Intersezione tra due Sfere
Buonasera,
è un po' che sto provando a risolvere questo problema e mi interesserebbe il consiglio di qualcuno di più esperto.
In $NN^3$, dati 2 punti $C_1(x_1,y_1,z_1)$ e $C_2(x_2,y_2,z_2)$, centri di due sfere di raggio 16 trovare tutte le possibili coordinate interne all'intersezione.
Il metodo che sto usando ora è creare un parallelepipedo intorno all'intersezione, elencare tutti i possibili punti
e poi calcolo se la distanza di ognuno è $<=16$ da $C_1$ e da $C_2$ trovando così tutti i risultati validi.
Immagino ci sia un metodo più funzionale (e magari anche più elegante
)
Grazie e ciao
è un po' che sto provando a risolvere questo problema e mi interesserebbe il consiglio di qualcuno di più esperto.
In $NN^3$, dati 2 punti $C_1(x_1,y_1,z_1)$ e $C_2(x_2,y_2,z_2)$, centri di due sfere di raggio 16 trovare tutte le possibili coordinate interne all'intersezione.
Il metodo che sto usando ora è creare un parallelepipedo intorno all'intersezione, elencare tutti i possibili punti
e poi calcolo se la distanza di ognuno è $<=16$ da $C_1$ e da $C_2$ trovando così tutti i risultati validi.Immagino ci sia un metodo più funzionale (e magari anche più elegante
)Grazie e ciao
Risposte
Devi trovare le soluzioni intere di un sistema di due equazioni di grado 2; chiaramente, se i centri delle sfere sono troppo distanti, non ce ne saranno (perché le sfere non si intersecano); supponi quindi che la distanza tra i centri sia minore di $2R$ (la somma dei loro raggi).
A questa ipotesi, l'intersezione tra due sfere è una circonferenza (non è mai vuota, perché le sfere hanno lo stesso raggio), che giace nel piano ortogonale alla retta $s$ che congiunge i centri, intersecando $s$ in un punto interno al segmento che unisce i centri.
Ora, si tratta di cercare le soluzioni intere di un sistema, per fare la qual cosa non esiste un metodo davvero generale, usa la pazienza e un ragionamento ad hoc.
L'unico caso in cui questo non è vero è quando le sfere coincidono: in tal caso, l'intersezione è tutta la sfera, e si tratta di trovare i punti di coordinate intere dell'equazione $|P-C_1| = 16^2$ (nelle indeterminate $(X,Y,Z)$ che sono coordinate di $P\in \mathbb R^3$).
A questa ipotesi, l'intersezione tra due sfere è una circonferenza (non è mai vuota, perché le sfere hanno lo stesso raggio), che giace nel piano ortogonale alla retta $s$ che congiunge i centri, intersecando $s$ in un punto interno al segmento che unisce i centri.
Ora, si tratta di cercare le soluzioni intere di un sistema, per fare la qual cosa non esiste un metodo davvero generale, usa la pazienza e un ragionamento ad hoc.
L'unico caso in cui questo non è vero è quando le sfere coincidono: in tal caso, l'intersezione è tutta la sfera, e si tratta di trovare i punti di coordinate intere dell'equazione $|P-C_1| = 16^2$ (nelle indeterminate $(X,Y,Z)$ che sono coordinate di $P\in \mathbb R^3$).
Grazie per la risposta!
In pratica, se ho ben capito, non sto sprecando troppo tempo col mio metodo
L'altra mia idea prendendo spunto da quanto mi hai detto è creare un sistema di 2 disequazioni di secondo grado a 3 incognite (le due equazioni delle sfere minori o uguali a 0) ma dubito si possa risolvere..
In pratica, se ho ben capito, non sto sprecando troppo tempo col mio metodo
L'altra mia idea prendendo spunto da quanto mi hai detto è creare un sistema di 2 disequazioni di secondo grado a 3 incognite (le due equazioni delle sfere minori o uguali a 0) ma dubito si possa risolvere..
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