Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Tutte\*\i sappiamo che la radice (aritmetica) \(\displaystyle n\)-sima di un numero intero (positivo od anche negativo se \(\displaystyle n\) è dispari) è un numero intero od un numero irrazionale.
[size=150]Sfida:[/size] come dimostrereste il precedente teorema utilizzando [size=150]la sola aritmetica[/size]?
Buon divertimento.
Siano $(x_0,y_0)\inRR^2$, $a,b\inRR^+$, $I_a=[x_0-a,x_0+a], I_b=[y_0-b,y_0+b]$ e $F:I_a\times I_b\to RR$ una funzione continua. Supponiamo $F(x_0,y_0)=0$ e che $EEk<1:|F(x,y_1)-F(x,y_2)|<=k|y_1-y_2|AAx\inI_a,y_1,y_2\inI_b$. Allora esiste $s<=a$ e un'unica funzione continua $f:[x_0-s,x_0+s]\to I_b$ tale che $f(x_0)=y_0$ e $f(x)=y_0+F(x,f(x))AAx\in[x_0-s,x_0+s]$.
Se poi riuscite a darne un'interpretazione di qualche tipo (ad esempio geometrica) tanto meglio, che io per quanto ci abbia pensato non mi è venuto in mente niente
Suggerimento:usare il teorema delle contrazioni di Banach
Problema. Sia \( u : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) continua e limitata (possibilmente non costante) e si consideri \( M_u : L^2 (\mathbb{R}) \to L^2 (\mathbb{R}) \) definito da \[ f \mapsto u f \] (operatore di moltiplicazione). \( M_u \) è lineare e continuo. Mostrare che:
[list=1]1. \( \sigma(M_u) = \overline{u(\mathbb{R})} \);
2. \(M_u\) non è compatto.[/list:o:19m95vx8]
Quanto sopra continua a valere anche se \( u \in L^\infty \)?
Probabilmente è un classicone, ma
Dimostrare o confutare la seguente affermazione:
Sia $X$ uno spazio lineare e siano \( \| \cdot \|_1 \) e \( \| \cdot \|_2 \) due norme su $X$ che lo rendono entrambe uno spazio di Banach. Allora \( (X , \| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2 ) \) è uno spazio di Banach.
Si consideri una successione (bilatera) ${a_n}_{n \in \mathbb{Z}} \sub CC$ tale che
$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_n|^2 = 1$
$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |n||a_n|^2 < +\infty$
E inoltre
$\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n\bar{a}_{n+m} = 0$ per ogni $m \in ZZ^{\ast}$
Dimostrare che il numero reale $ν := \sum_{n \in ZZ} n|a_n|^2$ (la serie converge in virtù delle
ipotesi precedenti) è intero, ossia $ν \in \mathbb{Z}$.
Se vi dicessi che esiste almeno un punto sulla terra in cui il vento soffia perpendicolarmente alla superficie terrestre, mi credereste?
Esercizio. Sia \( \{f_n \}_{n \ge 1} \subseteq L^2 ([0,1]) \) una famiglia ortonormale di funzioni a valori reali. Supponiamo che \[ \sum_{ n \ge 1} \left( \int_0^x f_n (t) \, dt \right)^2 = x \quad \forall \, x \in [0,1]. \]Mostrare che \( \overline{\text{span } \{ f_n \}}= L^2 ([0,1]) \).
Al primo corso di Analisi, si studiava il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa, che poteva iniziare col dire così: se $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ è biunivoca e derivabile in $x_0 \in \mathbb R$ con $f'(x_0)\ne 0$ allora anche l'inversa è derivabile nel punto $y_0 =f(x_0)$, e si dava la nota formula che è superfluo riportare qua. Ma poi mi imbatto in questo http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... v-disc.pdf , esiste cioè una funzione biunivoca e derivabile in un punto con derivata diversa da zero la cui inversa è ...
––> dasns95; "Eh già "
Premessa:
Siano p e q natiurali , sia p ≥ q e si indichi icon $C(p, q)$ il numero di combinazioni di q elementi scelti da un insieme di p elementi [distinti], cioè:
$C(n. q) = (p!)/(q!(p-q)!)$.
Il quiz
Siano n e k naturali e sia n ≥ k.
Dimostraee che
$sum_{n=k}^(+∞}(C(2n+1, n-k))/(4^n·(2n+1)) = 2/(2k+1)$.
_________
Per esempio (tanto per iniziare ), per k = 0 si ha:
$sum_{n=0}^(+∞}(C(2n+1, n))/(4^k·(2n+1)) = sum_{n=0}^(+∞}1/(n+1)((2n)!)/(4^n(n!)^2)$
E bisognerebbe provare che questa serie tende a 2
________
P,S (Ora, gio 27.09.2018 h 19:42)
Ho corretto da k a n dove, ...
Inizio con lo spiegare il titolo!
Definizione. Uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) si definisce TULSC se vale il Teorema di Unicità del Limite di Successioni Convergenti; ovvero, sia \(\displaystyle\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}}\) una successione convergente, allora ogni sua sottosuccessione converge allo stesso unico punto \(\displaystyle\overline{x}\in X\).
Esempi di spazi non TULSC.
[list=a][*:1faznq39]Un qualsiasi spazio topologico con almeno due punti distinti e con la ...
salve a tutti,
non so se sia la sezione adatta, ma mi piacerebbe sapere se esiste una soluzione matematica ai paradossi di zenone.
una soluzione che non coinvolga il calcolo infinitesimale, il concetto di limite, e ogni altra formulazione ""approssimativa"".
grazie!
ah, ho già guardato gli altri thread. tutte le dimostrazioni usano il calcolo infinitesimale. tranne una nell'ultimo post di questo topic , che però abbastanza evidentemene non risolve il paradosso.
zenone-t54115.html
Data $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funzione continua, se per ogni reale positivo $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$, è vero che $f(x)$ è una funzione dispari?
a. Possiamo sostituire la condizione "per ogni reale positivo $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$" con "per ogni naturale $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$"? Giustificare la risposta.
b. Possiamo fare a meno della continuità? In caso positivo, riformulare l'enunciato e fornire una dimostrazione.
La prima domanda mi è balenata in ...
Ciao, vi propongo questo interessante integrale da risolvere.
$int(arctan(sinhx)) / (arcsin(tanhx))dx$
Vorrei sfidarvi a trovare la dimostrazione più ignorante che riuscite a trovare del seguente (semplice) fatto: sia $f:RR->RR$ derivabile e tale che $EE\lim_{x->+\infty} f(x)$ e $EE\lim_{x->+\infty} xf'(x)$ (entrambi finiti); dimostrare che $\lim_{x->+\infty} xf'(x)=0$.
Ora dovrei spiegarvi cosa intendo cosa intendo con l'aggettivo ignorante, ma non sono sicuro di riuscirci per bene, mi scuso in anticipo se non risulterà chiaro.
Con ignorante intendo una dimostrazione inaspettata, strana, che dovrebbe suscitare una ...
Trovare due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ periodiche tali che $f(x)+g(x)=x$.
Vorrei proporre il seguente esercizio di Teoria della Misura, l'ho trovato interessante e non immediato.
Non sapevo se postare qua o in Analisi Superiore: l'argomento del post si colloca probabilmente in tale ambito ma la frequentazione di questa sezione mi sembrava più adatta.
Esercizio:
Sia $m$ una misura boreliana di probabilità su $[0,1]$ e sia $m\otimes m$ la misura prodotto su $[0,1]^2$.
Dimostrare che:
1. Esiste una successione di punti ...
Ricordo che si definisce:
\[
|\cdot|:x\in\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ni\begin{cases}
x\iff x>0\\
0\iff x=0\\
-x\iff x
''Ogni varietà topologica di dimensione
Calcolare la serie
$sum_{k=0}^∞(-1)^k/(2k+1)^3$ $= 1 - 1/3^3 + 1/5^3 -1/7^3 + 1/9^3 - 1/11^3+ 1/13^3-1/15^3+1/17^3-1/19^3+...$ (ecc., ecc.)
_________
P.S. (Editando h 12:34 di mercoledì 5 settembre 2018).
Chiedo sc usa.
Ho corretto l'estremo inferiore della sommatoria (che parte da k=0 e non da k=2 come stava scritto prima della correzione).
Ciao specialòmente a Rigel
Trovare una funzione $f: I \mapsto I$ continua non decrescente su $I=[0,1]$ tale che la lunghezza del suo grafico sia $L=|{(x,f(x)) | x \in I}| \geq 2$
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