Congruenza inedita o banale conseguenza di risultati noti?
Ecco la generalizzazione di un mio risultato particolare che non so se possa discendere immediatamente da qualche teorema noto... nel caso fosse inedito e di qualche interesse, sono curioso di vedere chi riuscirà a dimostrarlo nella maniera più semplice e/o stringata.
Proposizione. Siano $c$, $d$ e $t$ tre interi positivi tali che $10^{d-1} \leq c < 10^d$ e $t \geq d+1$. Allora, si avrà che \[ (10^t+1)^c \equiv c \cdot 10^t+1 \pmod {10^{t+d}} \] vale per ogni data terna $(c,d,t)$.
Per fare esempio, se $t=23$ e $c=135$, allora avremo che \[ (10^{23}+1)^{135} \equiv 135 \cdot 10^{23}+1 \pmod{10^{26}}. \]
Buon divertimento!
Proposizione. Siano $c$, $d$ e $t$ tre interi positivi tali che $10^{d-1} \leq c < 10^d$ e $t \geq d+1$. Allora, si avrà che \[ (10^t+1)^c \equiv c \cdot 10^t+1 \pmod {10^{t+d}} \] vale per ogni data terna $(c,d,t)$.
Per fare esempio, se $t=23$ e $c=135$, allora avremo che \[ (10^{23}+1)^{135} \equiv 135 \cdot 10^{23}+1 \pmod{10^{26}}. \]
Buon divertimento!
Risposte
Da notare che $d$ indica semplicemente il numero di cifre di $c$, per cui $d:=d(c)$ (cosicché, fissato $c$, $d$ risulterà univocamente determinato).
"Inedito"... Mi sembra un'ovvietà, conseguenza dell'espansione \((10^t + 1)^c = \sum_{k=0}^c \binom{c}{k} (10^t)^k \): tale somma inizia come \(1+c\cdot 10^t + R\), ed è facile vedere che \(R\equiv 0 \pmod{10^{t+d}}\), perché \(kt\ge 2t > t+d\) per i bound che hai posto.
...
...
..."decadici"?
E tutto questo discorso è fatto di tantissime parole... per dire che cosa? Che hai una dimostrazione complicata di un fatto pressoché ovvio? Anche io ne ho tantissime, purtroppo! Il tuo problema ("forse inedito"...) è qualcosa che un bravo liceale che partecipa a delle olimpiadi sa risolvere ad occhio.
Alcuni utenti ti prendono, ogni tanto, per il culo più o meno bonariamente; io vorrei provare a capire la meccanica con cui studi, dato che sebbene comprenda che prendere una laurea in matematica sia proibitivo dopo una certa età, c'è una cosa che non capisco e non capirò mai dei matematici amatoriali: i concetti stanno nei libri, sono facilissimi da reperire... perché tutti quelli che vogliono darsi alla matematica per hobby non studiano, semplicemente, su questi testi? Li aprite a pagina 1, quando trovate qualcosa che non capite chiedete. Nella pratica matematica non c'è alcun mistero, si fanno esercizi, si capiscono le cose, si va avanti a farne di più difficili, finché morte non sopraggiunge.
Reperire un testo classico (e ce ne sono di decenti online, completamente gratuiti https://kashanu.ac.ir/Files/Content/ANT.pdf ) non sarebbe enormemente più facile di questo brancolare nel buio faticando il quadruplo perché si continua a scoprire e riscoprire e riscoprire l'acqua calda? Su quel libretto ho studiato io, e mi ricordo che era quasi offensivamente facile capirlo, da quanto elementare è lo stile di scrittura.
Senza contare che tu in particolare hai / dici di avere un QI altissimo (cosa che non è propriamente vera per tutti gli amatori), e questo è chiaramente un vantaggio nell'apprendimento; allora, se ti piace questa teoria dei numeri a metà tra la cabala e i problemi delle olimat, sei fortunatissimo perché hai decine di tonnellate di materiale su cui imparare: un testo di algebra commutativa o teoria dei numeri, "Corps Locaux" di Serre o il testo omonimo -inglese- di Markus (noto per essere un testo molto fetente) dovrebbero essere quasi letture da comodino... "Enumerative Combinatorics" di Stanley, che è una preziosissima gemma editoriale, "Concrete Mathematics", di Graham Knuth e Patashnik... dovrebbe essere un manuale di stile per la matematica che ti interessa, lo dovresti saper recitare a memoria, leggerlo e rileggerlo per trovare spunti e problemi. E' così? Conosci questi testi? Ci hai fatto a botte? Se no, perché? Sono letteralmente a distanza di una googlata...
Ti offro un parere spassionato sperando che tu non ti offenda. Mi sembri alla stregua di uno che vuole imparare a dipingere, ma insiste a non impugnare il pennello normalmente, ma usando solo pollice e mignolo. Si capisce, più o meno, quello che disegna (dopo dieci anni di esercizio/tortura costante, vorrei vedere!) ma non si capisce perché si intestardisca tanto a voler fare le cose nel modo più faticoso, dispersivo, logorante possibile.
Tanto per farti degli esempi: sai come funzionano i quozienti di un anello commutativo per un ideale? Conosci le definizioni di PID, UFD, dominio euclideo? \(\mathbb Q(\sqrt[3]{10})\) è una estensione di Galois, vero o falso?
Questo genere di cose sono i problemini con cui i ragazzini che studiano matematica si confrontano quando iniziano... E si imparano queste e tante altre idee proprio perché la matematica è una disciplina molto vasta, è inevitabile dover sapere molte più cose anche di quelle che sospetti esistano. E le buone idee per fare matematica vengono proprio (per la maggior parte, direi) dalla pratica santissima di mettersi a studiare qualcosa che prima non si sospettava nemmeno esistesse.
E tutto questo discorso è fatto di tantissime parole... per dire che cosa? Che hai una dimostrazione complicata di un fatto pressoché ovvio? Anche io ne ho tantissime, purtroppo! Il tuo problema ("forse inedito"...) è qualcosa che un bravo liceale che partecipa a delle olimpiadi sa risolvere ad occhio.
Alcuni utenti ti prendono, ogni tanto, per il culo più o meno bonariamente; io vorrei provare a capire la meccanica con cui studi, dato che sebbene comprenda che prendere una laurea in matematica sia proibitivo dopo una certa età, c'è una cosa che non capisco e non capirò mai dei matematici amatoriali: i concetti stanno nei libri, sono facilissimi da reperire... perché tutti quelli che vogliono darsi alla matematica per hobby non studiano, semplicemente, su questi testi? Li aprite a pagina 1, quando trovate qualcosa che non capite chiedete. Nella pratica matematica non c'è alcun mistero, si fanno esercizi, si capiscono le cose, si va avanti a farne di più difficili, finché morte non sopraggiunge.
Reperire un testo classico (e ce ne sono di decenti online, completamente gratuiti https://kashanu.ac.ir/Files/Content/ANT.pdf ) non sarebbe enormemente più facile di questo brancolare nel buio faticando il quadruplo perché si continua a scoprire e riscoprire e riscoprire l'acqua calda? Su quel libretto ho studiato io, e mi ricordo che era quasi offensivamente facile capirlo, da quanto elementare è lo stile di scrittura.
Senza contare che tu in particolare hai / dici di avere un QI altissimo (cosa che non è propriamente vera per tutti gli amatori), e questo è chiaramente un vantaggio nell'apprendimento; allora, se ti piace questa teoria dei numeri a metà tra la cabala e i problemi delle olimat, sei fortunatissimo perché hai decine di tonnellate di materiale su cui imparare: un testo di algebra commutativa o teoria dei numeri, "Corps Locaux" di Serre o il testo omonimo -inglese- di Markus (noto per essere un testo molto fetente) dovrebbero essere quasi letture da comodino... "Enumerative Combinatorics" di Stanley, che è una preziosissima gemma editoriale, "Concrete Mathematics", di Graham Knuth e Patashnik... dovrebbe essere un manuale di stile per la matematica che ti interessa, lo dovresti saper recitare a memoria, leggerlo e rileggerlo per trovare spunti e problemi. E' così? Conosci questi testi? Ci hai fatto a botte? Se no, perché? Sono letteralmente a distanza di una googlata...
Ti offro un parere spassionato sperando che tu non ti offenda. Mi sembri alla stregua di uno che vuole imparare a dipingere, ma insiste a non impugnare il pennello normalmente, ma usando solo pollice e mignolo. Si capisce, più o meno, quello che disegna (dopo dieci anni di esercizio/tortura costante, vorrei vedere!) ma non si capisce perché si intestardisca tanto a voler fare le cose nel modo più faticoso, dispersivo, logorante possibile.
Tanto per farti degli esempi: sai come funzionano i quozienti di un anello commutativo per un ideale? Conosci le definizioni di PID, UFD, dominio euclideo? \(\mathbb Q(\sqrt[3]{10})\) è una estensione di Galois, vero o falso?
Questo genere di cose sono i problemini con cui i ragazzini che studiano matematica si confrontano quando iniziano... E si imparano queste e tante altre idee proprio perché la matematica è una disciplina molto vasta, è inevitabile dover sapere molte più cose anche di quelle che sospetti esistano. E le buone idee per fare matematica vengono proprio (per la maggior parte, direi) dalla pratica santissima di mettersi a studiare qualcosa che prima non si sospettava nemmeno esistesse.
Questo per dire: c'è sicuramente tanta matematica di base che non sai, lo dimostri quotidianamente. Non c'è niente di male in questo: anche io ho delle lacune molto ampie, persino in quello che faccio tutti i giorni; vorrei avere molto più tempo, e bisogno di meno ore di sonno, per poterle colmare; faccio quel che posso. Perché non parti da quella e man mano ti ricongiungi a questi problemi, nel frattempo trovando [sicuramente, ora che hai chiaro lo stato dell'arte] anche della ricerca non banale da fare? Di piccoli problemi di teoria dei numeri c'è una riserva pressoché inesauribile. E con la maturità, la visione d'insieme cresce.
Probabilmente eviteresti tutti gli sguardi di sbiego che ti danno tanti se chiedessi, qui, "ragazzi sto provando a dimostrare che \(\mathbb Q(\sqrt[3]{10})\) non è una estensione di Galois, aiuto?"
Scherzi, così avresti l'attenzione di un sacco di persone che sono felici di aiutarti, e anche il loro rispetto (che mi sembra un tuo trigger molto evidente: non appena qualcuno mette lontanamente in discussione, apriti cielo): aver riempito tutti gli "esercizi al lettore" del Markus è una cosa di cui andare orgogliosi molto più dell'essere "endorser su arXiv" (che non ho ancora capito perché sarebbe un traguardo) o avere "18342 punti su researchgate", che è tipo.. il linkedin degli accademici?
Sono certo concorderai con me e tutti gli altri che la matematica è una disciplina molto bella: ecco, proprio per questo, studiala come si deve!
Buona notte!
Probabilmente eviteresti tutti gli sguardi di sbiego che ti danno tanti se chiedessi, qui, "ragazzi sto provando a dimostrare che \(\mathbb Q(\sqrt[3]{10})\) non è una estensione di Galois, aiuto?"
Scherzi, così avresti l'attenzione di un sacco di persone che sono felici di aiutarti, e anche il loro rispetto (che mi sembra un tuo trigger molto evidente: non appena qualcuno mette lontanamente in discussione, apriti cielo): aver riempito tutti gli "esercizi al lettore" del Markus è una cosa di cui andare orgogliosi molto più dell'essere "endorser su arXiv" (che non ho ancora capito perché sarebbe un traguardo) o avere "18342 punti su researchgate", che è tipo.. il linkedin degli accademici?
Sono certo concorderai con me e tutti gli altri che la matematica è una disciplina molto bella: ecco, proprio per questo, studiala come si deve!
Buona notte!
"megas_archon":
c'è una cosa che non capisco e non capirò mai dei matematici amatoriali: i concetti stanno nei libri, sono facilissimi da reperire... perché tutti quelli che vogliono darsi alla matematica per hobby non studiano, semplicemente, su questi testi?
E’ una domanda che mi sono fatto spesso anch’io. La risposta che mi sono dato, e sono curioso di sapere se la ritieni plausibile, e’ che non gli interessa veramente la matematica. Gli appassionati di aerei o di macchine che non sono piloti conoscono bene i dettagli tecnici, nei limiti delle loro possibilità. Non pensano di poter costruire una Porsche nel giardino di casa con le loro mani e non pensano di saper pilotare un F35 a Mach 2. Gli appassionati di vino che non sono enologi non fermentano l’uva in casa, ma conoscono a menadito l’esposizione delle vigne, gli uvaggi, l’andamento delle annate eccetra. Invece i sedicenti matematici amatoriali (NON mi sto riferendo all’utente di sopra, per evirare discussioni) non sono appassionati di matematica, sono appassionati del miraggio della fama matematica. La cosa che davvero gli preme è il veder riconosciuta la paternità di un cosiddetto risultato originale, non la qualità del risultato stesso. L’ingranaggio che li muove è la sete di gloria, non la sete di conoscenza. E il cherry picking dei matematici famosi alla Ramanujan li spinge a credere che la gloria sia raggiungibile senza lo studio.
Sì, per me c'è una componente di: "si accorgeranno finalmente di quanto sono bravo con la chitarra, io che la impugno a rovescio e suono con la lingua, hehehe... qualcosa che i musicisti professionisti non sanno fare!", ma mi dò una risposta simile.
...
...
...
...
Guarda Marco abbiamo capito che scrivi tanti articoli, e quindi? Ci vedi forse pubblicizzare i nostri articoli sul forum? Non capisco perché continui a farti pubblicità in questo modo, in ogni tuo messaggio ormai c'è un riferimento a qualche tuo articolo. Ormai posso dire che usi il forum a scopo pubblicitario, e la cosa non è che sia molto simpatica.
Chiedo venia per il disturbo, ma entrando nel mio Pannello di Controllo Utente non riesco proprio a trovare l'opzione per eliminare totalmente il mio account dal forum e richiedere la contestuale cancellazione di tutti i miei dati personali presenti nel database (così da evitare anche il rischio che in futuro possa cambiare idea e tornare a scrivere qui o che l'account possa in futuro essere compromesso da terzi).
"marcokrt":
Chiedo venia per il disturbo, ma entrando nel mio Pannello di Controllo Utente non riesco proprio a trovare l'opzione per eliminare totalmente il mio account dal forum e richiedere la contestuale cancellazione di tutti i miei dati personali presenti nel database (così da evitare anche il rischio che in futuro possa cambiare idea e tornare a scrivere qui o che l'account possa in futuro essere compromesso da terzi).
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8&t=210239
"megas_archon":
sperando che tu non ti offenda.
didn't age well
"marcokrt":
Chiedo venia per il disturbo, ma entrando nel mio Pannello di Controllo Utente non riesco proprio a trovare l'opzione per eliminare totalmente il mio account dal forum e richiedere la contestuale cancellazione di tutti i miei dati personali presenti nel database (così da evitare anche il rischio che in futuro possa cambiare idea e tornare a scrivere qui o che l'account possa in futuro essere compromesso da terzi).
Siccome io ho fatto post ironici verso di te Marco da quando alcuni miei studenti di scuola mi hanno segnalato il tuo account quest'estate (ne ho creato uno anch'io per rispondere), voglio precisare che in nessun modo ti devi sentire non benvenuto nell'ambiente matematico, tantomeno da me che ne sono ai margini, anzi il tuo interesse per la disciplina è una dote da coltivare.
Ascolta i preziosi consigli che ti sono stati dati sopra da matematici professionisti molto generosi.
Alla fine tranne me qui ti hanno tutti trattato con il massimo rispetto, entrando spesso nel merito delle tue domande, il che non è scontato nel mondo di oggi in cui si fa tutto a tornaconto. E ciò gratuitamente (come il superbonus).
Anche la domanda che hai posto in questo thread, grazie all'inquadramento della risposta di un matematico esperto, ha generato ottimo materiale pedagogico per esempio per un liceale del biennio per (ri)scoprire il binomio di Newton.
Transeat la storia dell'alto QI/asperger che è un concetto scivoloso, che fa più danno che altro. E io lo tocco con mano in classe, dove constato il problema della normalizzazione (a volte celebrazione, auto-celebrazione) di disturbi dell'apprendimento, che fa grossi danni ad alcuni ragazzi che invece di affrontare le proprie carenze, si ammantano di "diagnosi" auto-assolutorie: asperger, discalculia, gifted, alto potenziale QI... le ho sentite tutte. Se poi i genitori ci credono pure loro a queste diagnosi auto-assolutorie, invece di reagire e affrontare le lacune, per il ragazzo è la fine. Alle udienze ne ho sentite d'ogni. Gente che brama avere il prorio figlio diagnosticato discalculico o "plusdotato"
pur di non dover ammettere che ha qualche difficoltà nella materia. Tra l'altro, processo già in atto al mio tempo, l'ammissione al dottorato ha preso una piega bizzarra, su dossier e non più su prova scritta e orale. Quindi se vorrai farlo a suo tempo, non è detto che quei tuoi "paper" su cui ironizzavo non ti rendano persino servizio in un tale contesto, facendo "volume". Visto che non è che le commissioni in uni meno blasonate si leggono tutto o sono iperselettive. Rimanendo ottime uni con ottimi prof che magari ti seguono di più che in posti di grido.
Quanti anni hai, 23-25 anni? Quindi hai ancora tutto il tempo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo