint.
Può essere (estremamente) utile ricordare la seconda identità di Green, nonché osservare che il titolo contiene un altro hint.
Problema:
Provare che la disuguaglianza:
\[
\| f^\prime \|_2 \geq \sqrt{b - a}
\]
vale per ogni $f:[a,b] -> RR$ di classe $C^1$ con $f(a)=a$ ed $f(b)=b$ e caratterizzare il caso d’uguaglianza.
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