Teorema di sostituzione (nelle basi di uno spazio)
Ciao,
ho un esercizio che, dato un sottospazio $W$ (dimensione 2) di $RR^4$, chiede di trovare un altro sottospazio $U$ di $RR^4$ tale che la somma diretta degli spazi sia $RR^4$. Insomma $W \oplus U = RR^4$.
Visto che e' una somma diretta, devo trovare uno spazio $U$ tale che $U \cap W = {0}$. Ho pensato di usare il teorema di completamento delle basi: data una base di $RR^4$, posso sostituire due dei suoi vettori con la base di $W$.. In questo modo suppongo che gli altri due vettori siano una base di $U$.
Il problema e' che non mi e' ben chiaro come funziona questo teorema e non ho mai visto una sua applicazione.
Ora, da quel che c'e' scritto mi sembra di capire che posso sostituire *qualunque* vettore v con *qualunque* vettore w e ottenere una nuova base, ma questo mi sembra un po' strano.
Ad esempio, due basi di $RR^2$ sono ${(1,0),(0,1)}$ e ${(2, 0),(0, 2)}$. Pero' non e' che e' possibile prendere $(1,0)$ e sostituirlo con $(0,2)$ (che e' un vettore $w$ linearmente indipendente)... Quindi deduco che sia necessario sostituire dei vettori $v_1, ..., v_m$ con altri vettori $w_1, ..., w_m$ che non sono combinazioni lineari dei vettori non sostituiti $v_m+1, ..., v_n$.
La mia idea era di prendere la base canonica di $RR^4$ ed infilarci la base di $W$ che ho... Ma non capisco come fare:
${(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}$. Devo sostituire due di questi con i vettori ${(2, 1, 0, 4),(-1, 0, 1, -2)}$ (che mi sembrano linearmente indipendenti, quindi soddisfano le condizioni del teorema).
Qualcuno mi puo' suggerire qualcosa?
Grazie mille
ho un esercizio che, dato un sottospazio $W$ (dimensione 2) di $RR^4$, chiede di trovare un altro sottospazio $U$ di $RR^4$ tale che la somma diretta degli spazi sia $RR^4$. Insomma $W \oplus U = RR^4$.
Visto che e' una somma diretta, devo trovare uno spazio $U$ tale che $U \cap W = {0}$. Ho pensato di usare il teorema di completamento delle basi: data una base di $RR^4$, posso sostituire due dei suoi vettori con la base di $W$.. In questo modo suppongo che gli altri due vettori siano una base di $U$.
Il problema e' che non mi e' ben chiaro come funziona questo teorema e non ho mai visto una sua applicazione.
"Dal libro (Facchini)":
Teorema di sostituzione
Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, ${v_1, ..., v_n}$ una base di $V$, e $w_1, ..., w_m$ vettori linearmente indipendenti di $V$. Allora $m \leq n$, e si puo' ottenere un'altra base di V sostituendo $m$ vettori $v_i$ con gli $m$ vettori $w_1, ..., w_m$.
Ora, da quel che c'e' scritto mi sembra di capire che posso sostituire *qualunque* vettore v con *qualunque* vettore w e ottenere una nuova base, ma questo mi sembra un po' strano.
Ad esempio, due basi di $RR^2$ sono ${(1,0),(0,1)}$ e ${(2, 0),(0, 2)}$. Pero' non e' che e' possibile prendere $(1,0)$ e sostituirlo con $(0,2)$ (che e' un vettore $w$ linearmente indipendente)... Quindi deduco che sia necessario sostituire dei vettori $v_1, ..., v_m$ con altri vettori $w_1, ..., w_m$ che non sono combinazioni lineari dei vettori non sostituiti $v_m+1, ..., v_n$.
La mia idea era di prendere la base canonica di $RR^4$ ed infilarci la base di $W$ che ho... Ma non capisco come fare:
${(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}$. Devo sostituire due di questi con i vettori ${(2, 1, 0, 4),(-1, 0, 1, -2)}$ (che mi sembrano linearmente indipendenti, quindi soddisfano le condizioni del teorema).
Qualcuno mi puo' suggerire qualcosa?
Grazie mille
Risposte
"akiross":
Ora, da quel che c'e' scritto mi sembra di capire che posso sostituire *qualunque* vettore v con *qualunque* vettore w e ottenere una nuova base, ma questo mi sembra un po' strano.
No, non proprio.
Il teorema dice che devi prendere in considerazione i ${w_1,...,w_m}$. Dopo di ciò vai a mettere ciascun $w_i$ al posto di un $v_j$ non qualsiasi! Infatti il teorema ci dice che puoi "tagliare" $m$ vettori della base per sostituirli con ${w_1,...,w_m}$, ma i $v_j$ da "tagliare" vanno scelti ad hoc.
Come fare quindi per trovare quei $v_j$ da togliere?
Si può usare ad esempio il metodo degli scarti successivi. Aggiungo alla base ${v_1,...,v_n}$ i vettori ${w_1,...,w_m}$ e così ottengo l'insieme ${v_1,...,v_n,w_1,...,w_m}$. Lo stesso teorema dice che non posso avere un insieme di vettori linearmente indipendenti che siano in un numero maggiore di $n=\text{dim}V$. In questo caso ho un insieme di $n+m$ vettori, quindi posso cominciare a togliere i vettori "di troppo". Comincio uno ad uno a scartare i vettori combinazioni lineari degli altri, in questo caso scorro i $v_j$ visto che voglio togliere qualcuno di questi. Mi rimarranno esattamente $n$ vettori, che saranno i vettori della base che cerco.
E' chiaro che puoi applicare questo ragionamento all'esempio che dicevi tu: in questo caso la base può essere giustamente quella canonica e i vettori $w_i$ quei due che generano $U$ che tu hai indicato.
Non so se sono stato molto chiaro, comunque ci ho provato.
Ah giusto! Non avevo pensato a metterli tutti e poi rimuovere quelli 'di troppo' 
Si si, sei stato chiarissimo!
Grazie mille
Si si, sei stato chiarissimo!
Grazie mille
Prego. 
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