Sottospazio matrici simmetriche

[giannigianni14]

ecco , quindi direi f f v ,ma vorrei qualche chiarimento sul sottospazio da esse generato

[Bokonon]

Perchè invece non rispondi al thread rimasto in sospeso?
Altrimenti alla fine non ti risponde più nessuno credimi.
Oppure ti risponde esattamente per quanto scrivi tu, ovvero "v f v".

[giannigianni14]

grazie per avermelo fatto notare ,avevo già letto e mi ha chiarito ancora meglio cmq
per quanto riguarda matrici simmetriche io so che certamente sono diagonalizzabili ,
l'invertibilità non è garantita dal fatto che sia simmetrica , sulla dimensione del sottospazio invece vorrei chiarimenti

[Bokonon]

Le matrici simmetriche sono tutte diagonalizzabili in base al Teorema Spettrale: in particolare sono tutte diagonalizzabili in un campo reale perchè hanno sempre e comunque solo autovalori reali a cui corrispondono autospazi la cui dimensione è pari a quella algebrica. Inoltre, gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono tutti perpendicolari fra di loro.

Ovviamente le matrici simmetriche non sono tutte invertibili perchè possono benissimo essere singolari o equivalentemente avere determinate zero o equivalentemente non avere rango massimo o equivalentemente avere un autovalore pari a 0.

Qualsiasi matrice quadrata è scomponibile nella somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica, quindi l'intero spazio delle matrici nxn è una combinazione lineare dei due sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche, che non solo sono in somma diretta ma sono pure ortogonali fra di loro.
La dimensione dello spazio delle sym + la dim. dello spazio delle skew è pari rispettivamente a $(n(n+1))/2+(n(n-1))/2=n^2$
Quindi nell'esercizio $n=2$, ergo la dimensione cercata è $(n(n+1))/2=3$

[giannigianni14]

ah bene , questo è quello che cercavo