Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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La dimostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer (una funzione continua dal disco chiuso di R2 in sè ha un punto fisso) ci è stata fatta così:
Per assurdo supponiamo f(x,y) diverso da (x,y) per ogni (x,y) del disco. Allora tracciamo la semiretta (unica!) uscente da f(x,y) e passante per (x,y) e chiamiamo F(x,y) la sua intersezione con la circonferenza. E poi la dimostrazione procede dando per scontato che F è continua.
Come posso fare per dimostare che F è continua?
Ho provato a ...
Problema: Sia $A \in CC^(n,n)$. Supponiamo che $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_k$ siano tutti gli autovalori di A. Dimostrare che allora $\lambda_1^2,...,\lambda_k^2$ sono tutti gli autovalori di $A^2=AA$. Dimostrare che inoltre se $\lambda_i$ ha molteplicità algebrica $m_1$ allora $\lambda_i^2$ ha molteplicità $m_i$ se $-\lambda_i$ non è un autovalore di $A$; dimostrare che altrimenti $\lambda_i^2$ ha molteplicità algebrica $m_1 + m_2$ se ...
C'è qualcuno che riesce a darmi un'idea anche non troppo formale del motivo per cui la sfera n-dimensionale Sn non è contraibile?
Grazie!
ho la seguente retta r:
$x - y + 2 =0$
$y + z - 1 =0$
come faccio a trovare il generico piano contenente questa retta?
la soluzione dice così:$x + (h − 1)y + hz + 2 − h = 0;$
grazie
Ciao a tutti,
come si dimostra questa relazione di invarianza relativa ai vettori:
$vec(nabla)_t rot(i_z*E_z)=vec(nabla)_t E_z rot(i_z)$
Questa relazione me la sono trovata studiando le guide d'onda, però ovviamente non riesco a capire come devo fare per dimostrare che la prima relazione si può scrivere come la seconda.
$nabla_t$ rappresenta la parte trasversa, mentre $E_z*(i_z)$ la parte longitudinale. $i_z$ è un versore
GRAZIE
Ciao a tutti,
volevo capire la seguente dimostrazione, allora quello che voglio dimostrare è che:
$\hat(i_z) \partial_z xx vec(E)_t= \partial_z( \hat(i_z) xx vec(E)_t)$
quindi procedo così, adoperando il formalismo matriciale riscrivo
$hat(i_z) \partial_z xx vec(E)_t = \det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(0,0,\partial_z),(E_x,E_y,0)) = - \partial_z*(hat(i_x)*E_y-hat(i_y)*E_x) = \partial_z*(-hat(i_x)*E_y + hat(i_y)*E_x) = - \partial_z \det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(0,0,1),(E_x,E_y,0)) = - \partial_z(-hat(i_x)*E_y-hat(i_y)*E_x) $
da quì come si fa a dire che $- \partial_z(-hat(i_x)*E_y-hat(i_y)*E_x) = \partial_z(hat(i_z) xx vec(E)_t)$? (forse c'è qualche errore di segno)
sapendo che $vec(E)_t = E_x*hat(i_x) + E_y*hat(i_y)$ e $nabla_t=\partial_x*hat(i_x)+\partial_y*hat(i_y)$
Grazie.
se mi si chiede di determinare in $RR^3$ la stella di rette passanti per un punto dto come faccio a determinare le equazioni di tale stella?
ciao a tutti.... come risolvo questo esercizio?
determinare se esistono i punti comuni a tutti i piani del tipo $ax+(a+2b)y-bz-(a+2b)=0$ al variare di $a,b\in RR$ ma non contemporaneamente nulli.
grazie a tutti quelli che mi daranno un consiglio.
Ho fatto questi esercizi di cui non sono sicuro se ho fatto bene...in macanza di risultati chiedo a voi.
$U = L((1,-1,0,0)(0,1,-1,0)(-1,2,-1,0))$
$W = {(x,y,z,t) : y-z = 0, x+t = 0}$
Determinare una rappresentazione cartesiana di U + W
In primis ho controllato se L(U) è una base o un sistema di generatori.
E' un sistema di generatori in quanto il secondo vettore dipende lineramente dagli altri.
Quindi in definitiva
$U = L((1,-1,0,0)(-1,2,-1,0))$
Ho poi determinato una base di W
$y = z, x = -t => (x,y,y,-x) => (1,0,0,-1)(0,1,1,0)$
Ho quindi determinato una base ...
Sia $\tau={UsubRR : Unn]-oo,0[in\tau_0}$
Dimostrare che la funzione $f:(RR,\tau)\to(RR,\tau)$ tale che $f(x)={(-1, x<0),( 1, x>=0):}$ è continua.
qualcuno saprebbe darmi qualche indicazione per dimostrarlo? approposito si capisce subito che la topologia euclidea è strettamente meno fine di questa topologia.
ciao a tutti!!!
devo fare un problema di geometria
allora ho un trapezio isoscele di cui conosco la diagonale e il lato obliquo che sono rispettivamente 40cm e 30cm e devo calcolare il perimetro e L'area...
i risultati sono:
Area:768 cm2
perimetro:124cm
HELP!!!!!
Voglio postare un esercizio curioso di algebra lineare.
Sia $A \in M_(2n,2n)(RR)$ una matrice quadrata reale di ordine pari che ha zeri sulla diagonale e 1 o -1 altrove: $a_{ii}=0 \ , \ a_{ij}= \pm 1$.
Dimostrare che $A$ e' invertibile.
ciao a tutti sia $P^2$ il piano proiettivo reale con coordinate $[x_1:x_2:x_3]$. mi si chiede di determinare tutte le proiettività del piano che fissano punto per punto la retta di equazione $x_1=x_2$ e il punto $(1,0,0)$.
ora io non so da dove cominciare assolutmanete. mi sapreste dire in generale come si svolge o l'idea ?
grazie a tutti.
non sono riuscito a trovare in rete qualche documento che mi spieghi (semplicemente ma senza essere banale od incompleto) la formula di Rodriguez.
ora mi trovo di fronte a questa e non riesco a capire "da dove venga"...
1)mi piacerebbe capire i passaggi matematici che hanno portato a questa.
2) ha qualcosa a che fare con i quaternioni?
a1 = (a0 − s0) · cos(g) + u × (a0 − s0) · sin(g) +(a0 − s0) · u · (1 − cos(g) ) · u + s0
(Scusatem non ho capito come fare a scrivere le ...
ho una retta A con punto di origine OA ed una retta B ad essa sghemba.
conoscendo le equazioni delle due rette come e' possibile trovare l'equazione di una terza retta C perpendicolare ad A e B, e la distanza di C da OA ?
grazie mille dell'attenzione
Alessandro
Buona sera. Ho il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
"Data l'applicazione lineare $f:R^3->R^2$ definita dalle relazioni:
$f(1,1,1)=(2,1)$
$f(1,0,1)=(1,0)$
$f(0,1,1)=(-1,1)$
determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $R^3 e R^2$
determinare la matrice $M^(A,B)(f)$ associata alle basi:
$A=(u_1=(2,1,1) , u_2=(2,1,0), u_3=(0,2,1))$
$B=(w_1=(-1,1),w_2=(2,1))$
La prima richiesta sono riuscito a soddisfarla, trovando la matrice:
$M(f)= ( (3,1,-2),(0,1,0))$
Adesso, ho ...
Una n-forma differenziale viene definita in maniera ovvia mediante l'operazione di "prodotto" tra oggetti chiamati 1-forme: che sono $dx$,$dy$,ecc... e tutte le combinazioni lineari di questi
questo prodotto è antisimmetrico $dx \wedge dy=- (dy \wedge dx)$
questi oggetti di per se che sono formalmente? e questa operazione come mai si definisce così? ok che intuitivamente mi ricorda il prodotto vettoriale in R3, ma non vedo come in Rn possa risultare un n-volume...
Ciao!
come si risolve il parallelo tra 3 vettori?
non riesco a capire questo esercizio...
u=(1,0,1)
v=(2,-1,3)
w=(-4,3,-7)
trovare l'equazione del piano passante per P=(0,-3,2)e parallelo ai vettori u,v e w.
la condizione di parallelismo la trovo solo con il prodotto matriciale tra u e v che esce (1,-1,-1) non tenendo in considrazione w....perchè?
Ho qualche problema a risolvere questo esercizio....
Applicazione lineare T:R2-->R3 definita da:
T(x,y)=(4x+2y, 8kx+9y, 4x+2y)
Per quali valori di K è iniettiva e suriettiva?
Trovare una base di Im(T) e una base di Ker (T)
sapreste aiutarmi?
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