Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di R[x]
Ciao a tutti, volevo chiedervi se potreste darmi una mano con questo esercizio. A breve ho l'esame di geometria e algebra lineare e ci sono alcune cose che non ho capito.
Si consideri lo spazio vettoriale $ R[x] $ dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti reali con le operazioni di somma tra polinomi e di moltiplicazione per uno scalare reale. Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di $ R[x] $ motivando la risposta:
a. il sottoinsieme dei polinomi di grado 5;
b. il sottoinsieme dei polinomi $ p(x) $ per cui $ p(1)= p(\pi) $;
c. il sottoinsieme dei polinomi che non contengono potenze pari di $ x $;
d. il sottoinsieme dei polinomi che ammettono almeno una radice reale;
e. il sottoinsieme dei polinomi del tipo $ (x^2+1)*q(x) $ con $ q(x) in R[x] $.
Considerazioni personali:
a. tale insieme non penso sia un sottospazio perché se sommo al polinomio generico di grado 5 lo stesso polinomio che ha il coefficiente di grado 5 uguale ma col segno negativo allora la somma di questi due polinomi non è di grado 5;
b. non lo so, vorrei una mano da voi;
c. penso sia un sottospazio perché se sommo due polinomi con grado dispari ottengo sempre polinomi di grado dispari, stessa cosa succede se moltiplico per uno scalare non nullo;
d. penso non sia un sottospazio, perché se prendiamo $ x^2 + 2x + 1 $ che ha una radice, e lo sommiamo con un altro polinomio con radice (ad esempio) $ -2x + 1$ , otteniamo $ x^2 + 2$ che non ha nessuna radice reale;
e. intuitivamente penso sia un sottospazio ma non so dimostralo.
Grazie in anticipo, apprezzerei davvero una mano perché di ciò non ho capito molto.
Si consideri lo spazio vettoriale $ R[x] $ dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti reali con le operazioni di somma tra polinomi e di moltiplicazione per uno scalare reale. Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di $ R[x] $ motivando la risposta:
a. il sottoinsieme dei polinomi di grado 5;
b. il sottoinsieme dei polinomi $ p(x) $ per cui $ p(1)= p(\pi) $;
c. il sottoinsieme dei polinomi che non contengono potenze pari di $ x $;
d. il sottoinsieme dei polinomi che ammettono almeno una radice reale;
e. il sottoinsieme dei polinomi del tipo $ (x^2+1)*q(x) $ con $ q(x) in R[x] $.
Considerazioni personali:
a. tale insieme non penso sia un sottospazio perché se sommo al polinomio generico di grado 5 lo stesso polinomio che ha il coefficiente di grado 5 uguale ma col segno negativo allora la somma di questi due polinomi non è di grado 5;
b. non lo so, vorrei una mano da voi;
c. penso sia un sottospazio perché se sommo due polinomi con grado dispari ottengo sempre polinomi di grado dispari, stessa cosa succede se moltiplico per uno scalare non nullo;
d. penso non sia un sottospazio, perché se prendiamo $ x^2 + 2x + 1 $ che ha una radice, e lo sommiamo con un altro polinomio con radice (ad esempio) $ -2x + 1$ , otteniamo $ x^2 + 2$ che non ha nessuna radice reale;
e. intuitivamente penso sia un sottospazio ma non so dimostralo.
Grazie in anticipo, apprezzerei davvero una mano perché di ciò non ho capito molto.
Risposte
a. Giusto.
b. Basta fare il calcolo: se hai due polinomi che soddisfano la condizione assegnata, una loro generica combinazione lineare la soddisfa?
c. Che grado ha il polinomio nullo?
d. Giusto.
e. Come b.
b. Basta fare il calcolo: se hai due polinomi che soddisfano la condizione assegnata, una loro generica combinazione lineare la soddisfa?
c. Che grado ha il polinomio nullo?
d. Giusto.
e. Come b.
b. Non è che potresti farmi un esempio gentilmente?
c. Sulla lezione inerente ai polinomi c'è scritto che non c'è una definizione per il polinomio di grado nullo.
e. Non è che potresti farmi un esempio gentilmente?
Il problema è che non so come verificare la condizione assegnata (ovvero quella di chiusura) per questi due tipi di polinomi.
Grazie mille per aver risposto
c. Sulla lezione inerente ai polinomi c'è scritto che non c'è una definizione per il polinomio di grado nullo.
e. Non è che potresti farmi un esempio gentilmente?
Il problema è che non so come verificare la condizione assegnata (ovvero quella di chiusura) per questi due tipi di polinomi.
Grazie mille per aver risposto
"bableba":
b. Non è che potresti farmi un esempio gentilmente?
Non vedo polinomi che soddisfino il criterio se non quelli di grado zero...ma potrei sbagliarmi.
"bableba":
c. Sulla lezione inerente ai polinomi c'è scritto che non c'è una definizione per il polinomio di grado nullo.
Ha ragione Gugo. In generale, lo spazio dei polinomi di grado fisso non è uno spazio vettoriale perchè non contiene l'elemento neutro alla somma. E' molto zen, ma è così.
"bableba":
e. Non è che potresti farmi un esempio gentilmente?
$R[x]$ contiene i polinomi di qualsiasi grado, quindi la risposta è si a priori.
Forse intendevi $ q(x) in R_n[x] $, ovvero polinomi fino ad un grado n fissato?
P.S. Ho pensato troppo poco
Immagino che nell'ultimo punto si intenda dire ci sono solo polinomi di grado 2 o superiore e quindi si può dimostrare che sottraendo due polinomi ad hoc si può ottenere un polinomio di grado inferiore a 2...che non appartiene al sottoinsieme.Suona bene?
c. Quindi non è un sottospazio perché se sommo ad un polinomio di grado dispari lo stesso polinomio di grado dispari con i coefficienti al contrario mi esce il polinomio nullo (che non è un sottospazio)?
es: $ (a_n^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1) - (b_n^n + b_(n-1)x^(n-1) + ... + b_1) $ con $b_i=-a_i$
e. No no, sulla richiesta c'è scritto che $ q(x) in R[x] $ non a $ R_n[x] $.
es: $ (a_n^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1) - (b_n^n + b_(n-1)x^(n-1) + ... + b_1) $ con $b_i=-a_i$
e. No no, sulla richiesta c'è scritto che $ q(x) in R[x] $ non a $ R_n[x] $.
"bableba":
c. Quindi non è un sottospazio perché se sommo ad un polinomio di grado dispari lo stesso polinomio di grado dispari con i coefficienti al contrario mi esce il polinomio nullo (che non è un sottospazio)?
In realtà vorremmo anche questa proprietà affinchè sia una spazio vettoriale e in effetti l'abbiamo! Però il polinomio nullo contraddice la definizione del sottospazio. Per questo ho scritto che la cosa è molto zen
"bableba":
e. No no, sulla richiesta c'è scritto che $ q(x) in R[x] $ non a $ R_n[x] $.
Si, mi sono corretto immediatamente dopo. Leggi il P.S.
Ecco, ho trovato la conferma...e comunque Gugo non sbaglia mai!
Ragazzi scusatemi, continuo a non capire come si dimostrano b. ed e. e non ho capito se c. è un sottospazio vettoriale. Purtroppo ho avuto un professore che non è il massimo e, a parte quelli più scontati, non c'ha fatto esempi.
Per la c), il polinomio nullo non soddisfa la definizione del sottoinsieme, quindi non può essere uno spazio vettoriale.
Per la b) mi pare proprio che si possa affermare che quell'insieme sia composto solo da polinomi di grado zero, ovvero numeri/costanti. Quindi è uno spazio vettoriale.
Per la e) Il sottospazio contiene l'elemento neutro alla somma e le combinazioni lineari sono ancora parte di esso.
$T[alphaQ(x)+betaP(x)]=(x^2+1)(alpha(Q(x)+betaP(x))=alpha(x^2+1)Q(x)+beta(x^2+1)P(x)=$
$alphaT[Q(x)]+betaT[P(x)]$
Infatti l'unica casistica contraria possibile è data dal fatto che la trasformazione $(x^2+1)Q(x)$ prende un polinomio di grado n e ne accresce il grado a (n+2), quindi il grado minimo dei polinomi di questo sottospazio è 2. Ma può capitare che:
$(x^2+1)(Q(x)+P(x))=ax+b$ con $b!=0$?
Direi di no. Quindi è uno spazio vettoriale.
Per la b) mi pare proprio che si possa affermare che quell'insieme sia composto solo da polinomi di grado zero, ovvero numeri/costanti. Quindi è uno spazio vettoriale.
Per la e) Il sottospazio contiene l'elemento neutro alla somma e le combinazioni lineari sono ancora parte di esso.
$T[alphaQ(x)+betaP(x)]=(x^2+1)(alpha(Q(x)+betaP(x))=alpha(x^2+1)Q(x)+beta(x^2+1)P(x)=$
$alphaT[Q(x)]+betaT[P(x)]$
Infatti l'unica casistica contraria possibile è data dal fatto che la trasformazione $(x^2+1)Q(x)$ prende un polinomio di grado n e ne accresce il grado a (n+2), quindi il grado minimo dei polinomi di questo sottospazio è 2. Ma può capitare che:
$(x^2+1)(Q(x)+P(x))=ax+b$ con $b!=0$?
Direi di no. Quindi è uno spazio vettoriale.
c. Quindi non è un sottospazio perché non contiene il polinomio nullo (in quanto questo ha grado pari)?
"bableba":
c. Quindi non è un sottospazio perché non contiene il polinomio nullo (in quanto questo ha grado pari)?
Ti ho messo anche tanto di foto da una dispensa univesitaria...
"bableba":
c. Quindi non è un sottospazio perché non contiene il polinomio nullo (in quanto questo ha grado pari)?
Innanzitutto, chiariamo questo fatto: il polinomio nullo non ha grado o, se gli si vuole attribuire un grado, di solito gli si affibbia grado uguale a $-oo$.
Sotto questa scelta c'è un motivo tecnico che si chiama Regola di Addizione dei Gradi, che è quella regoletta che ti dice “il grado del prodotto di due polinomi non nulli è uguale alla somma dei gradi dei singoli fattori”.
Se si vuole che questa regola funzioni anche nel caso in cui uno dei due fattori sia il polinomio nullo, l’unica chance è dire che il grado di tale polinomio è $-oo$. Infatti, se gli si affibbia grado $0$, la faccenda non funziona (provare per credere).
La domanda era posta proprio per capire se l’equivoco su cui si basava la tua titubanza fosse causato dal fatto che attribuivi grado pari (cioè $0$) al polinomio nullo.
Torniamo a noi...
b. Scegli due polinomi tali che $p(1)=p(pi)$ e $q(1)=q(pi)$, fissa due scalari $alpha, beta in RR$ e considera il polinomio $r=alpha p + beta q$: puoi dire che $r(1)=r(pi)$ o no?
c. A rigor di logica, per quanto detto sopra, il polinomio nullo non contiene nessun termine di grado pari rispetto ad $x$ ed è legittimamente un polinomio che puoi aggregare al tuo insieme. Perciò il tuo insieme contiene l’elemento neutro rispetto alla somma.
D’altra parte, se sommi il polinomio nullo ad un qualsiasi altro polinomio del tuo insieme ottieni sempre un polinomio con soli termini di grado dispari.
Dunque...
e. Stessa cosa di b. Scegli due polinomi che soddisfano la proprietà caratteristica del tuo insieme, $P = (x^2+1) p$ e $Q = (x^2+1) q$, fissa due scalari $alpha, beta in RR$ e considera il polinomio $R= alpha P + beta Q$: puoi dire che $R=(x^2+1) r$ o no?
P.S.:
"bableba":
sommo ad un polinomio di grado dispari lo stesso polinomio di grado dispari con i coefficienti al contrario [...]
Esempio: se $p= 10x^3 + 8x^2 - 4x - 2$, il polinomio “con i coefficienti al contrario” è $p’= -2x^3 -4 x^2 + 8x + 10$?
Ciao ragazzi, scusatemi se non vi ho risposto prima: ero convinto che non mi avevate risposto (non ho notato che c'era il numerino della pagina 2 disponibile).
In ogni caso il polinomio che intendevo era $ p'(x)=-10x^3 - 8x^2 + 4x +2$.
Per quanto riguarda i punti b ed e posso affermare che sono sottospazi perché sono chiusi rispetto alla somma ed al prodotto (dato che $ R(x) = (x^2 + 1)r$ e quindi mantiene la forma), sebbene non abbia benissimo capito come debba dimostrare ciò (quindi un esempio, sempre che possibile, mi farebbe comodo).
Il punto c. pare sia dunque uno spazio vettoriale.
Ciò che dico è corretto?
Scusatemi se a volte non capisco ma non ho potuto seguire il corso quest'anno per motivi di lavoro e non ho avuto buone basi matematiche al liceo (non di meno questa sembra una contraddizione ahahah)
In ogni caso il polinomio che intendevo era $ p'(x)=-10x^3 - 8x^2 + 4x +2$.
Per quanto riguarda i punti b ed e posso affermare che sono sottospazi perché sono chiusi rispetto alla somma ed al prodotto (dato che $ R(x) = (x^2 + 1)r$ e quindi mantiene la forma), sebbene non abbia benissimo capito come debba dimostrare ciò (quindi un esempio, sempre che possibile, mi farebbe comodo).
Il punto c. pare sia dunque uno spazio vettoriale.
Ciò che dico è corretto?
Scusatemi se a volte non capisco ma non ho potuto seguire il corso quest'anno per motivi di lavoro e non ho avuto buone basi matematiche al liceo (non di meno questa sembra una contraddizione ahahah)
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