Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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\( \displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : y=z=0 \} \)Salve, avrei dei dubbi su questo esercizio :
Trovare due sottospazi \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle R^4 \) tali che \(\displaystyle dim(U \cap W)=1 \) e \(\displaystyle R^4 = U+W \).
Ora io lo svolgerei così, scelgo i seguenti sottospazi :
\(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=y=0 \} \)
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : y=z=0 \} \)
Quindi \(\displaystyle dim(U)=dim(W)=2 \) e \(\displaystyle U ...
Salve ragazzi. Supponiamo che io ho un sottospazio vettoriale W di V, e il suo complemento ortogonale; mi potete mostrare un caso per cui la somma delle rispettive dimensioni è maggiore di V? Lo chiedo perchè secondo me dovrebbero sempre coincidere, ma alcune fonti non sono dello stesso parere...
Esiste una maniera di risolvere questo esercizio senza fare ricorso alla nozione di grado di una mappa $f : S^1\to S^1$.
Dando a $S^1$ la solita topologia di sottospazio che la identifica con i numeri complessi di modulo 1, consideriamo per $n,m\in\mathbb Z$ la mappa $f_{mn} : z\mapsto \bar z^m z^n$.
A che mappa corrisponde l'omomorfismo
\[
(f_{mn})_* : \pi_1(S^1,z_0) \to \pi_1(S^1,z_0)
\] indotto da $f$ a livello dei gruppi fondamentali di ...
Salve a tutti. Come spesso capita, sono alle prese con un possibile equivoco riguardo ai cambiamenti di base. Dunque, sul mio libro c'è scritto che "la matrice di cambiamento di base da B a B' contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B' rispetto alla base B."
Il punto è che questa affermazione cozza nettamente con ciò che c'è scritto su **** (https://www.****.it/lezioni/algebra- ... aggio.html) e su altri testi online, visto che viene definita (nel caso di **** implicitamente) in maniera inversa.
La domanda ...
Salve, volevo vedere se alla luce di quello che è stato detto nell'altra discussione sono capace di fare un altro di questi esercizi :
Sia \(\displaystyle W(k)=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=y+z+t+kyzt \} \). Determinare per quali \(\displaystyle k \in R, \space \space W(k)\) è un sottospazio di \(\displaystyle R^4\).
Ho fatto così :
-ho verificato per quali k il vettore nullo appartenesse al sottospazio ed è risultato che il vettore nullo appartiene a \(\displaystyle W(k) \forall k \in ...
Ciao a tutti.
Sapendo che esiste una Applicazione Lineare \(\displaystyle \mathrm{F:} \mathbb{R}^3->\mathbb{R}^3 \) che manda un piano/retta/punto in un altro piano/retta/punto, sapreste dirmi come si può ricavare la forma esplicita come per esempio questa: \(\displaystyle \mathrm{F(x,y,z)=(x+y,z-2x,y+5z)}\)?
Esercizio-Esempio
Sia \(\displaystyle \mathrm{T:} \mathbb{R}^3->\mathbb{R}^3 \) che manda il piano \(\displaystyle \pi\mathrm{:-2x+3y+z+1=0}\) nel piano \(\displaystyle \rho ...
Salve, so quelli che sto per proporre sono esercizi facili e prettamente teorici ma alcuni mi rimangono difficili mentre per altri vorrei solo sapere se li ho fatti bene. Gli esercizi sono i seguenti :
1)Siano \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B \) due matrici involutorie dello stesso ordine. \(\displaystyle A+B \) è involutoria ?
Svolgimento : essendo le due matrici involutorie ho che \(\displaystyle A^2=I \) e \(\displaystyle B^2=I \). Poi se \(\displaystyle A+B \) è involutoria ...
Ciao a tutti, volevo chiedere una curiosità più che altro. Quando uso il metodo di Gram-Schmidt per trovare una base ortonormale, è indifferente l'ordine con cui scrivo i vettori della base. Perchè facendo degli esercizi ho trovato la soluzione diversa dalla mia perchè ha usato prima un vettore piuttosto che un altro, però appunto non capisco perchè siano completamente diverse.
Ciao a tutti ragazzi..sono in difficoltà con questo esercizio e mi servirebbe gentilmente un vostro aiuto! L'esercizio è il seguente:
R2[x]--->R2[x] p(x)--->(-1/2 x^2+1/2x+3/2)p''(x)+(3x+2)p'(x)+p(x)
Devo determinare se questa applicazione è lineare e la matrice associata ad essa. Mi hanno detto che per determinare la matrice associata alle applicazioni lineari con spazi di polinomi,bisogna prendere la base canonica,in questo caso R^2 quindi (1,x,x^2) e applicare la funzione ad ogni elemento ...
Salve, qualcuno potrebbe perfavore darmi una mano per questo esercizio :
Sia $W(a,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ (a+b)x+by<=0 \}$. Determinare per quali $a,b in RR$ l’insieme $W(a,b)$ è un sottospazio di $RR^2$.
Io ho provato a svolgerlo nel seguente modo :
- ho verificato prima di tutto se il vettore nullo appartiene a $W$ ed è risultato che per $a=0$ e $b=0$ gli appartiene
- ora dovrei verificare se $W(0,0)$ è chiuso rispetto alla somma e al prodotto ...
Ciao Ragazzi, scusate il disturbo. Sono bloccata con questo problema di geometria che non riesco a risolvere.
Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
r: {hy + z = -2, x - hz = 1} s: {y - hz = 0, x - hz = 0}
a) Si discuta la posizione reciproca di r ed s al variare del parametro h.
Il problema è che quando calcolo il rango della matrice incompleta (avendo posto a sistema le quattro equazioni) questo viene con valori di h diversi da +/- i, ...
Buongiorno a tutti,
sto studiando Meccanica Razionale dagli appunti presi in aula e dal libro Meccanica Razionale per Ingegneria di D'Acunto - Massarotti; sono arrivato alla definizione di asse centrale, ma mi è sorto un dubbio leggendo sia ciò che ci ha detto la professoressa, sia ciò che c'è scritto sul libro:
abbiamo preso in considerazione due momenti polari rispetto ai poli O e T, e una retta r parallela al risultante R. Partendo dalla Legge di variazione del momento al variare del polo, ...
Salve, non riesco a risolvere il seguente esercizio :
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 3x3. Trovare due sottospazi di U e W di V tali che dim(U)=6, dim(W)=3 e V è uguale alla somma diretta di U e W.
Io ho fatto cosi :
-ho scelto per U il sottospazio delle matrici simmetriche, quindi dim(U)=6
-ho scelto per W il sottospazio delle matrici antisimmetriche, quindi dim(W)=3
-V somma diretta di U e W, significa che V=U+W e U intersezione W = {0}. Quindi ho verificato la prima attraverso la ...
Salve, non riesco a completare il seguente esercizio :
Trovare due sottospazi di R^5 tali che la dimU=dimW=3 e R^5=U+W
Ho trovato i due seguenti sottospazi di dimensione 3 :
U={(a,b,c,d,e) appartenente ad R^5 : d=0, e=0 }
W={(a,b,c,d,e) appartenente ad R^5 : a=0, b=0}
Poi per la relazione di Grassman ho imposto che :
dim(U+W)= 6 - dim(U intersezione W)
Risulta che 3
Salve ragazzi, non riesco a fare il seguente esercizio :
Siano u,v e w tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V. Verificare se i vettori u-v, v-w e u+w sono linearmente indipendenti.
Ho provato prendere tre vettori generici di R^3 ma non ottengo nullo. Non so dove mettere mano.
Salve, volevo sapere se ho fatto bene i seguenti esercizi :
1)Sia W lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche 3x3 e sia T: R^n -> W un'applicazione lineare iniettiva. Quali valori potrebbe assumere n ?
Prima di tutto ho stabilito la dimensione di W che è uguale a 6 poi siccome T è iniettiva dim(kerT)=0, inoltre dim(ImT)
ciao ho un problema riguardante la determinazione di una base formata da autovettori.
precisamente l'esercizio richiede se data una matrice questa risulta essere diagonalizzabile e inoltre di determinare, se esiste, una base formata da autovettori della matrice e determinare tale base. La prima parte non mi crea problemi, verifico se la matrice è diagonalizzabile verificando che per ogni autovalore la molteplicità algebrica coincida con quella geometrica. Per verificare che esista una base ...
Ciao a tutti, sto svolgendo alcuni esercizi in cui mi è richiesto di interpretare una matrice, come matrice completa di un sistema lineare e dire quando ha soluzioni. Siccome mi trovo in difficoltà e non ho risultati su cui confrontarmi volevo capire con voi se seguo i procedimenti corretti.
Il primo esercizio:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 & 2 & 0\\
-1 & -2 & 2-\alpha & -\alpha & \alpha-1\\
2 & 4 & -\alpha-1 & 3-\alpha & 0\\
1 & 2 & 1-2\alpha & 3-2\alpha & ...
Salva io ho dei vettori apartenente ai numeri complessi [ 2 0 0 0 1/10 ] [ i 2 0 0 1/2 ] [0 i 2 0 1/2] [0 0 i 2 1] [0 0 0 i 2 ] io posso mettere a sistema e vedere che a1...an= 0 però non esiste un metodo più veloce per vedere se sono lin. dip. o ind. ? grazie a tutti
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