Uno spazio contraibile solo ad un punto, e non altrove

[fmnq]

Se \(\vartheta\) è un qualsiasi numero reale, denotiamo con \(C_\vartheta\) il segmento che unisce l'origine del piano \(\mathbb R^2\) al punto di coordinate \(\text{cis }\vartheta = (\cos 2\pi \vartheta, \sin 2\pi\vartheta)\), e poniamo
\[
C = \bigcup_{\vartheta \in [1/6, 1/4]\cap \mathbb Q} C_\vartheta.
\] 1. Dimostrare che lo spazio \(C\) è contraibile, quando viene puntato in \((0,0)\), ma che non è contraibile quando viene puntato altrove.

2. Denotiamo con \(D = \bigcup_{n\in\mathbb Z} [(0,n) + C]\) l'unione dei traslati verticali di $C$ nel piano; mostrare che \(D\) è omotopo a un punto, ma non è contraibile (ossia la sua mappa identica non è omotopa a una costante).

[fmnq]

Una maniera diversa di frasare la stessa idea è che le retrazioni di $[0,1]$ su $\{0\}$ si possono incollare retraendo $C$ su $(0,0)$ (il punto rispetto a cui è stellato). Del resto, appunto, l'idea di fondo non cambia.

Per quanto riguarda 2., probabilmente si può ragionare per assurdo: se l'identità è omotopa a una costante, il punto in cui è costante è della forma $(t,0)$ per $t\in \mathbb R$, oppure della forma $(\text{cis }\theta, n)$ per qualche $\theta, n$; entrambi i casi sono assurdi per ragioni di continuità locale.