Proprietà e rivestimenti di una compattificazione a un punto

[fmnq]

Sia \(B\) la compattificazione di Alexandrov dell'insieme \(\mathbb N \times ]0,1[\), e denotiamo con \(o\) il suo punto all'infinito.

1. Dimostrare che \(B\) è connesso, localmente connesso, e localmente connesso per archi.

2. Sia \((r_n)\) una successione monotona strettamente decrescente di numeri reali che tende a zero; denotiamo \(C_n\subset \mathbb R^2\) la circonferenza di centro \((r_n,0)\) e raggio \(r_n\); dimostrare che \(B\) è omeomorfo a \(P=\bigcup_n C_n\) con la topologia di sottospazio di \(\mathbb R^2\). Dimostrare che ogni omeomorfismo \(\psi : B \to P\) deve mandare il punto \(o\) in \((0,0)\).

3. Sia \(P_n = C_0 \cup\dots\cup C_n\) (di modo che \(P \cong \varinjlim P_n\)); denotiamo con \(f_n : P\to P_n\) la retrazione dell'inclusione \(i_n : P_n\hookrightarrow P\) che è l'identità su \(P_n\) e vale costantemente \((0,0)\) altrove. \(f_n\) è continua? E' vero che \(\lim_n f_n = 1_P\), no?

4. Siano \(E,E'\) dei rivestimenti di \(P\), dati da mappe \(p : E\to P\) e \(p' : E'\to P\); consideriamo

[tex]\xymatrix{
E_n \ar@{}[dr]|\lrcorner\ar[r]\ar[d]& E \ar[d]^p & E^\prime_n\ar@{}[dr]|\lrcorner\ar[r]\ar[d] & E^\prime \ar[d]^{p^\prime} \\
P_n \ar@{^{(}->}[r]_{i_n}& P & P_n\ar@{^{(}->}[r]_{i_n} & P
}[/tex]

Mostrare che esiste una biiezione tra l'insieme \(\text{Rev}(E',E)\) delle mappe di rivestimento \(E'\to E\) e l'insieme \(\varinjlim_n \text{Rev}(E_n', E_n)\).

5. Sia $p : E\to P$ un rivestimento; dimostrare che esiste un indice $n\ge 0$ tale che $E\cong E_m\times_{P_m}P$ per ogni $m\ge n$.

[fmnq]

5. Dimostrare che esiste un rivestimento \(p_n : E_n\to P\) a \(n\) fogli, e tale che \(p^\leftarrow_n(C_n)\) sia uno spazio connesso.

6. Sia \(E=\coprod_{n\in \mathbb N} E_n\), e sia \(f : E\to P\times\mathbb N\) la mappa ovvia; dimostrare che \(f\) è un rivestimento di \(P\times\mathbb N\), che \(\pi_1 : P\times\mathbb N\to P\) è un rivestimento di \(P\), ma che la composizione \(E\to P\times\mathbb N\to P\) non è un rivestimento.

7. Siano \(P^+ = P\cap \{y\ge 0\}\) e \(P^- = P\cap \{y\le 0\}\); dimostrare che \(E|_{P^+}\) in

[tex]\xymatrix{
E|_{P^+} \ar@{}[dr]|\lrcorner\ar[r]\ar[d]& E \ar[d]^f \\
P^+ \ar@{^{(}->}[r]& P
}[/tex]

è un rivestimento banale di \(P^+\), e analogamente lo è \(E|_{P^-}\).