Omomorfismi di spazi vettoriali

[anti-spells]

Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto per queste tipologie di esercizi, ho esame lunedì mattina e non mi entra in testa come farle, vi faccio un esempio:

Dal punto a) dell'esercizio ottengo che le matrici associate a $\psi : U \to V$ e $\phi : V \to W$ sono:

$A = \alpha_(V,W)(\phi) = ((1,0,-2,1,0),(0,2,-4,0,6),(2,-1,-2,2,-3))$ e $B = \alpha_(U,V)(\psi) = ((2,1,2,0),(3,0,3,-6),(0,-1,-2,0),(-2,0,1,-2),(-1,1,2,0))$

con $ker \phi = $ , $im \phi = $
e $ker \psi = <4u_2 - 2u_3 - u_4>$ , $im \psi = $

Ora arriviamo al punto dolente,

b) Determinare l'insieme $\Theta = { X in M_5(QQ) | AXB = AB}$ , dire se si tratta di un sottospazio vettoriale di $M_5(QQ)$ o se del traslato di un sottospazio vettoriale, e determinarne in ogni caso la dimensione e una base. E' vero che la dimensione dipende solo dal rango di $\phi$ e $\psi$ ?

La soluzione del prof usa Rouchè-Capelli ma da tantissime cose per scontato. Qualcuno di così gentile potrebbe spiegarmi come affrontare un esercizio del genere?

[anti-spells]

Se questo è troppo lungo, qualcuno riesce semplicemente a dirmi perchè in un problema del tipo:

trovare $\phi$ t.c. $f = \alpha\phi\beta$ , devo avere che $ker f supe ker \alpha$ e $im f sube im \beta$ ?

[anti-spells]

"arnett":Ma indichi la composizione a destra? Cioé credo che per te $ f = \alpha\phi\beta $ voglia dire fare $\alpha$, poi $\phi$, poi $\beta$.
Fisso un po' di notazioni: siano $\alpha:X\toY, \phi:Y\to\Z, \beta:Z\toW$. Allora $f=\beta\circ\phi\circ\alpha:X\toW$, con la composizione scritta a sinistra, come mi sembra più usuale.
In ogni caso osserva che quindi l'ultima funzione che applichi è $\beta$. Ora, l'immagine di $\beta$ è $\beta(Z)$. L'immagine di $\phi\circ\alpha$ sta in $Z$ ma non è detto che sia uguale a $Z$. Quindi l'immagine di $f$ deve essere contenuta nell'immagine di $\beta$.
Ugualmente il nucleo di $f$ deve contenere il nucleo di $\alpha$, che è la prima funzione che applichi. Infatti se hai un vettore $x\in"ker"(\alpha)$, questo vuol dire che $\alpha(x)=0$. Ma allora pure $f(x)=0$, poiché $f(x)=\beta(\phi(0))$ e le applicazioni lineari mandano $0$ in $0$.

Si, intendevo quello, grazie, è che scrivo così perchè ragiono come fossero moltiplicazioni tra matrici associate alle applicazioni lineari.

Alla luce di quello che hai scritto, nel primo problema AXB = AB che supposizioni vanno fatte su nuclei e immagini?
Grazie per l'eventuale risposta

[anti-spells]

"arnett":Non lo so Forse qualcuno di me sa dirti di più. Alcune idee sparse che mi vengono sono che:

- Quella è l'equazione di un sottospazio vettoriale se e solo se la matrice $AB$ è la matrice nulla (e non è questo il caso). Altrimenti, è un sottospazio affine.

- Su un'equazione matriciale del tipo $CX=D$ applicherei Rouché-Capelli. L'equazione non è in questa forma. Forse conviene porre $XB=Y$, studiare l'equazione $AY=AB$ e poi studiare $XB=Y$, ma non so se è fattibile praticamente.

Ecco una parte della soluzione del professore:

Le entrate delle matrici $X in \Theta$ sono soluzioni di un sistema lineare (12 equazioni in 25 incognite) e per R-C sono il traslato, tramite una soluzione particolare, del sottospazio vettoriale formato dalle soluzioni del sistema omogeneo associato AXB = 0 e poichè AB /= 0 le soluzioni sono il traslato tramite la matrice $1_5$ del sottospazio:

$\Theta_0 = { X in M_5(QQ) | AXB = 0 } ~= { \xi in Hom_QQ(V,V) | \xi(im \psi) sube ker \phi }$

ove l'isomorfismo è l'applicazione che ad ogni omomorfismo $\xi$ associa la sua matrice in base V.

Fin qua in realtà non è nulla di difficile, il sistema omogeneo AXB = 0 deve mandare i vettori di AX nel nucleo della applicazione associata alla matrice B ( il problema è capire di dover fare queste cose... )

Adesso il prof suggerisce di trovare gli elementi di $\Theta_0$ usando basi "comode" e poi fare alcuni cambiamenti di base:
Prendo la base $V'$ ottenuta completando una base di $im \psi$ e $V''$ ottenuta completando una base di $ker \phi$ . Anche qui ho capito, adesso però dice che la matrice $\alpha_(V',V'')(\xi) = ((A,B),(0,C))$ dove A è matrice 3x3 e quindi conseguentemente $\Theta_0$ ha dimensione 19. Non riesco a capire bene come ha costruito questa matrice, non è che magari riesci un attimo a spiegarmelo?

Quindi prende le due basi $V'$ e $V''$ e considera $\alpha_(V'',V')(id)\epsilon(i,j)\alpha_(V,V')(id)$ e fa altre considerazioni per scegliere una base, ma questo lasciamolo perdere...