Relazioni di equivalenza
Ciao a tutti,
sto cercando di aiutare mio figlio a risolvere alcuni esercizi, rinfrescando i mie ricordi universitari di ingegneria (ho 59 anni
). mi sono però impantanato su questo:
Nell'insieme Z×Z, considera la relazione così definita: (x1;y1)R(x2;y2) ⇔ 2(x1 −x2) = 3(y1 −y2)
Descrivi le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
sto cercando di aiutare mio figlio a risolvere alcuni esercizi, rinfrescando i mie ricordi universitari di ingegneria (ho 59 anni
). mi sono però impantanato su questo:Nell'insieme Z×Z, considera la relazione così definita: (x1;y1)R(x2;y2) ⇔ 2(x1 −x2) = 3(y1 −y2)
Descrivi le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Risposte
Premetto di non aver mai visto esercizi di questo tipo in vita mia...ma per pura curiosità ho letto un paio di cose rapidamente.
Quindi prendi cum grano salis cosa scrivo.
Da quello che è scritto io vedo un insieme AxB composto da tutti i punti con componenti intere di un piano cartesiano (quindi A è l'insieme Z che definisce l'"asse x" e B l'"asse y").
La relazione binaria è quindi un sottoinsieme di AxB ed è definito in modo tale che valga quella relazione (una sorta di "retta puntuale" con pendenza 2/3). Quindi io "vedo" due classi di equivalenza per l'insieme AxB (che puoi anche considerarlo come AxA visto che sono identici)
Quindi prendi cum grano salis cosa scrivo.
Da quello che è scritto io vedo un insieme AxB composto da tutti i punti con componenti intere di un piano cartesiano (quindi A è l'insieme Z che definisce l'"asse x" e B l'"asse y").
La relazione binaria è quindi un sottoinsieme di AxB ed è definito in modo tale che valga quella relazione (una sorta di "retta puntuale" con pendenza 2/3). Quindi io "vedo" due classi di equivalenza per l'insieme AxB (che puoi anche considerarlo come AxA visto che sono identici)
grazie mille per le utili indicazioni; quindi una classe è l'insieme dei punti di x che verificano la relazione, mentre l'altra classe è l'insieme dei punti di y che verificano sempre la stessa relazione, corretto, o sto dicendo fesserie?
Mi ripeto, non conosco la materia, ho solo letto rapidamente le definizioni per pura curiosità.
C'è un insieme di elementi equivalenti, ovvero tutti numeri interi composto con se stesso, ovvero ZxZ che è l'insieme di tutte le coppie ordinati di numeri interi. Quindi li ho immaginati in uno spazio cartesiano, solo per visualizzare l'insieme e il sottoinsieme di ZxZ definito dalla relazione binaria. Quindi il quoziente sarà una cosa del tipo "le coppie che soddisfano la relazione + il "resto" (ma magari salta fuori che conviene creare più partizioni di ZxZ....non lo so!).
A questo punto immagino che si debba compattare in qualche modo la scrittura e dato che dalla relazione:
$(x_1-x_2)/(y_1-y_2)=3/2=(3n)/(2n)$
deve saltare fuori ancora una coppia di numeri interi, allora devono valere le relazioni:
$ { ( x_1-x_2=3n ),( y_1-y_2=2n ):} $ per ogni intero n
Magari, se possibile, uno usa l'aritemtica modulare per compattare la scrittura , visto che le congruenze sono equivalenze...e così via.
Insomma ho provato a dare spunti su cui lavorare!
C'è un insieme di elementi equivalenti, ovvero tutti numeri interi composto con se stesso, ovvero ZxZ che è l'insieme di tutte le coppie ordinati di numeri interi. Quindi li ho immaginati in uno spazio cartesiano, solo per visualizzare l'insieme e il sottoinsieme di ZxZ definito dalla relazione binaria. Quindi il quoziente sarà una cosa del tipo "le coppie che soddisfano la relazione + il "resto" (ma magari salta fuori che conviene creare più partizioni di ZxZ....non lo so!).
A questo punto immagino che si debba compattare in qualche modo la scrittura e dato che dalla relazione:
$(x_1-x_2)/(y_1-y_2)=3/2=(3n)/(2n)$
deve saltare fuori ancora una coppia di numeri interi, allora devono valere le relazioni:
$ { ( x_1-x_2=3n ),( y_1-y_2=2n ):} $ per ogni intero n
Magari, se possibile, uno usa l'aritemtica modulare per compattare la scrittura , visto che le congruenze sono equivalenze...e così via.
Insomma ho provato a dare spunti su cui lavorare!
Ok grazie tante, ora mi è abbastanza chiaro
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