Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia \(\{G_n\mid n\in\mathbb N_{\ge 1}\}\) un insieme di gruppi abeliani indicizzato dai numeri interi positivi.
Esiste una successione di spazi topologici \(\mathcal X = \{X_n\mid n \in\mathbb N_{\ge 1}\}\) tale che siano soddisfatte contemporaneamente queste due proprietà?
1. \(X_n \not\simeq X_m\) se $n\ne m$;
2. $pi_k(X_n) = G_k$ per ogni \(X_n\in \mathcal X\).
Se \(\vartheta\) è un qualsiasi numero reale, denotiamo con \(C_\vartheta\) il segmento che unisce l'origine del piano \(\mathbb R^2\) al punto di coordinate \(\text{cis }\vartheta = (\cos 2\pi \vartheta, \sin 2\pi\vartheta)\), e poniamo
\[
C = \bigcup_{\vartheta \in [1/6, 1/4]\cap \mathbb Q} C_\vartheta.
\] 1. Dimostrare che lo spazio \(C\) è contraibile, quando viene puntato in \((0,0)\), ma che non è contraibile quando viene puntato altrove.
2. Denotiamo con \(D = \bigcup_{n\in\mathbb Z} ...
Salve a tutti, sto preparando l'esame di geometria avanzata e mi sono imbattuta in questo esercizio che non riesco a risolvere. Devo trovare due spazi topologici $Y_1$ e $Y_2$ contenuti in $X$ tali che $\pi (Y_1)= \pi (Y_2)= (0) $ ma $\pi (Y_1 \cup Y_2) \ne (0)$. La mia idea è di prendere uno spazio topologico che abbia gruppo fondamentale... Qualcuno può aiutami? Grazie mille
Sia R3[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 3, aventi coefficienti reali.
Muniamo R3[x] del prodotto scalare:
$ P\cdotQ=\int_{-1}^{1} P(x)Q(x)\, dx $
vorrei capire qual è la dimensione del sottospazio $ {P ∈ R3[x] : P · x = 0} $ e qual è la matrice che rappresenta tale prodotto scalare rispetto alla base canonica di R3[x]
non ho proprio idea da dove cominciare
salve a tutti, ho un problema nel trasformare le rette da cartesiane a parametriche quando vi è il parametro ho tale equazione T: $ { ( X-Y+Z=1 ),( KX-KW=2K ),( (K-1)X+Y-Z):} $ ( di tale retta devo trovare un sottospazio)
il mio professore ha così ragionato: ha scritto la matrice "normale " e la matrice "orlata" ne ha calcolato il rango e ha detto per quale k è sottospazio.
io volevo lavorare con le parametriche , sono in $R^4$ quindi una colta trovata la parametrica mi ricavo la giacitura e dice dimT= ...
Buongiorno. Volevo a chiedere agli utenti come funziona il calcolo del rango di una matrice col criterio dei minori. In breve, ho capito cos'è un minore di una matrice, ma riesco a capire bene come funziona questo metodo.
Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto per queste tipologie di esercizi, ho esame lunedì mattina e non mi entra in testa come farle, vi faccio un esempio:
Dal punto a) dell'esercizio ottengo che le matrici associate a $\psi : U \to V$ e $\phi : V \to W$ sono:
$A = \alpha_(V,W)(\phi) = ((1,0,-2,1,0),(0,2,-4,0,6),(2,-1,-2,2,-3))$ e $B = \alpha_(U,V)(\psi) = ((2,1,2,0),(3,0,3,-6),(0,-1,-2,0),(-2,0,1,-2),(-1,1,2,0))$
con $ker \phi = <v_1 - v_4, 3v_2 - v_5, 2v_1 + 2v_2 + v_3>$ , $im \phi = <w_1 + 2w_3, 2w_2 + w_3>$
e $ker \psi = <4u_2 - 2u_3 - u_4>$ , $im \psi = <v_1 - v_3 + v_5, 3v_2 + v_4, 2v_1 + 3v_2 - 2v_4 - v_5> $
Ora arriviamo al punto dolente,
b) Determinare l'insieme $\Theta = { X in M_5(QQ) | AXB = AB}$ , dire se si tratta di un ...
Il testo dell'esercizio è: 'trovare due sottospazi U e W di $R^4$ tali che dim(U$nn$ W)=1 e $R^4$=U+W.
Ho pensato che per la relazione di Grassman dim(U+W)=dimU+dimV-dim(U$nn$W)
allora dim(U+W)=dimU+dimW-1
Quello che non capisco è se per $R^4$=U+W si intende la somma delle dimensioni o solamente il fatto che vanno a formare $R^4$ ?
Ciao a tutti,
sono alle prime armi con gli esercizi sulle applicazioni lineari e in un esercizio mi sono bloccato perché non ne riesco a capire il significato, per questo vi volevo chiedere un aiuto
L'esercizio è il seguente:
Siano \( B=(1,x,x^2) \) e \( B'=(1,x) \) basi ordinate rispettivamente di \( \Re ^2[x] \) e \( \Re ^1[x] \) con \( \Re ^n[x] \) spazio vettoriale dei polinomi.
Si scriva rispetto a \( B \) e \( B' \) la matrice \( A \) che rappresenta la trasformazione ...
Salve, la mia domanda è la seguente:
Se ho la trasformazione lineare: $ alpha = $ $ ( ( 1 , 1, 2),( 1, -1, 0),( 0, 1, 1),( 1, 0, 1) ) $
Ed in V3(R), sia $ beta $ la proiezione ortogonale sul piano di equazione x1 - x2 = 0
Come si calcola rank( $ beta $ ) e null( $ beta $ )
Grazie.
ho il seguente sottoinsieme $ {1;x+2;x^2+x;1+x+x^2} $ dei polinomi in x di grado minore o uguale a due, aventi coefficienti reali. Devo determinare se il sottoinsieme in questione è una base, se non lo è determinare la base e stabilire se questo insieme genera lo spazio vettoriale dei polinomi in x di grado minore o uguale a due.
io ho pensato di scrivere la matrice 4x3 corrispondente con i vettori $ v1=(0,0,1) v2=(0,1,2) v3=(1,1,0) v4=(1,1,1) $
ossia $ A= $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ ...
Ciao a tutti,
sto cercando di aiutare mio figlio a risolvere alcuni esercizi, rinfrescando i mie ricordi universitari di ingegneria (ho 59 anni ). mi sono però impantanato su questo:
Nell'insieme Z×Z, considera la relazione così definita: (x1;y1)R(x2;y2) ⇔ 2(x1 −x2) = 3(y1 −y2)
Descrivi le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Ciao a tutti, volevo chiedervi se potreste darmi una mano con questo esercizio. A breve ho l'esame di geometria e algebra lineare e ci sono alcune cose che non ho capito.
Si consideri lo spazio vettoriale $ R[x] $ dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti reali con le operazioni di somma tra polinomi e di moltiplicazione per uno scalare reale. Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di $ R[x] $ motivando la risposta:
a. il sottoinsieme dei ...
Ciao a tutti,
per un esame di meccanica quantistica sto svolgendo un approfondimento sulla meccanica quantistica relativistica, con un testo consigliato dal professore. Sto incontrando un po' di difficoltà nella comprensione della posizione degli indici.
Facendo qualche ricerca ho capito che il problema risiede nella mia non conoscenza di tensori, e dei concetti di covarianza e controvarianza.
Ho fatto qualche ricerca su wikipedia, ma lasciamo stare...
Volevo chiedervi se conoscete qualche ...
Sia \(B\) la compattificazione di Alexandrov dell'insieme \(\mathbb N \times ]0,1[\), e denotiamo con \(o\) il suo punto all'infinito.
1. Dimostrare che \(B\) è connesso, localmente connesso, e localmente connesso per archi.
2. Sia \((r_n)\) una successione monotona strettamente decrescente di numeri reali che tende a zero; denotiamo \(C_n\subset \mathbb R^2\) la circonferenza di centro \((r_n,0)\) e raggio \(r_n\); dimostrare che \(B\) è omeomorfo a \(P=\bigcup_n C_n\) con la topologia di ...
Buona sera a tutti,
sono un nuovo iscritto a questo forum e spero mi possiate dare una mano ad un piccolo problema di Geometria e Algebra Lineare.
Vi chiedo cortesemente di rispondermi quanto prima possibile in quanto, tra 2 giorni, devo sostenerne l'esame. Il problema è questo:
Si consideri la funzione $f : RR_2[x] -> RR_2[x]$, definita in questo modo $p(x) -> p'(x) + p(x)$.
1) Stabilire se $f$ è un isomorfismo
2) Stabilire se $f$ è semplice
Vi scongiuro aiutatemi che sto ...
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